有关数学史的论文题目及论文摘要
1、几个带参数的二阶边界值问题的正解的存在性研究2、关于丢番图方程1+x+y=z的一类特殊情况的研究3、变限积分函数的性质及应用4、有限集上函数的迭代及其应用希望以上回答对你有帮助！————————————————————世界上没有任何东西是完美的，文章也是一样，我不敢保证我们团写出来的文章一定会让你捧上奖杯，获得名次。但这里面承载的心血和汗水不比任何写作团来的少，因为责任就是肩膀上的大山。不是我们写不出华丽清晰的文章，而是不可预定的因素太多，轻易地给您承诺说我是最好的恰恰说明了我的不成熟和轻浮。我想我简单的介绍并不能让你感觉眼前一亮，但你细细的品读定会感觉我们团靠谱务实的作风。
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有关数学史的论文题目及论文
从算法教学管窥中国古代数学史俞 昕( 浙江湖州市第二中学 313000) 关于算法的涵义， 人们有着不同的界定 普通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达成度上，重在算法思想的理解与应用，界定现代算法的意义就是解决某一类问题的办法 确切地说，就是对于某一类特定的问题，算法给出了解决问题的一系列(有穷) 操作， 即每一操作都有它的确定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ，并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部分∀进行说明时，突出强调! 需要特别指出的是， 中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀ 吴文俊先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学，决非泥古迷古、 为古而古 复古是没有出路的 我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌， 也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的， 是在于古为今用 ∀算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值， 作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的1 中国古代数学的特点古代数学思想分为两大体系， 一个是以欧几里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系，这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的演绎体系为特色 另一个则是以我国的九章算术 为代表的东方数学思想体系，这个体系以算法化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特色我国传统数学在从问题出发，以解决问题为主旨的发展过程中， 建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系， 这与西方数学以欧几里得几何原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语中的! 公式∀，两者虽有相同点(都可以用来解决一类有关问题) ， 其差异也非常之大 主要表现在，! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系， 指明通过哪些运算可由已知量求出未知量，但并没有列出具体的运算程序，一般地，认为这种程序是已知的了 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的，可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体程序，即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具体操作步骤 从这点看， ! 术∀正是现代意义上的算法， 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法，可以照搬到现代计算机上去 我国古代数学包括了今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方面的内容由于受实用价值观的影响， 中国传统数学的研究遵循着一种算法化思想，这种思想从九章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭的模式:实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法即将社会生产生活中的问题，先编成应用问题，按问题性质分类， 然后概括地近似地表述出一种数学模型， 借助于算筹， 得到这一类问题的一般解法 把算法综合起来， 得到一般原理， 分别隶属于各章，人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各种实际问题 可以说，中国传统数学以确定算法为基本内容，又以创造和改进算法为其发展的方向受九章算术 的影响，在之后的几个世纪，一些数学家的著作都以算法为主要特点，包括王孝通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算法 、 日用算法 和杨辉算法 ， 这些著作中包括了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法，进一步发展了中国古代数学算法化的特点，使得算法的特点得到了进一步的强化和发展1 1 中国古代数学的算法化思想算法化的思想是中国古代数学的重要特点，并贯穿于中国古算整个发展过程之中即使是与24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外，中算家们将几何方法与算法有机地结合起来，实现了几何问题的算法化这样，从问题出发建立程序化的算法一直是古代中国数学研究的传统，也是中算家们努力的方向这种算法化的思想着重构造实践，更强调! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的发明，对今天的算法教学与研究具有重要的启迪作用中国古代数学算法化的思想具体表现如下:第一步，把实际中提出的各种问题转化为数学模型;第二步，把各种数学模型转化为代数方程; 第三步，把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四步，设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法之中)出各种算法; 第五步，通过计算回溯逐步达到解决原来的问题1 2 中国古代数学的构造性方法所谓构造性方法是解决数学问题的一种方法，是创造性思维方式直接作用的结果按照现代直觉主义者，特别是构造主义者的观点，对于一个数学对象，只有当它可以通过有限次的操作而获得，并且在每步操作之后都能有效地确定下一步所需要采取的操作， 才能说它是存在的按照这种思维方式，可以使概念和方法按固定的方式在有限步骤内进行定义或得以实施，或给出一个行之有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造出来换言之，就是能用有限的手段刻画数学对象并针对问题提出具体的解法中国古代数学的算法化思想与构造性的方法紧密相连由于古代中算家所关心的大多是较为实用的问题，他们在解决问题时首先考虑是如何得到可以直接应用的、 可以方便操作的解，而不会满足于仅仅知道解在理论上的存在性 因为这种纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来说是没有多大意义的从而我们推断，构造性方法的产生是算法化思想直接作用的结果从我国许多经典算书中可以发现， 数学构造性方法在算法中有许多精彩的体现 例如就! 方程∀的筹算图阵及其程序设计而言，首先， ! 群物总杂，各列有数，总言其实∀，这是对每行中未知数的系数和常数项的安排，其次， ! 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之∀，这是对诸行关系的安排， ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀ 这为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说服力的样板由于构造性的方法特别强调运算的可操作程度， 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运算求出解来， 具有一般性时至今日我国古算家所设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电子计算机上实现这也是我国古算在算法上长期居于领先地位的一个重要原因2 中国古代数学中的优秀算法案例 1 中国古代的代数学代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自豪的领域中小学数学中的算术、 代数内容， 从记数以至解联立的线性方程组， 实质上都是中国古代数学家的发明创造结合新课程的算法教学，笔者选取我国古代著名算法进行分析 1 求最大公约数的算法(更相减损术)中国古代数学中，未曾出现素数、 因数分解等概念，但是发明了求两整数的最大公约数的方法# # # 更相减损术: ! 可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 以少减多， 更相减损，求其等也以等数约之 ∀事实上此术中包含了三个步骤:第一步， ! 可半者半之∀， 即进行观察， 若分子、分母都是偶数，可先取其半;第二步， ! 不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多，更相减损，求其等也∀;第三步， ! 以等数约之∀其中第二步! 以少减多， 更相减损∀是关键，又是典型的机械化程序在中国古代数学中， 将最大公约数称作! 等∀由于! 更相减损∀过程终可以在有限步骤内实现， 所以它是一种构造性的方法若用现代语言翻译即为:第一步，任意给定两个正整数， 判断它们是否都是偶数 若是，用2 约减，若不是， 执行第二步 第二步， 以较大的数减去较小的数， 接着把所得的差与较小的数比较， 并以大数减小数继续这个操作， 直到所得的数相等为止， 则这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数下面运用 QBA SIC 语言来编写相应的程序( 见程序1) 25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1INPUT! m， n= ∀ ; m， nIF m< n T HEN a= m m= n n= aEND IFk= 0WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0 m= m/ 2 n= n/ 2 k= k+ 1WENDd= m- nWHILE d< > n IF d> n TH EN m= d ELSE m= n n= d END IF d = m- nWENDd= 2 ∃ k * dPRINT dEND程序 2INPUT A， BWHILE A < > B IF A> B T H EN A = A- B ELSE B= B - A END IFWENDPRINT BEND程序 3INPUT ! M， N (M> N )∀ ; M， NDOR= M- N IF R> N TH EN M= R ELSE M= N N= R END IFLOOP UNTIL R= 0PRINT MEND程序 4INPUT ! n= ∀ ; nINPUT! an= ∀; aINPUT! x= ∀ ; xv= ai= n- 1WH ILE i> = 0 PRINT ! i= ∀; i INPUT! ai= ∀ ; a v= v * x+ a i= i- 1WENDPRINT vEND程序 2和 3 是两个简化的参考程序， 是从不同的角度来实现更相减损的过程! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数的算法， 这是九章算术 的一个重要成就， 与古希腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的! 欧几里得算法∀， 即辗转相除法， 有异曲同工之妙 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入了许多概念， 给出了冗长的逻辑证明 尽管如此，他还是暗用了一条未加说明的公理， 即如果 a， b都被c 整除， 则a- mb也能被c 整除中国古算采用的! 更相减损∀方法，实际上也暗用了一条未加说明的公理， 即若 a- b 可以被c 整除，则 a， b 都能被c 整除 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以相减者， 皆等数之重叠∀ 从形式上看! 更相减损术∀比! 辗转相除法∀更复杂， 循环次数要比辗转相除法多， 但对于计算机来说， 作乘除运算要比作加减运算慢得多， 因此更相减损术在计算机上更为好用26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算法)秦九韶，南宋著名数学家，其学术思想充分体现在数书九章 这一光辉名著中，该著作不仅继承了九章算术 的传统模式， 对中算的固有特点发扬光大，而且完全符合宋元社会的历史背景， 是中世纪世界数学史上的光辉篇章 书中记载了! 