卡尔曼滤波(Kalman filter，KF)方法已在组合导航、GPS定位及目标跟踪等方面取得了广泛应用，是一种处理动态模型获得时变参数的经典方法[1]。常用的卡尔曼滤波方法是基于最小二乘估计或最小方差估计的标准卡尔曼滤波方法[2]。此后，多种扩展方法相继提出，如抗差卡尔曼滤波、抗差自适应卡尔曼滤波、约束卡尔曼滤波，又如扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、粒子滤波等[3]。然而，在某些导航应用中，动态模型中观测方程的系数矩阵及状态方程的状态转移矩阵均存在误差影响，严格意义上应考虑采用总体最小二乘(total least squares，TLS)平差方法。对于非动态系统，文献[4—6]首次将总体最小二乘方法的思想应用于求解大地测量领域中的坐标转换问题，此后许多学者对其进行了广泛研究[7-17]。对于动态系统，文献[18]同时顾及了动态系统的输入与输出项误差，将总体最小二乘方法转化为无约束非线性规划问题并用于航迹的微分平滑系统。由于绝大多数动态模型均呈现出非线性的特点，但变量间的非线性关系往往可通过线性化、变量变换等转化为线性关系，因此分析线性情况下的动态模型最为普遍。文献[19]在线性动态系统的条件下，首次提出的动态EIV(errors-in-variables，EIV)模型的概念，提出将总体最小二乘方法应用于求解动态EIV模型并谓之总体卡尔曼滤波(total Kalman filter，TKF)方法，但在推导过程中仅视观测方程的系数矩阵存在误差，且系数矩阵误差的方差-协方差阵须满足特定的结构，当观测方程存在粗差时，文献[20]将粗差探测方法应用于TKF方法中。文献[21]在文献[19]的基础上，去除了系数矩阵误差的方差-协方差阵的结构限制，给出了更为一般方差阵情况下的WTKF(weighted total Kalman filter，WTKF)方法。

本文在已有总体卡尔曼滤波方法的基础上，同时考虑了状态转移矩阵误差与系数矩阵误差的影响，给出了更为一般情况下的动态EIV模型。针对该模型的平差计算，采用虚拟观测法分别构建了预测部分与修正部分的TLS平差准则[22]，推导了相应的总体卡尔曼滤波方法。以室内定位为背景，利用超宽带(ultra-wideband，UWB)提供的测距信息与惯性导航系统(inertial navigation system，INS)输出的角度信息和比力信息进行联合处理[23-25]，将本文方法应用于确定室内载体的位置与姿态。算例结果表明了本文方法的有效性与可行性。

1 动态EIV模型及其总体卡尔曼滤波方法

1.1 动态EIV数学模型形式

在某一历元k，动态EIV模型的函数模型形式为

ξk=(φk-Eφk)ξk-1+fk+wk

(1)

yk=(Ak-EAk)ξk+Zk+eyk

(2)

式中，ξk为m×1维时变随机状态向量；φk为m×m状态转移矩阵；Eφk为φk的随机误差矩阵；yk为n×1维观测向量；Ak为n×m系数矩阵，其对应的随机误差矩阵为EAk；fk和Zk分别为状态方程和观测方程的控制向量；wk和eyk分别为m×1维随机系统噪声和n×1维观测噪声。

令前一历元的状态估值为(先验信息)，且满足如下等式

(3)

式中，上标“+”表示验后估值为的随机噪声向量。

假设式(1)—式(3)中所有误差项在任意历元均互不相关，则动态EIV模型的随机模型为

(4)

式中，Σk-1、Qφk和θk对应为和wk的方差-协方差阵；eφk=vec(Eφk)，vec(·)表示矩阵的列拉直变换；Qk为定义误差向量ek的(nm+n)×(nm+n)方差-协方差阵，其具体形式如下

(5)

(6)

