2010年,Hytönen[1]引入了一类新的度量测度空间,简称为非齐度量测度空间。这类新的空间的提出是为了统一Coifman和Weiss意义下的齐型空间[2–3]和非双倍测度空间[4–7]。很多学者先后证明了一些经典的结论在以非齐性度量测度为底空间的几类函数空间上仍然是成立的[8–14]。自1960年Hörmander [15]提出了参数型Marcinkiewicz积分算子且得到了它的一些性质后,很多学者研究了参数型Marcinkiewicz积分算子在不同的函数空间上的有界性[5, 10, 16–18]。

[13]徐颖果：《跨文化视野下的美国华裔文学——赵健秀作品研究》，天津：南开大学出版社，2008年，第21页。

本文将讨论由参数型Marcinkiewicz积分与RBMO函数生成的交换子,在以非齐性度量测度空间为底空间的Morrey空间上的有界性。

1 预备知识

本文中如无特殊说明,C表示与主要参数无关的常数。对于μ上的可测子集E,χE表示其特征函数。对于任意的指标1≤ p ＜ ∞,p′表示p的共轭指标,即

定义1[1] 如果μ是X上的Borel测度以及存在一个控制函数和一个正常数Cλ,使得对于每个x∈X,是非减的,并且对所有的x∈X和Cλλ(x,r/2),则称度量空间(X,d,μ)是上部双倍。

那个全秃的亮头皮的妇人在对面的长炕上类似尖巧的呼叫，她一面走到金枝头顶，好像要去抽拔金枝的头发。弄着她的胖手指：

由图7可知，越靠近跨中横断面剪应力的分布越均匀，在Z=-1.8 m到Z=-2 m区域内，剪力沿着横断面的整体变化幅度为先增大后减小，Z=-1.8 m到Z=-1.9 m处在过渡段，横断面的剪应力在逐渐增加。

 

其中所有x,y∈X,d( x,y)≤r。因此,也可以假设控制函数λ满足式(1)。

定义2[1] 如果存在某些 0 {1,2,}N∈N= … 使得对任意的球B( x,r)⊂X,存在一有限的球{B(xi,r/2)}i覆盖B( x,r),使得这个覆盖球的基数至多为N0,则称度量空间(X,d)为几何双倍。

注记2 设(X,d)是度量空间。Hytönen在文献[1]中说明以下的叙述是相互等价的: (1) (X,d)是几何双倍; (2) 对于任意和球B( x,r)⊂X,存在B( x,r)的一个有限球使得这个覆盖基数至多为其中对于每个任意的球B( x,r)⊂X能够包含至多个中心为半径为εr的互不相交的球。(4) 存在M∈N,使得包含在X中的任意球B( x,r)⊂X能至多包含M个中心在的互不相交的球

注记1 (1) 当控制函数时,易知一个齐型空间是一个特殊的上部双倍空间。此外,设μ是Rn上一个非负的Radon测度并且仅满足多项式增长条件。取可知也是一个上部双倍测度空间。(2) 文献[19]中已证明存在另外一个与λ相关的控制函数λ~满足性质,即存在一个正常数Cλ~使得λ~≤λ,C Cλλ~≤ ,以及

定义 3[1] 对于 X中的任意两个球B⊂S,定义其中B:=B(cB,表示球B的中心。

定义关于上述K(x,y)的参数型Marcinkiewicz积分算子为

定义4[1] 设 (1,)η∈ ∞ ,若存在一正常数C和一个数fB使得对于所有的球B,有

本试验用MTT法测定外周血淋巴细胞增殖，中药复方多糖能显著提高雏鸡免疫法氏囊苗后的淋巴细胞增殖，效果优于黄芪多糖和疫苗对照组.这表明，中药复方多糖具有很好的免疫增强作用.