正负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求积∀为例的算法程序中，可以看出秦九韶对于求一元n 次多项式f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x+ a0 的值所提出的算法秦九韶算法的特点在于通过反复计算n 个一次多项式，逐步得到原多项式的值 在欧洲， 英国数学家霍纳( Horner ) 在1819 年才创造了类似的方法， 比秦九韶晚了572年秦九韶算法把求f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式v0= anvk= vk- 1x+ an- k k= 1， 2， %， n中 v n 的值 通过这种转化， 把运算的次数由至多( 1+ n) n2次乘法运算和n 次加法运算，减少为至多 n 次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率这种算法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示算法步骤是如下的五步: 第一步， 输入多项式次数 n、 最高次项的系数an 和x 的值;第二步，将 v 的值初始化为a v ，将i 的值初始化为n- 1; 第三步， 输入 i次项的系数ai ;第四步， v= v x+ ai ， i= i- 1; 第五步，判断i 是否大于或等于 0， 若是， 则返回第三步，否则输出多项式的值v 2 中国古代的几何学中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中的一些实际问题中产生， 并为生产生活服务 基于传统实用价值观的影响， 中国古代的几何学并没有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体系，所以中国古代几何学在整个数学史上的地位并不突出，但在许多几何问题的处理上也突出了算法化这一特色 下面以! 割圆术∀为例作简要分析中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的面积及其相关问题 刘徽! 瓤而裁之∀，即对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割，分成无穷多个以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角形， 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面积 这样通过对直线形的无穷小分割， 然后求其极限状态的和的方式证明了圆的面积公式刘徽的算法! 割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过程， 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化趋势，并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值的方法， 将这种极限思想用于近似计算其中包含有迭代过程和子程序，是一种典型的循环算法，充分体现了程序化的特点中算家的几何学，并不追求逻辑论证的完美，而是着重于实际计算问题的解决， ! 析理以辞， 解体用图∀， 以建立解决问题的一般方法和一般原则 但另一方面，这种几何学又是以面积、 体积、 勾股相似等为基本概念，以长方形面积算法、 长方形体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的， 整个几何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上例如，由勾股定理自然地引起平方根的计算问题，而求平方根和立方根的方法， 其步骤就是以出入相补原理为几何背景逐步索骥而得这方面内容的介绍， 不仅可以丰富学生的算法知识，而且可以通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵， 激发学生学习算法的兴趣，体会算法在人类发展史中的作用3 中国古代数学算法的教学价值 1 培养正确数学观的良好平台中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上差别很大，但是重要的是形式后面的认识论发展线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供依据它的具体数学知识载体也是现代算法教学的重要源泉 各种算法的创立就是创造性劳动的产物，即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀ 其次， 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算法的! 机械应用∀， 这就为人们积极地去从事新的创造性劳动提供了更大的可能性 从而算法化也就意味着由一个平台向更高点的跳跃吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重见天日， 开拓了数学机械化的新领域， 吴先生提出! 数学教育的现代化就是机械化∀他在研究中这样写道: 数学问题的机械化， 就要求在运算和证明过程中， 每前进一步之后，都有一个确定的必须选27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步， 这样沿着一条有规律的， 刻板的道路，一直达到结论证明机械化的实质在于， 把通常数学证明中所固有的质的困难，转化为计算的量的复杂性计算的量的复杂性在过去是人力不可能解决的，而计算机的出现解决了这种复杂性吴先生的理论和实践已经表明，证明和计算是数学的两个方面， 且又是统一的，这在数学教育中具有重要意义我们应当引导学生了解古人对问题思考的角度，学会站在巨人的肩膀上，比如按照中国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算机上实现开方培养学生在学习数学知识的同时更多地关心所学知识的社会意义和历史意义，力图在面向未来的同时，通过同传统上的哲学、 历史和社会学的思想结合起来， 形成正确的数学观算法教学就为此搭建了一个良好的平台， 并且承载丰富的历史底蕴 2 渗透爱国主义教育的最佳契机与西方相比， 中算理论具有高度概括与精练的特征， 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中， 起到! 不言而喻， 不证自明∀的作用，可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单， 精巧的理论建筑物 因此， 中算理论可以说是一种! 纲目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细目的总绳以术为目， 以率为纲，即是依算法划分理论单元，而用基本的数量关系把它们连结成一个整体 纲举目张，只有抓住贯串其中的基本理论与原理， 才能看清算法的来龙去脉下面是吴文俊先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张中外对照表∀从算法教学管窥中国古代数学史中国 外国位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现分数运算 周髀算经 中已有， 在九章算术 成书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现十进位小数 刘徽注中引入， 宋秦九韶 1247年时已通行 西欧 16 世纪时始有之， 印度无开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方， 九章算术 中开平、 立方已成熟西方在 4 世纪末始有开平方， 但还无开立方， 印度最早在 7 世纪算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问题与方法正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪，西欧至 16 世纪始有之联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组， 西方迟至 16 世纪始有之二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法，三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后，阿拉伯在 9世纪有一般解求法三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法， 求数值解已成熟西欧至 16 世纪有一般解求法， 阿拉伯 10 世纪有几何解高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟，估计在 19 世纪28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 3 品位数学美学思想的美妙境界中国古代数学不但具有实用性特征， 还蕴涵着丰富的美学思想 比如九章算术 中列方程的方式，相当于列出其增广矩阵，其消元过程相当于矩阵变换，而矩阵是数学美学方法中对称最典型的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙地解决了很多代数问题， 这是数形结合的统一: 把数学问题改编成歌诀，以便于掌握和传授，这是文学艺术与数学的统一 总之， 在算法教学中， 应努力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教学，这对数学教育的发展具有重要的意义参考文献1 中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教材书(数学) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20072 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20033 李文林 数学史概论(第二版) [ M ] 北京: 高等教育出版社， 20024 王鸿钧， 孙宏安 中国古代数学思想方法[ M] 南京: 江苏教育出版社， 19885 张维忠 数学， 文化与数学课程[ M] 上海: 上海教育出版社， 19996 吴文俊 吴文俊论数学机械化[ M ] 济南: 山东教育出版社， 19957 代钦 儒家思想与中国传统数学[ M] 北京: 商务印书馆， 20038 费泰生 算法及其特征[ J] 数学通讯， 2004， 79 张奠宙 算法[ J] 科学， 2003， 55( 2)10 李建华 算法及其教育价值[ J ] 数学教育学报， 2004， 311 李亚玲 算法及其学习的意义[ J ] 数学通报， 2004， 2(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总结、 反思、 调整， 推广比较成熟的经验，同时纠正实验过程中的偏颇与极端行为，教学过程逐步进入新的稳定阶段教学过程逐步过渡到以问题为主线、 以活动为主线的! 无环节∀模式( 2)受不同的教学理念影响， 教师角色、 学生角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面， 在教学过程中有很大差异教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注领导者(权威)接 受 者(被动)让 学 生 掌握 数 学 知识技能知识 引入， 讲 解本质， 巩固练习主导者(决定)观 察 者(协助)让 学 生 观摩 数 学 产生过程展示 过程， 注 重建构， 强化训练引导者(组织)参 与 者(主动)让 学 生 参与 探 究 数学 生 成 过程问题 情境， 提 出问题， 学生活动( 3) 2004 年高中数学课程改革后， 课堂教学发生一定的变化，广泛地进行! 创设情境∀! 提出问题∀!引导学生探究探索∀， 出现了以! 问题主线∀、! 活动主线∀为主的课堂， 出现了! 问题情境学生活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂构思这些改变对于揭示数学的内在本质， 发展学生的思维能力起到积极的作用( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ，与初中相比， 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度不大，近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主对于课改倡导的教学理念， 只是渗透在传统的教学模式中，目前高中数学课堂教学改革的力度、 深度与课改的预期目标还有一定的距离我们看到2008 年的赛课教案的创新、 探索力度， 远没有1990 年的名师授课录 大， 那时还没有明确提出课改理念，但他们却进行积极的探索， 关注学生主体 而今天，课改的理念已经系统培训 5 年， 许多教师仍停留在形式层面，未能变成自觉的行为参考文献1 李善良 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中数学教师说课评比活动[ J ] 中国数学教育(初中版) ， 2007， 92 编委会 名师授课录(中学数学高中版) [ M] ， 上海教育出版社， 19913 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)5 李善良 关于数学教学中问题的设计[ J] 高中数学教与学，2008， 129 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报