1.2 动态EIV模型的总体卡尔曼滤波方法

对于标准卡尔曼滤波方法，估计过程可分为预测和修正两部分[22]。在预测阶段，先不考虑观测信息，即通过状态方程与先验信息求得一步预测值上标“-”表示一步预测估计，符号“^”表示估值)；在修正阶段，则采用观测方程与预测信息计算状态验后估计值。

预测阶段，先对式(1)变换如下[14]

(7)

考虑矩阵运算

vec(ABC)=(CT⊗A)·vec(B)

(8)

式中，⊗表示Kronecker积。

式(29)实则为的一阶近似方差-协方差阵，实际计算过程中，须采用迭代计算。

将协方差传播率应用于式(7)得的协方差阵为

(9)

将前一历元的状态向量估值作为虚拟观测值，在预测阶段，可构造如下目标函数

(10)

对式(10)中和分别求偏导，并令其偏导数为零得

根据目前填埋场的实测资料显示，填埋场一期工程已经填满，二期工程也进入填埋周期。根据测绘，填埋场目前剩余库容2.023×106m3，预计总填埋量为4.08×106t，到2023年填埋场将填满。

(11)

(12)

由式(11)可得如下等式成立

(13)

由式(12)可得

(14)

(15)

式中，ξk-1=[(ξk-1)1 … (ξk-1)i … (ξk-1)m]T，i∈[1,m]。

式(15)中[8,14]

采用条件平差法[14]得到相应误差改正项为

(16)

⊗

(17)

式中，Qφk=[(Qφk)1 … (Qφk)i … (Qφk)m]；(Qφk)i为Qφk中的第i个mm×m子矩阵。

因此，式(15)可推导得

⊗Im)

Qφk(Im⊗

(18)

将式(14)和式(18)代入式(12)，得到式(12)的具体表达式为

生物质颗粒燃料的加工工艺主要包括原料接收、粉碎、混合、除尘、成型、冷却、筛选回收和计量包装等工序，具体工艺流程图如图1所示。

⊗Im)Qφk(Im⊗

(19)

式(19)等价于

2.1.2 药剂防治该病除按照上述防治原则外，在发病初期，25%粉锈宁可湿性粉剂2000倍液，或用25%萎绣灵1500倍液，隔7d～10d防治1次，连防2次～3次，即可有效地防治油葵锈病的危害。

TL-1是该锡石浮选的主要捕收剂，其性能较为稳定。适用范围广，对矿石性质波动大，原矿含泥量、含锡品位、含硫品位波动均较大等的影响较小，能够最大限度提高了锡石浮选精矿品位和作业回收率，其溶解度较低，在配制过程中，需要用70℃以上的热水进行配制，且要加入一定量的助溶剂碳酸钠。

(Im⊗⊗

(20)

(Im⊗⊗

肠道微生物与营养、消化、代谢稳态、局部和全身免疫功能以及神经稳态有关[49-51]。越来越多的证据表明肠道菌群失调在糖尿病的发展中发挥着重要作用[52-53]。但由于肠道微生物多样性取决于个体和(或)种族背景差异，故难以详细阐明肠道菌群，尤其是其功能特征与病理生理状况的关系[54]。

(21)

将式(21)代入式(20)得

如今，智慧宫与国内多家出版社合作翻译阿语图书，一年翻译数百本书，内容也由文学作品扩展到社会科学等方面。随着业务越做越大，主动上门来谈合作的境外文化机构也越来越多。白鑫和他的中国合伙人专门从阿拉伯国家邀请了50多名顶尖汉学家翻译中国图书，尽可能地保持著作的原汁原味。

(22)

上式等价于

(23)

结合式(13)与式(23)推导得

(24)

因此，一步预测值为

(25)

由式(1)、式(3)及式(25)，计算一步预测残差

(26)

式中，等式右边项是非线性函数，为计算一步预测的方差-协方差阵，对其在残差估值(近似值)处泰勒级数展开并舍去高次项误差得

⊗Im)eφk

(27)

进而有

⊗Im)eφk-wk

(28)