 

和对所有球B⊂S,有

 

则称函数为RBMO(μ)空间。此外,满足式(2)和式(3)的最小常数C被称为f的RBMO(μ)范数并且记为

日粮干物质采食量、日增重、料重比、养分消化率和氮平衡等数据应用SAS 9.0统计分析软件的One-wayanova进行方差分析和LSD多重比较。

 

以及对任意的x,y,y′∈X,有

 

设则称球B⊂ X为(α,β)-双倍。关于(α,β)-双倍球更多的性质详见文献[1]。在本文中,对于任意的以及球 B,表示的是αjB形式且 j∈Z+的最小的(α,βα)-双倍球,其中若取α = 6,则球简记为。

 

其中表示所有具有有界支集的L∞(μ)函数构成的集合。

定义 5[13] 设K( x,y)是定义在上的局部可积函数且满足下列条件: 存在常数C,使得对所有的x,y∈X且x≠y时有

给定函数与参数型Marcinkiewicz积分算子相关的交换子定义为

 

定义6[8] 设,Morrey空间 其中

 

引理2[11] 设核K( x,y)满足式(4)和Hörmander条件

财务杠杠是经营杠杠的“堂兄弟”，它会产生两种作用：销售额必须补偿固定成本的增额，而一旦达到平衡，利润将随销售额的增加而较快的增长。因而，财务杠杠作用的增大也有两种：需要有较多的经营收益来补偿固定的筹资成本，不过一旦获得平衡，利润将随经营收入的增加而较快的增长[6]。

推论1[14] 如果 f ∈ RBMO(μ),则存在一正常数C使得对于任意的球B,υ ∈ ( 1,∞)和 r ∈ [1 ,∞ ),有

 

定义 7[9] 设称控制函数λ满足 ε-弱的反双倍条件是指对所有的以及存在一个仅仅依赖于a和X的数使得对所有的x∈X,有 λ ( x ,ar)≥

引理1[1] (1) 若X中的球B,R,S满足B⊂R⊂S,则(2) 对于任意的τ ∈ [1 ,∞ ),存在一个正常数C,依赖于τ,使得对所有的球B⊂S并且(3) 对于任意的α∈ ( 1,∞) ,存在一正常数,依赖于α,使得对所有的球B,有(4) 存在正常数c,使得对所有的球B⊂R⊂S,有 K B , S ≤K B , R +cKR, S 。特别地,当球B和R同中心,c = 1。(5) 存在正常数,使得对所有的球B⊂R⊂S,有特别地,当球B和R同中心,KR, S ≤ K B, S。

三是充分肯定并认真总结了东固根据地创造的秘密割据的经验。毛泽东向边界特委详细介绍了东固根据地的经验是另一种形式，即反动势力被驱逐了，权力完全归于农会，但没有公开的苏维埃政权和固定的赤卫队，与白区通邮通商，经贸交流是照常的，井冈山地区因为封锁所造成的困难和痛苦，在东固基本没有，敌军前来“围剿”找不到目标，“党的组织和群众组织(农民协会)完全秘密着，在接近总暴动之前，这种形式是最好的。因为这种形式取得了群众而不致失掉群众。武装的形式不是守土的赤卫队而是游击步〔部〕队。”[2]P182只要能够争取群众又不失去群众的支持，那就可以坚持秘密割据，而不一定要实行公开打出苏维埃政权的旗帜。

 

1＜p＜ ∞以及 ρ ∈ ( 0,∞)。假设Mρ是在L2( μ)上有界的,且如式(8)所定义。则存在一常数C ＞ 0,使得对于所有的

2 主要结果

定理 1 设函数 b∈RBMO(μ),核K( x,y)满足式(4)和式(9)。假设式(6)定义的Mρ在L2( μ)上是有界的,且控制函数λ满足ε-弱的反双倍条件。则式(7)定义的交换子是在Morrey空间上有界的,即就是存在正常数C,对任意的其中1＜q≤p＜∞。

证明 在定义6中不妨设ϖ=8。任意取定球将函数f(x)分解成f(x) =

对于I1,由引理2和定义6,得到。为了估计I2,首先考虑分解其中x∈B。则有

随着我国医疗、医药、医保改革的不断深入，国家药品监督体制的逐渐健全，高职药学毕业生的工作岗位已发生了较大的变化，从以前进行制剂生产或处方调配为主要工作转向为患者提供全程化服务。越来越多的毕业生进入广大基层、社区、社会药房药店等相关药学岗位，这些岗位对应的主要工作职责是进行药学服务，其中以用药交待与指导、取药前后的药物咨询等药学服务岗位显得尤为重要。面对社会的需求变化，我们积极探索，将我校高职药学人才的培养进行了合理的定位，建立了适应社会发展需要的人才培养体系并就如何提高学生的药学服务能力进行了摸索探讨。

 

由Minkowski不等式、式(4)、Hölder不等式、定义7和推论1,有

 

 

对于F2,利用Minkowski不等式、式(4)、Hölder不等式和推论1,得到

 

因此,可以得到

 

得证。

参考文献:

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