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学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科，《标准》明确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用”，而现阶段高中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上——枯燥、难学。数学的本质特征是什么？当今数学究竟发展到了哪个阶段？在科学中的地位如何？与其它学科有什么联系？这些问题大都不被学生全面了解，而从数学史中可以找到这些问题的答案。日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出，人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学时期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维”的第一个重大胜利；第二个是牛顿－莱布尼兹的微积分时期，它为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功；第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为标志的新数学时期，我们现在就处在这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论，它同前三个高峰有着惊人的密切联系，这种联系绝不是偶然，它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生可以从这种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，不允许有任何含糊，这时候学生就很容易认识到数学的三大基本特征——抽象性、严谨性和广泛应用性了。同时，介绍必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景产生更加深入的理解，认识到数学绝不是孤立的，它与其他很多学科都关系密切，甚至是很多学科的基础和生长点，对人类文明的发展起着巨大的作用。从数学史上看，数学和天文学一直都关系密切，海王星的发现过程就是一个很好的例子；它与物理学也密不可分，牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期，数学（不仅仅是自然科学）逐步进入社会科学领域，发挥着意想不到的作用，可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持，数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于一个学习数学十余年的高中生来说是很有必要，也是必不可少的。二、 学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的，语言十分精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，从而培养学生正确的数学思维方式。这样的例子很多，比如说微积分的产生：传统的欧式几何的演绎体系是产生不了微积分的，它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法”、“求抛物线弓形面积”等思想的启发下为了满足第一次工业革命的需要创造得到的，产生的初期对“无穷小”的定义比较含糊，也不像我们现在看到的这样严密，在数学家们的不断补充、完善下，经过几十年才逐步成熟起来的。数学史的学习可以引导学生形成一种探索与研究的习惯，去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中，真正创造了些什么，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识，了解数学知识的现实来源和应用，而不是单纯地接受教师传授的知识，从而可以在这种不断学习，不断探索，不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。三、 学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的动机 动机是激励人、推动人去行动的一种力量，从心理学的观点讲，动机可分为两个部分；人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机；社会责任感构成了有利于创造的外部动机。兴趣是最好的动机。在日本中学生夺取国际IEA调查总分第一名的同时，却发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一，这说明他们的好成绩是在社会、家长、学校的压力下获得的。中国的情况如何呢？尚无全面的报道，但河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现：“我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达21%，而对数学“很感兴趣”的只有12%。可见目前中学生的学习动机不明确，对数学的兴趣也很不够，这些都极大地影响了学习数学的效果。但这并不是因为数学本身无趣，而是它被我们的教学所忽视了。在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克服动机因素的消极倾向。数学史中有很多能够培养学生学习兴趣的内容，主要有这几个方面：一是与数学有关的小游戏，例如巧拿火柴棒、幻方、商人过河问题等，它们有很强的可操作性，作为课堂活动或是课后研究都可以达到很好的效果。二是一些历史上的数学名题，例如七桥问题、哥德巴赫猜想等，它们往往有生动的文化背景，也容易引起学生的兴趣。还有一些著名数学家的生平、轶事，比如说一些年轻的数学家成材的故事，《标准》中提到的“从阿贝尔到伽罗瓦”，阿贝尔22岁证明一般五次以上代数方程不存在求根公式，伽罗瓦创建群论的时候只有18岁。还有法国数学家帕斯卡，16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器；德国数学家高斯19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》；还有的是许多出生贫穷卑微的数学家通过自己的艰苦努力，最终在的数学研究上有骄人成绩的例子，如19世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农，直到14岁还没有学过写字，18岁才正式开始读书，后来靠做私人教师谋生，经过艰苦努力，终于在30岁时在数学上做出重要工作，一举成名。如果在教学中加入这些学生感兴趣又有知识性的内容，消除学生对数学的恐惧感，增加数学的吸引力，数学学习也许就不再是被迫无奈的了。四、学习数学史为德育教育提供了舞台在《标准》的要求下，德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了，数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能，我们从下几个方面来探讨一下。首先，学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少， 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。《标准》中“数学史选讲”专题3就是“中国古代数学瑰宝”，提到《九章算术》、“孙子定理”这些有代表意义的中国古代数学成就。然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。《标准》中“数学史选讲”专题11—— “中国现代数学的发展”也提到要介绍“现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程”。在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用”。其次，学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出毕生的努力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，他的论文多而且长，以致在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说，介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。最后，学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。1940年，美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。【参考文献】【1】中华人民共和国教育部制订 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003【2】张奠宙 李士锜 李俊 编著 数学教育学导论 高等教育出版社 2003【3】李文林 编 数学史概论 高等教育出版社2002【4】张楚廷 著 教育部高等教育司 组编 数学文化 高等教育出版社 1999 【5】赵鸿涛 李华轩 高中生数学学习情况的调查 新乡教育学院学报 2003年 04期本文是全国高师院校数学教育研究会2004年年会交流论文
数学中的测量在现实生活中的应用 论死亡时间的推断在法医学中，关于死亡时间的推断有多种方法，如：尸体的尸斑状况，肌肉僵硬程度等各种尸体现象。由于人死后，体内产热停止、排汗停止、各种调节机制停止，并且尸体所在位置、尸体形状均保持不变（除非人为改变），因而尸体体温的下降会有比较稳定的规律，所以从尸体温度来进行死亡时间推断是比较准确可靠的。 现在给出死亡时间推断的定量方法：设尸体温度为T，周围环境温度为C 在理想状况下，温度的变化率（dT/dt）与该物体的温度和周围环境温度的差（T－C）成正比，则： dT/dt=－k*(T－C) （k>0） 其中，k是由物体与空气接触状况决定的、正的、由实验测定的常数；等号右边的负号表示当物体温度比周围环境温度高时，物体将降温（则dT/dt<0）；同理，当T
有关数学史的论文题目及论文选题
1、几个带参数的二阶边界值问题的正解的存在性研究2、关于丢番图方程1+x+y=z的一类特殊情况的研究3、变限积分函数的性质及应用4、有限集上函数的迭代及其应用希望以上回答对你有帮助！————————————————————世界上没有任何东西是完美的，文章也是一样，我不敢保证我们团写出来的文章一定会让你捧上奖杯，获得名次。但这里面承载的心血和汗水不比任何写作团来的少，因为责任就是肩膀上的大山。不是我们写不出华丽清晰的文章，而是不可预定的因素太多，轻易地给您承诺说我是最好的恰恰说明了我的不成熟和轻浮。我想我简单的介绍并不能让你感觉眼前一亮，但你细细的品读定会感觉我们团靠谱务实的作风。
数学源自于古希腊语，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。下面学术堂整理了一部分数学论文题目供大家参考。1、数学模型在解决实际问题中的作用2、中学数学中不等式的证明3、组合数学与中学数学4、构造方法在数学解题中的应用5、高中新教材中数学教学方法探讨6、组合数学恒等式的证明方法7、浅谈中学数学教育8、浅谈中学不等式的几何证明方法9、数学教育中学生创造性思维能力的培养10、高等数学在初等数学中的应用11、向量在几何中的应用12、情境认识在数学教学中的应用13、高中数学应用题的编制和一些解题方法14、浅谈反证法在中学教学中的应用15、探索证明线段相等的方法
想想，初中都学了那些？我在上中学时都没写过论文，现在上初中都要写论文啦？真是悲剧呀！但初中的数学还是很简单的，写一篇论文，可以联系到自己已经上过的知识。下面给你一些建议： 可以写，对任意的二元一次方程组的解转换为图形的交点问题。 还有，不知道三角函数有没有上，如果上了可以论证三角公式，比如说，(sinA)^2+(cosA)^2=1，(tanX)^2=(secX)^2-1
浅谈中学数学中的反证法数学选择题的利和弊浅谈计算机辅助数学教学论研究性学习浅谈发展数学思维的学习方法关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
有关《史记》的论文摘要及答案
《史记》研究性学习活动学生论文 逆 水 也 能 行 舟 ——谈韩信忍辱负重 明月如水，疏桐如剑，萧萧寒夜中，太史公披衣而起。一只瘦笔写下了一位千古名将——韩信。 人言韩信厚脸皮，却不知这叫忍辱负重。穷困潦倒的他，不得不寄人篱下。他何尝不知寄人篱下的痛楚？他何尝不知大丈夫当自强自立？然而他更知道“天将降大任于斯人也，必先苦其心智，劳其筋骨，饿其体肤……”因此他也就不在乎所谓的脸面了。 “跨下之辱”是他一生最大的耻辱，然而他无怨，他反而从中学会了忍，懂得了立世之道。于是他决定进入沙场。 我常常惊叹于他的追求，我常常拍案于他的胆识。无数次的碰壁，然而他却始终不屈。 先随项梁，项梁兵败被杀，他明白自己应该另择明主。于是他投入项羽帐下，然而却未得重用。他明白了“竖子不足与谋”，于是他投向了汉军…… 一次次的碰壁，一次次的惨痛，然而承受着过重生命负重的他却没有丧失信心，他不断调整自己的人生方向。 命运却偏偏与他做对。经历了这么多的挫折，明明找到了自己的“伯乐”却仍要经历坎坷。 虽然只是一介小吏，他却尽心尽职，他认为这是上天在教导他“三军未行，粮草先行”的道理。因此他也就毫无怨言。 好不容易“登坛拜将”，本是他平步青云之时，命运却又来给他开玩笑。人言可畏，他遭到人们的轻视、嘲讽。然而在命运遭受无数挫折的他已经成长起来。他不会再屈从于命运，他要战胜命运。井陉大战，一战定威名。他成功了。 人们曾嘲讽过他，曾侮辱过他，他承受过太多命运的负重，然而他了解少康，明白姬昌，体谅重耳——他学会了忍辱负重。 一挥而就，烈烈寒风之中太史公放下瘦笔，凝望星空。忍辱负重，虽是逆水行舟，但终有出头之日。命运的负重是人生前进的动力。 司马迁，我心中的英雄 陈 慧 此题看后也许有人会笑，耻笑我崇拜一个受了宫刑的人——不是男人的男人，但我是很严肃的。 他失去了作为一个男人应有的尊严，但这是他无法的选择。他在苟活与赴死之间也许有过彷徨。 人生的意义让他选择了苟活。如果一个人的历史像沙漠中的足迹，风过后，所有的都被覆盖消失，那么这一个人是否真正活过？他不愿那样默默无闻。生命的美好，是因为它能创造辉煌。他为创造生命应有的价值，他在极度屈辱中完成了他生命的杰作——《史记》。 我不是司马迁，我也没有能力去想像，站在他的立场该有的承受能力，有的只是站在山脚仰望站在山顶的他。 英雄，不一定一生都是金光闪耀，只要在某时某地发挥应有的最大潜能。司马迁，已做到了。假如有一天，让我选择所处的年代，我会毫不犹豫的回到他的时代也成为他的门徒，磕头一百也值得。我愿在他难过时，决然支持他——我心中的英雄。 司马迁的痛苦让他欲哭无泪，而我最痛苦时还能挥洒泪水。我的痛苦和他相比简直是水滴与大海的关系。 英雄，我无法达到你的高度，但我会努力用最大的力量去承受人生每一次打击，效仿你为完成生命的价值而生存。 杂 感 一 则 朱 亮 我们将要学习《史记》这部历史巨著了。鲁迅先生曾以“史家之绝唱，无韵之离骚”来评价它。从文学角度历史角度，这无疑是一部百科全书，融会着中华民族的精神。 我们决不否认《史记》的价值性，但对司马迁却有几句肺腑之言，不吐不快。就当时那种封建时代，一个人要想仕途显达一展政治抱负，首当其要的是要有显赫的家世，纵不能如此也要在朝中有些熟人。有句老话叫“朝中无人莫当官”，这就足以揭露当时那种依靠身世或人际关系而走上仕途的社会现象。 司马迁一开始做史官，虽无大权，但好歹也是个朝廷命官。就凭这一点他的子孙也可以轻松踏上仕途。但，司马迁下狱将要接受官刑时，他不为自己着想也应为后人着想，他能苟活于世吗？难道一部《史记》就比他的子孙还重要吗？难道他就不相信他的子孙会为他完成吗？ 其实，说得不客气一点，这就是人的本性——怕死。人就是这样，总喜欢为自己的苟且之事找这样或那样的理由，虽然性命是保住了，但精神与人格上却是遭受了何等的打击。司马迁毕竟是想让后世人知道如何立足于世，如何面对万千大众，又能如何重新踏上个人的成长之路，而这一点足以在后人的心灵深处留下浓重阴影。 刘 邦 的 “黑 子” 太 多 戴于谦 在我没学《高祖本纪》之前，我只知道刘邦就是汉高祖，仅此而已。