对式(28)采用协方差传播率，可得一步预测的方差-协方差阵为

⊗⊗

(29)

由2名研究者对纳入研究文献的数据进行独立提取，确保收集资料的完整性和一致性，如遇分歧，通过讨论或交由第三位研究者裁决。采用自制Excel提取表提取资料，包括：（1）纳入研究的一般资料，包括第一作者、发表时间、样本量等；（2）纳入患者的基本情况包括年龄、性别、发病时间等；（3）阿替普酶用法用量及抗血小板药物的选择和给药剂量；（4）偏倚风险评价的关键要素；（5）结局指标和结果测量数据。

式(25)与式(29)为修正计算提供了验前信息。在进行修正部分之前，同理对式(2)变换

(30)

由式(6)及式(30)可得的协方差阵为

联立式(30)和式(36)得法方程如下

⊗In)QAkyk-

QykAk(ξk⊗⊗In)QAk(ξk⊗In)

在与公众的交流过程中，坚持以我为主提供情况、尽快提供情况、提供全部情况的3T原则。企业在面临舆情危机时，应及时告知关注舆情公众，此次事件发生的前因后果，以及企业应该承担的责任，表现企业在处理舆情危机时极高的工作效率，营造认真负责、不推诿的企业形象，在一定程度上也可以避免众多不实言论的传播。倘若企业想的是如何掩盖、搪塞及推卸责任，则会加剧公众的反感，加重舆情危机。

(31)

将预测部分中的一步预测值作为虚拟观测值，进一步建立修正部分的目标函数为

(32)

式(32)中，对求偏导并令偏导数为零可得

(33)

与预测部分的计算思路类似，可推导得到

随着计算机技术、芯片技术和软件技术为核心的数字化技术取得了长足的发展，使得控制技术与互联网结合的步伐加快，嵌入式技术再度成为研究的热点。

式(38)也可写为另外两种表达形式：若在求解法方程式(37)时，对法矩阵不采用矩阵反演公式，而仅对等号右边提取项，可得

⊗In)QAk(Im⊗

(34)

式(34)等价于

⊗

(35)

令⊗可简化为

严密的围护结构和紧凑的城市密度可以有效减少地域外界环境对居住空间的干预，但建筑内产生的废物废气却仍然需要与外界进行交换，盖尔达耶民居的做法是利用中庭空间进行热压通风。典型民居的建筑围绕中庭展开，中庭上方的空气长时间受太阳辐射而被加热为热空气，当居民打开一层的门或窗时，受热空气通过中庭上方排出，冷空气通过门窗进入室内，形成热压通风循环，降低室内的温度，同时带走室内的废气。

(36)

(37)

结合矩阵反演公式(V+CZD)-1=V-1-V-1C(Z-1+DV-1C)-1DV-1，并计算上述法方程得

(38)

式中，

将式(38)的计算结果分别代入式(28)和式(30)，得

(39)

(40)

三北防护林体系建设工程，更多的是对植被的恢复和再造。造林的方式包括三种：人工造林、飞播造林、封山（沙）育林。封育也是植被的恢复和再造的有效方式。

(41)

《新课标》规定了生物学学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议，为学科教学的实施与评价提供了基本依据。为此，要有效实施新课标下的教学，必须准确把握新课标的教学目标要求。

(42)

由式(42)可知

⊗

(43)

若在式(37)等式两边同时加上并求解法方程得

(44)

对式(44)采用协方差传播率可得验后状态估值的方差-协方差阵为

(45)

令⊗其中ivec(·)为拉直变换vec(·)的逆变换。现通过矩阵R并顾及式(8)，有如下等式成立

这些词不容易分类，有的本来就是网络用语，有的是主谓形式的新词。所表示的意义也是语气或者表可爱的，类似语气助词，语气略带埋怨但又很调皮的词语，也是带着怒意骂人的较柔和版。一般带有一点纠结无奈，也有的表示对一件事或事物的赞誉。