但是在我学完《高祖本纪》之后，我对刘邦这位汉代开国皇帝有了更深的了解。 许多人认为刘邦是个英雄，但我不敢苟同，因为我不喜欢刘邦这个人。 理由之一：太史公在《高祖本纪》中的第二段就写到：“好酒及色。常从王媪，武负贳酒。”一个好酒喜欢女色的人，还有喝酒不给钱，怎么可以怎能称其为英雄，大丈夫？完全是一个游手好闲，不务正业的无赖而已！ 理由二：在见吕公时刘邦竟然不要脸的说：“贺钱万”。既然没有钱为何说大话？难道不怕在众人面前丢脸？这种虚伪，爱吹牛的人何以谓英雄？ 理由三：在秦王子婴投降后，刘邦就准备在宫中居住休息，享享帝王之乐。由于樊哙，张良谏最终才还军霸上，还跟秦人说：“吾与诸侯约，先入关者王之，吾当王关中。并且与父老乡亲约法三章。”如此蛊惑人心，收买人心，追求享乐者可谓英雄？ 理由四：可以说刘邦是个假仁假意的人。在兵败固陵后，行屠城父；在咸阳时却说：“杀人者死”。虽然城父邑不比咸阳，但城中的平民百姓却是无辜的。如此行为可以说是英雄吗？ 理由五：在未央前殿为太上皇祝寿时刘邦却说：“始大人常以臣无赖，不能治产业，不如仲力。今某之业所就孰与仲多？”在文武百官面前，不顾老父亲的颜面，不注意场合说这些大煞风景令人扫兴的话，岂是英雄所为？这恰恰证明刘邦是一个小鸡肚肠，爱记仇的人。 当然，对于刘邦这个人的评价，我们不能只看到他的缺点，而否认他的优点，例如：他有伟大的抱负，知错即改，谦虚，有宽容之心，当机立断……不过，也许我们对英雄的要求太苛刻了。 我 眼 中 的 刘 邦 夏 琳 刘邦在楚汉相争中胜利了，所以在后世的评价中他总是占着上风。我想我该用司马迁的那句话来简述我的观点：“不以成败论英雄”。 读完《高祖本纪》，我对刘邦有了些初步的了解。他虽有许多优点，但在我看来只要有一个致命的弱点也可以将这一切掩埋。刘邦的无赖形象在我脑中犹为深刻，从他“好酒及色”到“折券弃责”，到“贺钱万，实不持一钱”，这些无不淋漓尽致的表现无赖形象。所以，在后来的楚汉之争中，“为之奈何”成了他的口头禅。多么可笑！又多么荒唐！假如张良、萧何都不在他的麾下，那结果可想而知了，因此我觉得他的皇位是受之有愧的。 刘邦是虚伪的。正当秦人争持牛羊酒食献飨军士时，他说：“仓粟多，非乏，不欲费人”。虽说行军打仗要足智多谋，但我所能看出来的却是他的心机。战争多年，军中粮饷定是所剩无几，向来“仓粟多，不乏”这种收买人心的方式似乎过于荒唐。宁可让士兵们饿肚子，也要让他撑起那么一副慈善的形象。他的目的达到了“秦人惟恐沛公不为秦王”，这时他定是在窃喜，而我读出的是好一个虚伪的刘邦！ 中国自古崇尚“百善孝为先”但是刘邦却在众臣面前戏弄其父，其粗俗鄙陋无人能及。他这样说道：“始大人常以臣无赖。不能治产业，不如仲力。今某产业所就孰与仲多？”我想当太公听了这些话后该是多么的尴尬，被自己儿子在众人面前羞耻，其威严何在？此时的刘邦已是一个逆子的形象，同时也表现了他的骄傲自大。 刘邦是有优点的，也是优点成就了他的美名。他是成功了，但至少他不是让我佩服得五体投地的那种英雄。相反我却更欣赏项羽的自刎乌江。在我心中他的一言一行铸就了真正宁死不屈的精神。有时我甚至在思考这样的一个问题：若楚汉之争最终项羽胜利了，刘邦会有勇气自杀吗？ 我对虞姬和诗的看法 缪红霞 虞姬，一代绝色佳人，并且才华出众。作为一代英雄——项羽的爱妾，她是当之无愧的。她跟随项羽征战，项羽的性格，她是了如指掌的。在四面楚歌后，项王吟诗抒发自己的情感。美人和之：“汉兵已略地，四方楚歌声。大王意气尽，贱妾何聊生。” 有人认为，项羽选择自杀，一半的责任在于虞姬。面对自己的爱人，爱妾竟然说：“大王意气尽。”这可能让项羽觉得连自己最心爱的人都这样说，也许局面真没有办法挽救了。虞姬的自刎更让项羽觉得活着没意义，他于是选择了自杀。 但我认为，虞姬作为项羽最贴心的人，绝不会在项羽兵败之际打击他的。虞姬可能会想，既然刘邦夺取天下大权已定，项王现在意气将尽，要打败刘邦需很长时间，何必让自己的项王整天都生活在打打杀杀的征战中？那么，即使项王夺得天下，又怎么样呢？我不想让他活在这种征战中，还是让他放弃征战吧，可是那样我的项王又会心灰意冷，我会对不起他的，让我用自刎来向他谢罪吧！ 虞姬是一个懂得项羽的人，她和这首诗是有道理的。这一点毋庸置疑。但她怎么会打击项羽呢？ 小议荆轲刺秦王 仲子鹏 荆轲刺秦王是脍炙人口的英雄故事。但与历史上众多刺客行刺帝王的事件相比，它显然是失败的。他为什么失败呢？ 首先，作为一个刺客，必须要有过人的胆识与冷静的态度。胆识，荆轲是拥有的，然而冷静和沉着的心态就与之无缘了。根据《刺客列传》中的记载，荆轲在几乎万无一失的机会下却失手了，这就足以说明他心中的紧张。在秦王逃脱却无法拔剑而围着铜柱跑时更是一个绝好的机会，但荆轲显然不够冷静，不能正确认清优势，竟然只想捉住秦王。在那样紧张的情境下一味追击秦王，终致失手被杀。 其次，荆轲的剑术明显不高：卫元君当然知道武能强国的道理，但是却不用荆轲，足以说明荆轲的剑术不高。鲁勾践也说过：荆轲之所以失败，正是因为他不擅长刺剑之术，而荆轲又不愿虚心请教，以致在秦王没有准备的状况下仍然失手。 从《刺客列传》中可以看出：荆轲显然是一个比较自傲，贪图享乐但又贪生怕死的人。盖聂与鲁勾践只不过与荆轲产生了一点小误会，荆轲却从此不与他们见面，不以他们为同道。太子丹封他为上卿后，他整日贪图享乐，日日欢娱，直到太子丹找他责问时才说出自己的想法。在行刺秦王时，荆轲本可以一击必杀，想活捉秦王来保全自己，这些足以看出他的贪生。 荆轲出发之前说过还需要等一个友人同去，我们虽然不知道他的友人是谁，但也许会因为这个人而成功。然而他却在太子丹一激之下，放弃了自己原来的计划，足见其冲动有余，智谋不够。 天下大势：合久必分，分久必合。当时的诸侯国家正值多事之秋。几百年来一盘散沙的诸侯令人们深受其害，其势必有一方强者来统一天下，而秦国各方面均为上上之选。荆轲欲以一人之力而扭转天下之大势，这根本是不可能的。《英雄》中，无名在最后关头懂得了高山、流水两人的想法，明白了天下大势，放弃了刺杀秦王的机会，乃是为天下谋福。但荆轲却无法意识到这种大势。我认为，这才是他失败的根本原因。 总之，诸多方面都决定了荆轲的行刺是注定要失败的。 人生因《史记》而精彩 刘小杰 在灿烂的古代文化中，有这样一本浓缩着精华的史书——《史记》。这是一本不朽之作，它记述了华夏文明五千年历史的五分之三，滋养了中华文化的沃野旷畴。读《史记》，它让我明辨了人间的是非善恶，分清了尘世的人情冷暖。人生因《史记》而精彩，而丰富。 弹指间，忽然感觉我已经不像从前，曾经一度的浑浑噩噩仿佛烟消云散；曾几何时的恍恍惚惚再也难觅踪迹。难道这就是《史记》“润物细无声”的魅力？《史记》为我拨开了人生的迷雾，让我阅遍世间的坎坷与辛酸。不论源自何方，不论情归何处，仿佛一切在《史记》中早有定论。 我知道，虽然我没有蔺相如的过人才智，但我一定能做到像他一样为人耿耿，无私无畏；虽然我不及屈平的刚正不阿，卓越才情，但我会努力学习他的光明磊落，不屈不挠；虽然我没有仲尼的博学多识，临危不惧，但我可以像他一样勤敏于学，韦编三绝。 再看看《史记》：周公的博大胸怀，深沉果断；刘邦的雄才大略，远见卓识；管仲的人生阅历和治国方略……大到人生理想，小到言行举止，值得我学习的东西太多了。遇到困难，像孔子那样坚持真理；遇到矛盾，像蔺相如那样化干戈为玉帛……人生的一切可以因《史记》而改变。 一个折断了翅膀却想飞翔的人，最大的勇气莫过于付出比别人更多的痛苦；一个渴望飞翔却没能飞高的人，最大的依靠就是拥有强大的精神支柱。《史记》就是我勇气的源泉，就是我精神的支柱。 登山，则情满于山；观海，则意溢于海。读《史记》就像登山、观海一样，每一遍的投入都会有全新的感受。
《史记》是中国西汉时期的历史学家司马迁撰写的史学名著，原称《太史公记》。列“二十四史”之首，《史记》是中国古代最著名的古典典籍之一，与后来的《汉书》、《后汉书》、《三国志》合称“前四史”。 《史记》记载了上自中国上古传说中的黄帝时代，下至汉武帝元狩元年（公元前122年），共3000多年的历史。作者司马迁以其“究天人之际，通古今之变，成一家之言”的史识，使《史记》成为中国历史上第一部纪传体通史。 《史记》全书包括十二本纪（记历代帝王政绩）、三十世家（记诸侯国和汉代诸侯、勋贵兴亡）、七十列传（记重要人物的言行事迹主要叙人臣）、十表（大事年表）、八书（记各种典章制度记礼·乐·音律·历法·天文·封禅·水利·财用），共一百三十篇，五十二万六千五百余字。 《史记》最初没有固定书名，或称“太史公书”，或称“太史公记”，也省称“太史公”。“史记”本来是古代史书的通称，从三国时期开始，“史记”由史书的通称逐渐成为“太史公书”的专称。 《史记》对后世史学和文学的发展都产生了深远影响。其首创的纪传体编史方法为后来历代“正史”所传承。同时，《史记》还被认为是一部优秀的文学著作，在中国文学史上有重要地位，被鲁迅誉为“史家之绝唱，无韵之离骚”，有很高的文学价值。刘向等人认为此书“善序事理，辩而不华，质而不俚”。[编辑本段]【作者简介】 司马迁司马迁（公元前145年～公元前90年），西汉史学家、思想家、文学家。字子长，左冯翊夏阳（今陕西韩城南芝川镇）人。著有《史记》，《汉书·艺文志》著录有《司马迁赋》八篇；《隋书·经籍志》有《司马迁集》一卷。 司马迁的父亲司马谈任太史令，写古今通史的愿望没有实现，临终要司马迁完成其夙愿。后来，司马迁继任父亲太史令之职，开始写《史记》，十多年后，终于完成。 司马迁早在20岁时，便离开首都长安遍踏名山大川，实地考察历史遗迹，了解到许多历史人物的遗闻轶事以及许多地方的民情风俗和经济生活。 汉武帝元封三年（公元前108年），司马迁38岁时，正式做了太史令，有机会阅览汉朝官藏的图书、档案以及各种史料。他一边整理史料，一边参加改历。等到太初元年（公元前104年），我国第一部历书《太初历》完成，司马迁就开始撰写《史记》。 汉武帝天汉二年（公元前99年），司马迁因为替李陵辩护，而被关入监狱，并处以宫刑。太始元年（公元前96年）司马迁出狱，后当了中书令。直到汉武帝征和二年（公元前91年），《史记》全书得以完成。 作者年表 公元前145年（汉景帝中元五年），生于龙门。 公元前140年（汉武帝建元元年），6岁，父亲司马谈任太史令。《太史公自序》：“谈为太史公，仕于建元元封之间。太史公既掌天官，不治民。” 公元前136年（汉武帝建元五年），10岁，在夏阳耕读。《太史公自序》：“耕牧河山阳，年十岁，则诵古文。” 公元前135年（汉武帝建元六年），11岁。窦太后死，汉武帝罢黜黄老之言，发动尊儒。 公元前134年（汉武帝元光元年），12岁。是年董仲舒上“天人三策”。汉武帝罢黜百家，独尊儒术。司马迁时在夏阳耕读，时在长安求学。 公元前127年（汉武帝元朔二年），19岁，从夏阳迁居长安。从孔安国学《尚书》，从董仲舒学《春秋》。孔安国为侍中。 公元前126年（汉武帝元朔三年），20岁，开始外出游历，回长安后，为汉武帝近侍郎中，随汉武帝到过平凉、崆峒，又奉使巴蜀。 公元前110年（汉武帝元封元年），36岁。汉武帝封禅泰山，司马谈病死洛阳。司马迁到泰山参加封禅。 公元前108年（汉武帝元封三年），38岁，正式做太史令，一边整理史料，一边参加改历。 公元前104年（汉武帝太初元年），42岁，《太初历》完成，开始编写《史记》。 公元前99年（汉武帝天汉二年），47岁，汉武帝攻打匈奴，骑都尉李陵投降。司马迁为其辩护，下狱，遭宫刑。(不过《史记》一半左右都是在他入狱的时间中完成的) 公元前96年（汉武帝太始元年），50岁，汉武帝改元大赦。司马迁出狱后当了中书令。 公元前91年（汉武帝征和二年），55岁，《史记》全书完成。[编辑本段]【成书原因】 司马迁著《史记》，其史学观念在于“究天人之际，通古今之变，成一家之言”。 司马迁探求的天人之际，并非承认天的神秘力量，而是重视天人之间关系的演变，从而了解 “古今之变” 的关键，探求出历史动态发展变化的层面，最终完成“一家之言”。而他的撰述动机，主要有以下三方面： 一、司马迁为了继承其父司马谈编订史书的遗志，完成撰述《史记》的宏愿 司马氏世代为太史，为继承孔子撰述《春秋》的精神，整理和论述上代历史。《隋书·经籍志》说：“谈乃据《左氏春秋》、《国语》、《世本》、《战国策》、《楚汉春秋》，接其后事，成一家之言。”可见司马谈有意继续编订《春秋》以后的史事。 元封元年，汉武帝进行封禅大典，司马谈身为太史令，却无缘参与当世盛事，引为终生之憾，忧愤而死。他死前将遗志嘱咐儿子司马迁说：“今天子接千岁之统，封泰山，而余不得从行，是命也夫！余死，汝必为太史，无忘吾所欲论著矣……”司马迁则回答道：“小子不敏，请悉论先人所次旧闻。”可知司马迁乃秉承父亲的遗志完成史著。 而《史记》以《封禅书》为其八书之一，即见其秉先父之意。 二、司马迁想继承《春秋》精神 司马迁在《太史公自序》说：：“先人有言，自周公卒，五百岁而有孔子，孔子卒后，至于今五百岁，有能绍明世，正《易传》、继《春秋》、本《诗》、《书》、《礼》、《乐》之际，意在斯乎？意在斯乎？小子何敢让焉？”此正暗示其有明道义，显扬志业人物的使命。 《春秋》的下限，到鲁哀公获麟之年，此后的史事就没有完整的史籍记载。司马迁是绍继《春秋》，并以汉武帝元狩元年“获麟”及太初元年改历下限，撰写史记。 然而，司马迁继承《春秋》，不仅是要形式上承继周公以来的道统，而且是重视《春秋》的性质，他在《太史公自序》说：“夫《春秋》，上明三王之道，下辨人事之纪，别嫌疑，明是非，定犹豫，善善恶恶，贤贤贱不肖，存亡国，继绝世，补敝起废，王道之大者也……《春秋》以道义，拨乱世，反之正，莫近于《春秋》。” 可见司马迁对“春秋之义”和“春秋笔法”心仪已久，这是他要承孔子的真意、秉承《春秋》褒贬精神，撰述《史记》。 三、司马迁要肩负史家职责 司马谈早有整理上代历史的计划，可惜却“发愤而卒”，临终前叮嘱司马迁，认为“自获麟以来，史记放绝。今汉兴，海内一统，明主、贤君、忠臣、死义之士”甚多，司马迁身为太史公，有完成论载上代历史的任务。 司马迁在《太史公自序》也指出身为太史的职责说：“且余尝掌其官，废明圣盛德不载，灭功臣、世家、贤大夫之不述，隳先人之言，罪莫大焉。”因此，司马迁一心秉承先人世传及“述往事以思来者”的责任感，决意撰述《史记》。 在《报任安书》中也透露著述《史记》的目的，他说“凡百三十篇，亦欲以究天人之际，通古今之变，成一家之言。”可见他不但要完成太史令的责任，更要尽史学家的职责。 【成书原因】 司马迁著《史记》，其史学观念在于“究天人之际，通古今之变，成一家之言”。 司马迁探求的天人之际，并非承认天的神秘力量，而是重视天人之间关系的演变，从而了解 “古今之变” 的关键，探求出历史动态发展变化的层面，最终完成“一家之言”。而他的撰述动机，主要有以下三方面： 一、司马迁为了继承其父司马谈编订史书的遗志，完成撰述《史记》的宏愿 司马氏世代为太史，为继承孔子撰述《春秋》的精神，整理和论述上代历史。《隋书·经籍志》说：“谈乃据《左氏春秋》、《国语》、《世本》、《战国策》、《楚汉春秋》，接其后事，成一家之言。”可见司马谈有意继续编订《春秋》以后的史事。 元封元年，汉武帝进行封禅大典，司马谈身为太史令，却无缘参与当世盛事，引为终生之憾，忧愤而死。他死前将遗志嘱咐儿子司马迁说：“今天子接千岁之统，封泰山，而余不得从行，是命也夫！余死，汝必为太史，无忘吾所欲论著矣……”司马迁则回答道：“小子不敏，请悉论先人所次旧闻。”可知司马迁乃秉承父亲的遗志完成史著。 而《史记》以《封禅书》为其八书之一，即见其秉先父之意。 二、司马迁想继承《春秋》精神 司马迁在《太史公自序》说：：“先人有言，自周公卒，五百岁而有孔子，孔子卒后，至于今五百岁，有能绍明世，正《易传》、继《春秋》、本《诗》、《书》、《礼》、《乐》之际，意在斯乎？意在斯乎？小子何敢让焉？”此正暗示其有明道义，显扬志业人物的使命。 《春秋》的下限，到鲁哀公获麟之年，此后的史事就没有完整的史籍记载。司马迁是绍继《春秋》，并以汉武帝元狩元年“获麟”及太初元年改历下限，撰写史记。 然而，司马迁继承《春秋》，不仅是要形式上承继周公以来的道统，而且是重视《春秋》的性质，他在《太史公自序》说：“夫《春秋》，上明三王之道，下辨人事之纪，别嫌疑，明是非，定犹豫，善善恶恶，贤贤贱不肖，存亡国，继绝世，补敝起废，王道之大者也……《春秋》以道义，拨乱世，反之正，莫近于《春秋》。” 可见司马迁对“春秋之义”和“春秋笔法”心仪已久，这是他要承孔子的真意、秉承《春秋》褒贬精神，撰述《史记》。 三、司马迁要肩负史家职责 司马谈早有整理上代历史的计划，可惜却“发愤而卒”，临终前叮嘱司马迁，认为“自获麟以来，史记放绝。今汉兴，海内一统，明主、贤君、忠臣、死义之士”甚多，司马迁身为太史公，有完成论载上代历史的任务。 司马迁在《太史公自序》也指出身为太史的职责说：“且余尝掌其官，废明圣盛德不载，灭功臣、世家、贤大夫之不述，隳先人之言，罪莫大焉。”因此，司马迁一心秉承先人世传及“述往事以思来者”的责任感，决意撰述《史记》。 在《报任安书》中也透露著述《史记》的目的，他说“凡百三十篇，亦欲以究天人之际，通古今之变，成一家之言。”可见他不但要完成太史令的责任，更要尽史学家的职责。[编辑本段]【最激动人心的思想】 表现进步的民族观 进步的经济思想 强烈的民主性批判性 贯穿全书的豪迈的人生观，生死观，价值观[编辑本段]【创作态度】 严谨实录 司马迁撰写史记，态度严谨认真，实录精神是其最大的特色。他写的每一个历史人物或历史事件，都经过了大量的调查研究，并对史实反复作了核对。 汉朝的历史学家班固说，司马迁“其文直，其事核，不虚美，不隐恶，故谓之实录”。也就是说，他的文章公正，史实可靠，不空讲好话，不隐瞒坏事。这便高度评价了司马迁的科学态度和《史记》的记事翔实。 客观公正 司马迁坚持“实录”精神，在给人物作传记时，并不为传统历史记载的成规所拘束，而是按照自己对历史事实的思想感情记录。 从最高的皇帝到王侯贵族，到将相大臣，再到地方长官等等，司马迁当然不会抹杀他们神奇、光彩的一面，但突出的是揭露他们的腐朽、丑恶以及对人民的剥削和压迫。尤其揭露了汉代统治阶级的罪恶。 司马迁虽是汉武帝的臣子，但对于汉武帝的过失，司马迁丝毫没有加以隐瞒，他深刻揭露和批判了当时盛行的封禅祭祖、祈求神仙活动的虚妄。在《封禅书》中，他把汉武帝迷信神仙，千方百计祈求不死之药的荒谬无聊行为淋漓尽致地描绘了出来。 评价分明 项羽司马迁想为封建统治者提供历史的借鉴作用，反映的是真实的历史，这是非常可贵的。 本着实录的精神，司马迁在选取人物时，并不是根据其官职或社会地位，而是以其实际行为表现为标准。比如，他写了许多诸如游侠、商人、医生、倡优等下层人物的传记。在司马迁心目中，这些人都有可取之处。 司马迁首创了以人载事，始终叙述一个人生平事迹的写法。着重写其“为人”，并注意其“为人”的复杂性，是司马迁的笔法。他在作传时，把自己的看法寓于客观的事实叙述之中，来表示自己对人物的爱憎态度。 比如项羽这个人物，司马迁同情他，以非常饱满的热情来写这位失败英雄。他既称赞项羽的骁勇，又对他的胸无大志、残暴自恃作出批评。可是，在《项羽本纪》中，司马迁并没有发议论，但是他对项羽的爱憎态度却于叙事之中明显地表现了出来。这便是司马迁作传的最大特点，即真实性和倾向性的统一。[编辑本段]【内容体例】 内容结构 《史记》是一部纪传体通史，全书共一百三十篇，有十二本纪、十表、八书、三十世家、七十列传，五十二万六千五百一十五字。其中的本纪和列传是主体。 “本纪”是全书提纲，按年月时间记述帝王的言行政绩。 “表”用表格来简列世系、人物和史事。 “书”则记述制度发展，涉及礼乐制度、天文兵律、社会经济、河渠地理等诸方面内容。 “世家”记述子孙世袭的王侯封国史迹和特别重要人物事迹。 “列传”是重要人物和少数民族的传记。 文章内容 《史记》的文章可分成两个部分：前面的正文是人物的生平描述，这部分皆以代表性事件或逸事衔接交杂而成；正文后面会加上作者的评论或感想，通常以“太史公曰”为起头，内容或有作者的个人经历，或有对人物的评价，或有收集资料的过程，但仍以评论题材人物的性格与行事为主，这也呼应司马迁在自序中“究天人之际”的写作目标。 编撰主旨 按司马迁所说，编写的宗旨是“究天人之际，通古今之变，成一家之言”。 “究天人之际”：是探究天道和人事的关系，作者批判了原来的“神意天命论”，提出了“帝王中心论”。 “通古今之变”：即探究历史的发展实况及其规律。 参考内容 《史记》参考了众多典籍，如《左传》、《国语》、《世本》、《战国策》、《楚汉春秋》和诸子百家等，同时参考档案、民间古文书籍。司马迁还亲自采访，进行实地调查，然后对材料精心选择使用，治学态度异常严谨。 汉代之前的历史著作在内容、史事、材料、作者编撰水平上都无法和《史记》相比。《史记》不但规模巨大，体系完备，而且对此后的纪传体史书影响很深，历朝正史基本都用这种体裁撰写。同时，书中的文字生动性，叙事的形象性也是成就最高的。 体例结构 本纪 实际上就是帝王的传记，因为帝王是统理国家大事的最高的首脑，为他们作纪传而名之曰“本纪“，正所以显示天下本统之所在，使官民行事都有一定的纲纪的缘故。同时，也是全书的总纲，是用编年体的方法记事的。在“本纪”的写作中，司马迁采取了详今略远的办法，时代愈远愈略，愈近愈详。 “本纪”托始黄帝，是因为黄帝是中华民族的始祖，又是“正名百物”的祖师。将项羽列入“本纪”，一是秦汉间几年“政由羽出”，一是推崇其人格。� 书 是记载历代朝章国典，以明古今制度沿革的专章，非是熟悉掌故的史家，是无法撰写成书的。班固《汉书》改称“志”，成为通例。“书”的修撰，为研究各种专门史提供了丰富的资料。 孔子世家 是记载诸侯国之事的。这因诸侯开国承家，子孙世袭，也就给了他们的传记叫做世家。从西周的大分封开始，发展到春秋、战国，各诸侯国先后称霸称雄，盛极一时，用“世家”体裁记述这一情况，是非常妥当的。 司马迁把孔子和陈涉也列入“世家”，是一种例外。孔子虽非王侯，但却是传承三代文化的宗主，更何况汉武帝时儒学独尊，孔子是儒学的创始人，将之列入“世家”也反映了思想领域的现实情况。 至于陈涉，不但是首先起义亡秦的领导者，且是三代以来以平民起兵而反残暴统治的第一人，而亡秦的侯王又多是他建置的。司马迁将之列入“世家”，把他的功业和汤放桀，武王伐纣，孔子作《春秋》相比，将他写成为震撼暴秦帝国统治、叱咤风云的伟大历史英雄，反映了作者进步的历史观。 列传 是记载帝王、诸侯以外的各种历史人物的。有单传，有合传，有类传。 单传是一人一传，如《商君列传》、《李斯列传》等。 合传是记二人以上的，如《管晏列传》、《老庄申韩列传》等。 类传是以类相从，把同一类人物的活动，归到一个传内，如《儒林列传》、《循吏列传》、《刺客列传》等。 司马迁把当时我国四周少数民族的历史情况，也用类传的形式记载下来，如《匈奴列传》、《朝鲜列传》、《大宛列传》等，这就为研究我国古代少数民族的历史，提供了重要的史料来源。[编辑本段]【全书篇目】 本纪
《孙子兵法》多少字不知道，既然想看名著不必在乎字的多少
女生的话写《呼啸山庄》，男生的话就写有关于埃及长老拉美西斯的论文，素材多，而且都是很好的
关于数学史的论文摘要
从算法教学管窥中国古代数学史俞 昕( 浙江湖州市第二中学 313000) 关于算法的涵义， 人们有着不同的界定 普通高中数学课程标准( 实验) 在学生算法目标达成度上，重在算法思想的理解与应用，界定现代算法的意义就是解决某一类问题的办法 确切地说，就是对于某一类特定的问题，算法给出了解决问题的一系列(有穷) 操作， 即每一操作都有它的确定性的意义( 使计算机能够按照它的指令工作) ，并在有限时间( 有穷步骤)内计算出结果普通高中数学课程标准( 实验) 对! 算法部分∀进行说明时，突出强调! 需要特别指出的是， 中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想∀ 吴文俊先生曾经说过! 我们崇拜中国传统数学，决非泥古迷古、 为古而古 复古是没有出路的 我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌， 也不仅是为了破除对西算的盲从，端正对中算的认识，我们主要的也是真正的目的， 是在于古为今用 ∀算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值， 作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的1 中国古代数学的特点古代数学思想分为两大体系， 一个是以欧几里得的几何原本 为代表的西方数学思想体系，这个体系以公理化的思想、 抽象化的方法、 封闭的演绎体系为特色 另一个则是以我国的九章算术 为代表的东方数学思想体系，这个体系以算法化的思想、 构造性的方法、 开放的归纳体系为特色我国传统数学在从问题出发，以解决问题为主旨的发展过程中， 建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系， 这与西方数学以欧几里得几何原本 为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对中国古代数学中的! 术∀相当于现代数学术语中的! 公式∀，两者虽有相同点(都可以用来解决一类有关问题) ， 其差异也非常之大 主要表现在，! 公式∀只提供了几个有关的量之间的关系， 指明通过哪些运算可由已知量求出未知量，但并没有列出具体的运算程序，一般地，认为这种程序是已知的了 但! 术∀则由怎样运算的详细程序构成的，可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体程序，即把! 公式∀展开为使用某种计算工具的具体操作步骤 从这点看， ! 术∀正是现代意义上的算法， 是用一套! 程序语言∀所描写的程序化算法，可以照搬到现代计算机上去 我国古代数学包括了今天初等数学中的算术、 代数、 集合和三角等多方面的内容由于受实用价值观的影响， 中国传统数学的研究遵循着一种算法化思想，这种思想从九章算术 开始一直是中国古代数学著作大都沿袭的模式:实际问题# # # 归类# # # 筹式模型化# # # 程序化算法即将社会生产生活中的问题，先编成应用问题，按问题性质分类， 然后概括地近似地表述出一种数学模型， 借助于算筹， 得到这一类问题的一般解法 把算法综合起来， 得到一般原理， 分别隶属于各章，人们按照书中的方法、 原理和实例来解决各种实际问题 可以说，中国传统数学以确定算法为基本内容，又以创造和改进算法为其发展的方向受九章算术 的影响，在之后的几个世纪，一些数学家的著作都以算法为主要特点，包括王孝通的辑古算经 、 贾宪的黄帝九章算法细草 、 刘益的议古根源 、 秦九韶的数书九章 、 李冶的测圆海镜 和益古演段 、 杨辉的详解九章算法 、 日用算法 和杨辉算法 ， 这些著作中包括了增乘开方术、 贾宪三角、 高次方程数值解法、 内插法、 一次同余式组解法等一些著名的算法，进一步发展了中国古代数学算法化的特点，使得算法的特点得到了进一步的强化和发展1 1 中国古代数学的算法化思想算法化的思想是中国古代数学的重要特点，并贯穿于中国古算整个发展过程之中即使是与24 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期图形有关的几何问题也不例外，中算家们将几何方法与算法有机地结合起来，实现了几何问题的算法化这样，从问题出发建立程序化的算法一直是古代中国数学研究的传统，也是中算家们努力的方向这种算法化的思想着重构造实践，更强调! 经验∀、 ! 发现∀和构造性思维方式下从无到有的发明，对今天的算法教学与研究具有重要的启迪作用中国古代数学算法化的思想具体表现如下:第一步，把实际中提出的各种问题转化为数学模型;第二步，把各种数学模型转化为代数方程; 第三步，把代数方程转化为一种程序化的算法; 第四步，设计( 并逐步改进)、 归纳、 推导(寓推理于算法之中)出各种算法; 第五步，通过计算回溯逐步达到解决原来的问题1 2 中国古代数学的构造性方法所谓构造性方法是解决数学问题的一种方法，是创造性思维方式直接作用的结果按照现代直觉主义者，特别是构造主义者的观点，对于一个数学对象，只有当它可以通过有限次的操作而获得，并且在每步操作之后都能有效地确定下一步所需要采取的操作， 才能说它是存在的按照这种思维方式，可以使概念和方法按固定的方式在有限步骤内进行定义或得以实施，或给出一个行之有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造出来换言之，就是能用有限的手段刻画数学对象并针对问题提出具体的解法中国古代数学的算法化思想与构造性的方法紧密相连由于古代中算家所关心的大多是较为实用的问题，他们在解决问题时首先考虑是如何得到可以直接应用的、 可以方便操作的解，而不会满足于仅仅知道解在理论上的存在性 因为这种纯粹的理论解对于受实用价值观影响的中算家来说是没有多大意义的从而我们推断，构造性方法的产生是算法化思想直接作用的结果从我国许多经典算书中可以发现， 数学构造性方法在算法中有许多精彩的体现 例如就! 方程∀的筹算图阵及其程序设计而言，首先， ! 群物总杂，各列有数，总言其实∀，这是对每行中未知数的系数和常数项的安排，其次， ! 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之∀，这是对诸行关系的安排， ! 并列为行∀又说明了什么叫! 方程∀ 这为中国古代数学的构造性方法提供了一个具有说服力的样板由于构造性的方法特别强调运算的可操作程度， 所以构造出的! 术∀可以通过一系列有限的运算求出解来， 具有一般性时至今日我国古算家所设计的许多算法几乎都可以整套照搬到现代的电子计算机上实现这也是我国古算在算法上长期居于领先地位的一个重要原因2 中国古代数学中的优秀算法案例 1 中国古代的代数学代数学是中国传统数学中一个值得骄傲和自豪的领域中小学数学中的算术、 代数内容， 从记数以至解联立的线性方程组， 实质上都是中国古代数学家的发明创造结合新课程的算法教学，笔者选取我国古代著名算法进行分析 1 求最大公约数的算法(更相减损术)中国古代数学中，未曾出现素数、 因数分解等概念，但是发明了求两整数的最大公约数的方法# # # 更相减损术: ! 可半者半之，不可半者，副置分母子之数， 以少减多， 更相减损，求其等也以等数约之 ∀事实上此术中包含了三个步骤:第一步， ! 可半者半之∀， 即进行观察， 若分子、分母都是偶数，可先取其半;第二步， ! 不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多，更相减损，求其等也∀;第三步， ! 以等数约之∀其中第二步! 以少减多， 更相减损∀是关键，又是典型的机械化程序在中国古代数学中， 将最大公约数称作! 等∀由于! 更相减损∀过程终可以在有限步骤内实现， 所以它是一种构造性的方法若用现代语言翻译即为:第一步，任意给定两个正整数， 判断它们是否都是偶数 若是，用2 约减，若不是， 执行第二步 第二步， 以较大的数减去较小的数， 接着把所得的差与较小的数比较， 并以大数减小数继续这个操作， 直到所得的数相等为止， 则这个数( 等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数下面运用 QBA SIC 语言来编写相应的程序( 见程序1) 25 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报程序 1INPUT! m， n= ∀ ; m， nIF m< n T HEN a= m m= n n= aEND IFk= 0WHILE m MOD 2= 0 AND n MOD2= 0 m= m/ 2 n= n/ 2 k= k+ 1WENDd= m- nWHILE d< > n IF d> n TH EN m= d ELSE m= n n= d END IF d = m- nWENDd= 2 ∃ k * dPRINT dEND程序 2INPUT A， BWHILE A < > B IF A> B T H EN A = A- B ELSE B= B - A END IFWENDPRINT BEND程序 3INPUT ! M， N (M> N )∀ ; M， NDOR= M- N IF R> N TH EN M= R ELSE M= N N= R END IFLOOP UNTIL R= 0PRINT MEND程序 4INPUT ! n= ∀ ; nINPUT! an= ∀; aINPUT! x= ∀ ; xv= ai= n- 1WH ILE i> = 0 PRINT ! i= ∀; i INPUT! ai= ∀ ; a v= v * x+ a i= i- 1WENDPRINT vEND程序 2和 3 是两个简化的参考程序， 是从不同的角度来实现更相减损的过程! 更相减损术∀提供了一种求两数最大公约数的算法， 这是九章算术 的一个重要成就， 与古希腊欧几里得的几何原本 中用来求最大公约数的! 欧几里得算法∀， 即辗转相除法， 有异曲同工之妙 欧几里得在几何原本 中针对这个问题引入了许多概念， 给出了冗长的逻辑证明 尽管如此，他还是暗用了一条未加说明的公理， 即如果 a， b都被c 整除， 则a- mb也能被c 整除中国古算采用的! 更相减损∀方法，实际上也暗用了一条未加说明的公理， 即若 a- b 可以被c 整除，则 a， b 都能被c 整除 正如刘徽在九章算术注 中! 其所以相减者， 皆等数之重叠∀ 从形式上看! 更相减损术∀比! 辗转相除法∀更复杂， 循环次数要比辗转相除法多， 但对于计算机来说， 作乘除运算要比作加减运算慢得多， 因此更相减损术在计算机上更为好用26 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 2 求一元 n 次多项式值的算法(秦九韶算法)秦九韶，南宋著名数学家，其学术思想充分体现在数书九章 这一光辉名著中，该著作不仅继承了九章算术 的传统模式， 对中算的固有特点发扬光大，而且完全符合宋元社会的历史背景， 是中世纪世界数学史上的光辉篇章 书中记载了! 正负开方术∀、 ! 大衍求一术∀等著名算法在数书九章 卷五第 17 个问题以! 尖田求积∀为例的算法程序中，可以看出秦九韶对于求一元n 次多项式f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x+ a0 的值所提出的算法秦九韶算法的特点在于通过反复计算n 个一次多项式，逐步得到原多项式的值 在欧洲， 英国数学家霍纳( Horner ) 在1819 年才创造了类似的方法， 比秦九韶晚了572年秦九韶算法把求f ( x ) = anxn+ an- 1 xn- 1+ %+ a1x + a0 的 值 转 化 为 求 递 推 公 式v0= anvk= vk- 1x+ an- k k= 1， 2， %， n中 v n 的值 通过这种转化， 把运算的次数由至多( 1+ n) n2次乘法运算和n 次加法运算，减少为至多 n 次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率这种算法的QBASIC 语言程序如程序 4 所示算法步骤是如下的五步: 第一步， 输入多项式次数 n、 最高次项的系数an 和x 的值;第二步，将 v 的值初始化为a v ，将i 的值初始化为n- 1; 第三步， 输入 i次项的系数ai ;第四步， v= v x+ ai ， i= i- 1; 第五步，判断i 是否大于或等于 0， 若是， 则返回第三步，否则输出多项式的值v 2 中国古代的几何学中国古代的几何学从田亩丈量等生产生活中的一些实际问题中产生， 并为生产生活服务 基于传统实用价值观的影响， 中国古代的几何学并没有发展成为像欧氏几何那样严密的公理化演绎体系，所以中国古代几何学在整个数学史上的地位并不突出，但在许多几何问题的处理上也突出了算法化这一特色 下面以! 割圆术∀为例作简要分析中国古代数学家刘徽创立! 割圆术∀来求圆的面积及其相关问题 刘徽! 瓤而裁之∀，即对与圆周合体的正多边形进行无穷小分割，分成无穷多个以正多边形每边为底、 圆心为顶点的小等腰三角形， 这无穷多个小三角形的面积之和就是圆的面积 这样通过对直线形的无穷小分割， 然后求其极限状态的和的方式证明了圆的面积公式刘徽的算法! 割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆合体而无所失矣∀体现出程序化的过程， 可以看出圆内接正多边形逐渐逼近圆的变化趋势，并且刘徽依此开创了求圆周率精确近似值的方法， 将这种极限思想用于近似计算其中包含有迭代过程和子程序，是一种典型的循环算法，充分体现了程序化的特点中算家的几何学，并不追求逻辑论证的完美，而是着重于实际计算问题的解决， ! 析理以辞， 解体用图∀， 以建立解决问题的一般方法和一般原则 但另一方面，这种几何学又是以面积、 体积、 勾股相似等为基本概念，以长方形面积算法、 长方形体积算法、 相似勾股形的性质为出发点的， 整个几何理论建立在! 出入相补原理∀等基本原理之上例如，由勾股定理自然地引起平方根的计算问题，而求平方根和立方根的方法， 其步骤就是以出入相补原理为几何背景逐步索骥而得这方面内容的介绍， 不仅可以丰富学生的算法知识，而且可以通过揭示蕴藏其中的数学背景和文化内涵， 激发学生学习算法的兴趣，体会算法在人类发展史中的作用3 中国古代数学算法的教学价值 1 培养正确数学观的良好平台中国传统算法尽管与现代算法在具体形式上差别很大，但是重要的是形式后面的认识论发展线索可以为现代算法教学的体系、 教学层次提供依据它的具体数学知识载体也是现代算法教学的重要源泉 各种算法的创立就是创造性劳动的产物，即是创造思维的一种! 凝固∀和! 外化∀ 其次， 通过把一部分问题的求解归结为对于现成算法的! 机械应用∀， 这就为人们积极地去从事新的创造性劳动提供了更大的可能性 从而算法化也就意味着由一个平台向更高点的跳跃吴文俊先生的研究使中国传统数学的算法重见天日， 开拓了数学机械化的新领域， 吴先生提出! 数学教育的现代化就是机械化∀他在研究中这样写道: 数学问题的机械化， 就要求在运算和证明过程中， 每前进一步之后，都有一个确定的必须选27 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报择的下一步， 这样沿着一条有规律的， 刻板的道路，一直达到结论证明机械化的实质在于， 把通常数学证明中所固有的质的困难，转化为计算的量的复杂性计算的量的复杂性在过去是人力不可能解决的，而计算机的出现解决了这种复杂性吴先生的理论和实践已经表明，证明和计算是数学的两个方面， 且又是统一的，这在数学教育中具有重要意义我们应当引导学生了解古人对问题思考的角度，学会站在巨人的肩膀上，比如按照中国古代开方术的思路就可以编造程序在现代计算机上实现开方培养学生在学习数学知识的同时更多地关心所学知识的社会意义和历史意义，力图在面向未来的同时，通过同传统上的哲学、 历史和社会学的思想结合起来， 形成正确的数学观算法教学就为此搭建了一个良好的平台， 并且承载丰富的历史底蕴 2 渗透爱国主义教育的最佳契机与西方相比， 中算理论具有高度概括与精练的特征， 中算家经常将其依据的算理蕴涵于演算的步骤之中， 起到! 不言而喻， 不证自明∀的作用，可以认为中国传统数学乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单， 精巧的理论建筑物 因此， 中算理论可以说是一种! 纲目结构∀:目是组成理论之网的眼孔;纲是联结细目的总绳以术为目， 以率为纲，即是依算法划分理论单元，而用基本的数量关系把它们连结成一个整体 纲举目张，只有抓住贯串其中的基本理论与原理， 才能看清算法的来龙去脉下面是吴文俊先生总结的! 关于算术代数部分发明创造的一张中外对照表∀从算法教学管窥中国古代数学史中国 外国位值制十进位记 最迟在九章算术 成书时已十分成熟 印度最早在 6 世纪末才出现分数运算 周髀算经 中已有， 在九章算术 成书时已成熟 印度最早在 7 世纪才出现十进位小数 刘徽注中引入， 宋秦九韶 1247年时已通行 西欧 16 世纪时始有之， 印度无开平方、 立方 周髀算经 中已有开平方， 九章算术 中开平、 立方已成熟西方在 4 世纪末始有开平方， 但还无开立方， 印度最早在 7 世纪算术应用 九章算术 中有各种类型的应用问题 印度 7 世纪后的数学书中有某些与中国类似的问题与方法正负数 九章算术 中已成熟 印度最早见于 7 世纪，西欧至 16 世纪始有之联立一次方程组 九章算术 中已成熟 印度 7 世纪后开始有一些特殊类型的方程组， 西方迟至 16 世纪始有之二次方程 九章算术 中已隐含了求数值解法，三国时有一般解求法 印度在 7 世纪后，阿拉伯在 9世纪有一般解求法三次方程 唐初( 公元 7 世纪初) 有列方程法， 求数值解已成熟西欧至 16 世纪有一般解求法， 阿拉伯 10 世纪有几何解高次方程 宋时( 12 # 13 世纪)已有数值解法 西欧至 19 世纪初始有同样方法联立高次方程组与消元法 元时( 14 世纪初) 已有之 西欧甚迟，估计在 19 世纪28 数学通报 2010 年 第49 卷 第2 期 3 品位数学美学思想的美妙境界中国古代数学不但具有实用性特征， 还蕴涵着丰富的美学思想 比如九章算术 中列方程的方式，相当于列出其增广矩阵，其消元过程相当于矩阵变换，而矩阵是数学美学方法中对称最典型的表现形式之一; 九章算术 中用几何方法巧妙地解决了很多代数问题， 这是数形结合的统一: 把数学问题改编成歌诀，以便于掌握和传授，这是文学艺术与数学的统一 总之， 在算法教学中， 应努力把握和利用自己文化传统中的积极因素进行教学，这对数学教育的发展具有重要的意义参考文献1 中学数学课程教材研究开发中心 普通高中课程标准实验教材书(数学) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20072 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验) [ M] 北京: 人民教育出版社， 20033 李文林 数学史概论(第二版) [ M ] 北京: 高等教育出版社， 20024 王鸿钧， 孙宏安 中国古代数学思想方法[ M] 南京: 江苏教育出版社， 19885 张维忠 数学， 文化与数学课程[ M] 上海: 上海教育出版社， 19996 吴文俊 吴文俊论数学机械化[ M ] 济南: 山东教育出版社， 19957 代钦 儒家思想与中国传统数学[ M] 北京: 商务印书馆， 20038 费泰生 算法及其特征[ J] 数学通讯， 2004， 79 张奠宙 算法[ J] 科学， 2003， 55( 2)10 李建华 算法及其教育价值[ J ] 数学教育学报， 2004， 311 李亚玲 算法及其学习的意义[ J ] 数学通报， 2004， 2(上接第23 页) 实验教师对课改实验进行探索、 总结、 反思、 调整， 推广比较成熟的经验，同时纠正实验过程中的偏颇与极端行为，教学过程逐步进入新的稳定阶段教学过程逐步过渡到以问题为主线、 以活动为主线的! 无环节∀模式( 2)受不同的教学理念影响， 教师角色、 学生角色、 教学目标、 教学过程关注点等方面， 在教学过程中有很大差异教师角色 学生角色 教学目标 教学过程关注领导者(权威)接 受 者(被动)让 学 生 掌握 数 学 知识技能知识 引入， 讲 解本质， 巩固练习主导者(决定)观 察 者(协助)让 学 生 观摩 数 学 产生过程展示 过程， 注 重建构， 强化训练引导者(组织)参 与 者(主动)让 学 生 参与 探 究 数学 生 成 过程问题 情境， 提 出问题， 学生活动( 3) 2004 年高中数学课程改革后， 课堂教学发生一定的变化，广泛地进行! 创设情境∀! 提出问题∀!引导学生探究探索∀， 出现了以! 问题主线∀、! 活动主线∀为主的课堂， 出现了! 问题情境学生活动建立数学运用数学同顾反思∀的整体课堂构思这些改变对于揭示数学的内在本质， 发展学生的思维能力起到积极的作用( 4) 由于受多种因素制约(特别是高考) ，与初中相比， 本次课改后高中数学课堂教学变化幅度不大，近半数的课堂教学模式仍然以五环节为主对于课改倡导的教学理念， 只是渗透在传统的教学模式中，目前高中数学课堂教学改革的力度、 深度与课改的预期目标还有一定的距离我们看到2008 年的赛课教案的创新、 探索力度， 远没有1990 年的名师授课录 大， 那时还没有明确提出课改理念，但他们却进行积极的探索， 关注学生主体 而今天，课改的理念已经系统培训 5 年， 许多教师仍停留在形式层面，未能变成自觉的行为参考文献1 李善良 我国数学教学设计的探索与评析# # # 兼及十年初中数学教师说课评比活动[ J ] 中国数学教育(初中版) ， 2007， 92 编委会 名师授课录(中学数学高中版) [ M] ， 上海教育出版社， 19913 2000 年全国首届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)4 2008 年全国第四届高中青年数学教师优秀课观摩与评比的教案(会议资料)5 李善良 关于数学教学中问题的设计[ J] 高中数学教与学，2008， 129 2010 年 第49 卷 第2 期 数学通报
什么是数学？这是任何一个数学教育工作者都应认真思考的问题。只有对数学的本质特征有比较清晰的认识，才能在数学教育研究中把握正确的方向 1 数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。 2从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海（A N Whiiehead，186----1947）在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978）不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯•诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。 3对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。 4事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。” 5另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，……，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，…，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，…，数学就起着用科学的作用…•，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动…•，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验…•，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．” 从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供 不少同学对数学总这有一点畏惧感，对数学好的人有一种敬佩感。自己对数学总有一点信心不足，拿到一个新课本，一翻，十分庆幸，好在数学公式不多，如果拿到一本书，中间数学推导公式多，就十分沮丧，甚至想回避。 大家都不是搞数学专业的，为什么非要讲一讲对数学的再认识、反复强调要学好数学？如何提高数学素养呢？我想，作为一个现代大学生，数学是回避不了的。华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，无处不用数学”。到了今天这个信息时代，可以说每一项高新技术的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上就是数学技术。我们想有所作为，要想取得突出的成就，必要的数学知识，较好的数学素养，较高的数学思维是必须的，请注意我这里用了三个不同的定语，要求是逐步升高的。而且你们已不再是中学生，不是爸爸妈妈要送你读书了，你们已进入人生悟性期，自觉的理解意识正在升起，有的同学甚至对科研、创造、创新已跃跃欲试了，这很好。从课堂和书本里学来的只能是知识，是外来信息，人们最终需要开发和建立的是自己的意识和悟性，当然知识也可以促进意识和悟性的迅速提高。在这个人生的春天季节里，我来和你们一起对数学整体性地温习一次，鸟瞰一次，相信对你们是大有好处的。 一、 从数学与其它学科的关系来看数学 就从数学的外部来论说这个问题。 1、 数学是一种语言，是一种科学的共同语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人类社会就是用数学语言写成的一本大书。 2、 培根（Bacon）说：“数学是打开科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理论，伦琴因发现X射线于1901成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。” 3、 数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年，后来遇到数学家的工作，即Radon变换，考尔麦克（Cormack）把X射线从许多不同角度照射人体，再运用计算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说，这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再用数学技巧来重构三维图像而已。 4、 数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。 这里突出地谈一谈简洁性。A、数学问题提得简洁。这是因为数学突出了本质的因素，必然是简洁的。例如尺规作图三分角问题。 B、数学语言是精炼的。例如欧拉公式：eix =cosx＋isinx．把实数域中看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域中巧妙地联系在一起。其特例：eiπ＋1＝0 把0、1、i、e、π五个重要常数简单而巧妙的结合在一起，太神奇了。又如，爱因斯坦把茫茫宇宙中的质能关系，用E＝MC2 简单地表达出来，简单得令人拍案叫绝。 C、数学概念是简洁的。数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念：1673年，莱布尼兹定义：函数就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动。1821年，柯西定义：对于X的每个值，如果Y有完全确定的值与之对应，则Y叫做X的函数。近代定义：设有A、B是非空的集合，F是A到B的一个对应法则，则A到B的F映射：A→B称为A到B上的函数。一步一步更简洁、更具一般性。 D、数学证明是简洁的。数学的目的就是尽可能用简单而基本的词汇尽可能地解释世界。因此，如果我们积累的经验要一代一代传下去的话，就必须不断地努力把它们加以简化和统一。 二、 从数学自身的研究对象来看数学 就是从数学内部来看数学。 恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数学还在发展，目前已经发展成为包括一百多个分枝的庞大系统。数学已经不是原来人们头脑中仅仅是数和形，仅仅是陈景润的概念了。随着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也进入了新的黄金时代。数学包括三个方面，模式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也是能力，是文化，是素质。 1、 数学发生图数学可分为五大学科：纯粹（基础）数学、应用数学、计算数学、运筹与控制、概率论与数理统计。 应用数学则以以上数学为综合理论基础，可分为：价值数学、运筹学、数理统计学、系统科学、决策论等。目前又发展出混沌、小波变换、分形几何等。 2、 算术 人类逐步有了数的概念，由自然数开始。由于人有十个手指，所以多数民族建立了十进位制的自然数表示方法。二十个一组的太多太大，不能一目了然，还要用上脚趾，五个一组又太少，使组数太多，十个一组是比较会让人喜爱的折衷方法。有古巴比仑记数法、希腊记数法、罗马记数法、中国记数法，发展进步了5000年后，印度人第一次发明了零，零加自然数称为为整数，传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。计算机的出现又需要二进位制，就是近几十年的事了。 算术运算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的简化运算，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，这就是四则运算。除法很快导致了分数的出现，以十、百等为分母的除法，简化表达就是小数和循环小数。不是拥有钱而是欠人的钱如何表示，这就出现了负数，以上这些数放在一起，就是有理数，可以表示在一个数轴上。 人们曾经很长时间以为数轴上的数都是有理数，后来有人发现，正方形的边是1，它的对角线长度就无法用有理数表示，用园规在数轴上找到那个对应点就是无理数的点，这是第一次数学危机。1761年德国物理学家和数学家兰伯卢格严格证明了π也是一个无理数，这样把无理数包入之后，有理数与无理数统称为实数，数轴也称之为实数轴。后来人们发现，如果在实数轴上随机的抽取，得到有理数的概率几乎是零，得到无理数的概率几乎是1，无理数比有理数多得多。为什么会如此，因为我们生活的这个客观世界，本来就是无理的多过有理的。 为了解决负数的开平方是什么，16世纪出了虚数i，虚轴与实轴垂直交叉形成一个复平面，数也发展成为由虚部和实部组成的复数。数的概念会不会继续发展，我们试目以待。 3、代数 对实数的运算进入代数学阶段，有“加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数”八则，用符号代表数，列出方程，求解方程成了比算术更有力的武器。这个时期称为初等数学，从5世纪一直到17世纪，大约持续了一千多年。初等数学是常数的数学。对一组数群体性质的研究就导致线性代数。 4、几何 以上是研究数的，在研究形方面也平行的发展着，古希腊的欧几里得用公理化的方法，构建了几何学是最辉煌的成就。二千多年前的平面几何成就已经与目前中学几何教科书几乎一样了。他们还了解了众多曲线的性质，在计算复杂图形的面积时，接近了高等数学。还初步了解到三角函数的值。在几何学方面，后来进一步发展出非欧几何，包括罗巴切夫几何、黎曼几何、图论和拓扑学等分支。 直到17世纪，笛卡尔的工作终于把平行发展的代数与几何联系起来，除建立了平面坐标系之外，还完善了目前通行的符号运算系统。 5、变量数学 变化着的量以及它们间的依赖关系，产生了变量与函数的概念，研究函数的领域叫数学分析，其主要内容是微积分，牛顿由物理力学推动了微积分的产生，莱布尼兹从数学中求曲线多边形的面积出发推动了微积分的发现，两人的工作殊途同归，目前的微积分符号的记法，都是莱布尼兹最先采用的。他们都运用了极限的概念和无穷小的分析方法。 有了微积分，一系列分支出现了，如级数理论、微分方程、偏微分方程、微分几何等等。级数是无穷项数列的求和问题，微分方程是另一类方程，它们的解不是数而是函数，多元的情况下就出现了偏微分概念和偏微分方程。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论，将实数分析的方法推广到复数域中就产生了复变函数论。 6、概率论和数理统计 前面涉及的数量，无论是常量还是变量都是确定的量，但自然界中存在大量的随机现象，其中存在很多不确定的、不可预测的量、是具有偶然性的量，这就由赌博中产生了概率论及其统计学等相关分枝。 7、模糊数学 前面涉及的数量，无论是常量还是变量都是“准确”的量，但自然界中存在大量的不准确现象，人为地准确化只能使我们对客观世界的描述变得不准确。“乏晰数学”Fuzzy就是以这种思想观点和方法研究问题的数学。 三、什么是数学素养 数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点： 1、 在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件； 2、 在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑； 3、 在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶，效益是公司的泛涵等等。 更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯，“三句话不离本行”，我们希望把我们的专业搞得更好，更精密更严格，有些这种优秀的职业习惯当然是好事。人的所有修养，有意识的修养比无意识地、仅凭自然增长地修养来得快得多。只要有这样强烈的要求、愿望和意识，坚持下去人人都可以形成较高的数学素养。 一位名家说：真正的数学家应能把他的东西讲给任何人听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质，因而掌握这种数学思想总是容易的，这一点在大家学习数学时一定要明确。在现代科学中数学能力、数学思维十分重要，这种能力不是表现在死记硬背，不光表现在计算能力，在计算机时代特别表现在建模能力，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法、好场所。希望同学们消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增进学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想、提高数学悟性和数学意识、培养数学思维的习惯。 请注意，我们往往只注意到数学的思想方法中严格推理的一面，它属于“演绎”的范畴，其实，数学修养中也有对偶的一面――“归纳”，称之为“合情推理”或“常识推理”，它要求我们培养和运用灵活、猜想和活跃的思维习惯。 下面举一个例子，看看数学素养在其中如何发挥作用。18世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。
1 中国古代数学的发展 在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。 1 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z＝39 2x+3y+z＝34 x+2y+3z＝26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x�y�z的系数和常数项排列成一个(长)方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓，如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任PGabriel教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。 2 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。 用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1) 其中a0≠0，an<0，要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得 f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程: f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2) 于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。 如果从原方程(1)的系数a0，a1，…，an及估值c求出新方程(2)的系数a0，a1，…，an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。 3 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。 多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。 通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 4 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1，2，，n (1) (其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 5 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于 f(n)=n△+ n(n�1)△2+ n(n�1)(n�2)△3 + n(n�1)(n�2)(n�3)△4+…… 这是一项很突出的成就。 这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E 别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。 6 负数的引进 《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数。 7 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 8 贾宪三角或杨辉三角 从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以�c+h n的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”�1654年 。 9 走向符号代数 解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。 符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰�。 2 中国古代数学对世界数学发展的贡献 数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果�6�。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”�一种长方锥体 体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献�3�。 3 古为今用，创新发展 到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。 计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家DEKnuth就呼吁人们关注古代中国和印度的算法�5�。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。 然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。 研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。
学习数学史在数学学习中的作用学习一门学科首先要弄清楚这是一门怎样的学科，《标准》明确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用”，而现阶段高中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上——枯燥、难学。数学的本质特征是什么？当今数学究竟发展到了哪个阶段？在科学中的地位如何？与其它学科有什么联系？这些问题大都不被学生全面了解，而从数学史中可以找到这些问题的答案。 日本数学家藤天宏教授在第九次国际数学教育大会报告中指出，人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学时期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维”的第一个重大胜利；第二个是牛顿－莱布尼兹的微积分时期，它为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功；第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为标志的新数学时期，我们现在就处在这个时期。而数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论，它同前三个高峰有着惊人的密切联系，这种联系绝不是偶然，它是数学作为一门追求完美的科学的必然。学生可以从这种联系中发现数学追求的是清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，不允许有任何含糊，这时候学生就很容易认识到数学的三大基本特征——抽象性、严谨性和广泛应用性了。 同时，介绍必要的数学史知识可以使学生在平时的学习中对所学问题的背景产生更加深入的理解，认识到数学绝不是孤立的，它与其他很多学科都关系密切，甚至是很多学科的基础和生长点，对人类文明的发展起着巨大的作用。从数学史上看，数学和天文学一直都关系密切，海王星的发现过程就是一个很好的例子；它与物理学也密不可分，牛顿、笛卡儿等人既是著名的数学家也是著名的物理学家。在我们所处的新数学时期，数学（不仅仅是自然科学）逐步进入社会科学领域，发挥着意想不到的作用，可以说一切高技术的背后都有某种数学技术支持，数学技术已经成为知识经济时代的一个重要特征。这些认识对于一个学习数学十余年的高中生来说是很有必要，也是必不可少的。 一、 学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式 现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的，语言十分精练简洁。为了保持了知识的系统性，把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，缺乏自然的思维方式，对数学知识的内涵，以及相应知识的创造过程介绍也偏少。虽利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先有定义，接着总结出性质、定理，然后用来解决问题的错误观点。所以，在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾：一方面，教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化；另一方面，系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的。影响了学生正确数学思维方式的形成。 数学史的学习有利于缓解这个矛盾。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，从而培养学生正确的数学思维方式。这样的例子很多，比如说微积分的产生：传统的欧式几何的演绎体系是产生不了微积分的，它是牛顿、莱布尼兹在古希腊的“穷竭法”、“求抛物线弓形面积”等思想的启发下为了满足第一次工业革命的需要创造得到的，产生的初期对“无穷小”的定义比较含糊，也不像我们现在看到的这样严密，在数学家们的不断补充、完善下，经过几十年才逐步成熟起来的。 数学史的学习可以引导学生形成一种探索与研究的习惯，去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中，真正创造了些什么，哪些思想、方法代表着该内容相对于以往内容的实质性进步。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，有利于学生对一些数学问题形成更深刻的认识，了解数学知识的现实来源和应用，而不是单纯地接受教师传授的知识，从而可以在这种不断学习，不断探索，不断研究的过程中逐步形成正确的数学思维方式。 二、 学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的动机 动机是激励人、推动人去行动的一种力量，从心理学的观点讲，动机可分为两个部分；人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机；社会责任感构成了有利于创造的外部动机。兴趣是最好的动机。在日本中学生夺取国际IEA调查总分第一名的同时，却发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一，这说明他们的好成绩是在社会、家长、学校的压力下获得的。中国的情况如何呢？尚无全面的报道，但河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现：“我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达21%，而对数学“很感兴趣”的只有12%。可见目前中学生的学习动机不明确，对数学的兴趣也很不够，这些都极大地影响了学习数学的效果。但这并不是因为数学本身无趣，而是它被我们的教学所忽视了。在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣，克服动机因素的消极倾向。 数学史中有很多能够培养学生学习兴趣的内容，主要有这几个方面：一是与数学有关的小游戏，例如巧拿火柴棒、幻方、商人过河问题等，它们有很强的可操作性，作为课堂活动或是课后研究都可以达到很好的效果。二是一些历史上的数学名题，例如七桥问题、哥德巴赫猜想等，它们往往有生动的文化背景，也容易引起学生的兴趣。还有一些著名数学家的生平、轶事，比如说一些年轻的数学家成材的故事，《标准》中提到的“从阿贝尔到伽罗瓦”，阿贝尔22岁证明一般五次以上代数方程不存在求根公式，伽罗瓦创建群论的时候只有18岁。还有法国数学家帕斯卡，16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器；德国数学家高斯19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》；还有的是许多出生贫穷卑微的数学家通过自己的艰苦努力，最终在的数学研究上有骄人成绩的例子，如19世纪的大几何学家施泰纳出身农家自幼务农，直到14岁还没有学过写字，18岁才正式开始读书，后来靠做私人教师谋生，经过艰苦努力，终于在30岁时在数学上做出重要工作，一举成名。如果在教学中加入这些学生感兴趣又有知识性的内容，消除学生对数学的恐惧感，增加数学的吸引力，数学学习也许就不再是被迫无奈的了。 三、学习数学史为德育教育提供了舞台 在《标准》的要求下，德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了，数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能，我们从下几个方面来探讨一下。 首先，学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就，对我国在数学史上的贡献提得很少， 其实中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家，有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对其中很多问题的研究也比国外早很多年。《标准》中“数学史选讲”专题3就是“中国古代数学瑰宝”，提到《九章算术》、“孙子定理”这些有代表意义的中国古代数学成就。 然而，现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。从明代以后中国数学逐渐落后于西方，20世纪初，中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。《标准》中“数学史选讲”专题11—— “中国现代数学的发展”也提到要介绍“现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程”。在新时代的要求下，除了增强学生的民族自豪感之外，还应该培养学生的“国际意识”，让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长，说人之短”上，在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高，我们要尊重外国的数学成就，虚心的学习，“洋为中用”。 其次，学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出毕生的努力。阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，他的论文多而且长，以致在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说，介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。 最后，学习数学史可以提高学生的美学修养。数学是美的，无数数学家都为这种数学的美所折服。能欣赏美的事物是人的一个基本素质，数学史的学习可以引导学生领悟数学美。很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理，有着极为广泛的应用。两千多年来，它激起了无数人对数学的兴趣，意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。1940年，美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明，充分展现了这个定理的无穷魅力。黄金分割同样十分优美和充满魅力，早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究，近代以来人们又惊讶地发现，它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。同时，在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也得到了提高，这是德育教育一个新的突破口。