(46)

1.3 动态EIV模型总体卡尔曼滤波方法的迭代计算过程

动态EIV模型总体卡尔曼滤波方法的迭代计算过程如下：

(1) 历元k=0：给出先验信息和Σ0。

(2) 历元k=k+1：输入观测数据φk、fk、Ak、yk、Zk、Qφk、θk和Qk。

(3) 设置迭代初始值

(4) 计算一步预测值：且令

(5) 计算：

(6) 重复步骤(4)，直至满足收敛条件

(7) 将与由式(46)确定的验后估值方差-协方差阵作为下一历元的先验信息。

(8) 若k≤t(t表示总的历元数)，重复步骤1-7，否则，迭代结束。

2 算例与分析

仿真试验：模拟室内轨迹(如图1所示)，载体利用UWB给出的距离观测值与INS提供的角度及比力信息进行位置和载体姿态的确定。为了计算方便，设初始时刻载体系(xt,yt,zt)与导航系(xn,yn,zn)严格对齐(即初始姿态角为零)，导航系采用东北天坐标系；为了计算方便，文中将轨迹及UWB基站的坐标均融入自定义的局部坐标系中。

误差模拟：现假设INS的陀螺与加速度计的常值零偏为零；模拟INS器件的陀螺随机游走误差为0.5°/s，加速度计的随机游走误差10 mg，UWB距离测量值的随机误差为0.01 m；视基站定位的时间测量误差为常值，可将由时间测量误差引起的测距误差作为系统误差，其大小分别为0.4 m、0.4 m、0.6 m、0.6 m；基站的位置误差为0.08 m。

对于姿态参数的计算，通常转化为四元素的更新，以避免航向角为90°时不可解的情况。姿态四元素更新方程为[25]

(47)

式中，为姿态四元素表示陀螺敏感的姿态角变化。由于陀螺测量的误差的存在，因此Θk受误差影响，状态方程可写为

(48)

也即，为由加速度计求得的加速度信息经积分求得的速度值，tk-tk-1为k历元与k-1历元的差；uk为滑动误差表示三维位置坐标。

由UWB提供的测距信息以及姿态四元素观测值，建立观测方程为

(49)

式中，(i为UWB基站个数)，为基站近似坐标，为k历元时载体的近似坐标；Zk=为测距引起的系统误差项

初始历元的先验信息如下

Σ0=10-5·I7×7

各历元的系统噪声定为

对于式(48)的状态方程，令vec(φk)=h+Bφk[7]，其中h对应于φk中的常值元素，B对应于φk中的个随机元素，则状态转移矩阵φk的方差-协方差阵为

Qφk=BQφkBT

(50)

式中，

对于式(49)的观测方程，其系数矩阵与观测向量的方差-协方差阵可由文献[10]方法确定，观测向量中的四元素的方差协方差阵设为diag([0.03 0.03 0.03 0.03])。

给真实轨迹与姿态模拟误差，由式(48)、式(49)建立各历元的状态方程与观测方程；采用标准Kalman滤波方法(KF法)、文献[21]方法(WTKF法)与本文方法作对比试验；随机模拟一次误差情况下，不同方法得到的各历元三维位置及姿态参数结果如图2，其中姿态结果由最终估计得到的四元素结果转换而得。

为了更好地进行对比分析，对上述试验模拟计算10 000次，并将各历元载体位置和姿态的平差结果与真值求差并取绝对值，获得平差结果与真值的绝对误差，将10 000次各历元平差参数的实际偏差取均值。三维位置及姿态的绝对误差均值结果见图3。

分析仿真算例的平差结果，可得如下结论：

(1) 由随机模拟一次误差所得结果图2可知，无论是各历元的三维位置估值或是姿态估值，3种方法均能在一定程度上反映真实轨迹与姿态的变化趋势；然而，整体上从各历元的估值结果来看，本文方法所得位置与姿态结果均优于KF法与WTKF法。从图2(a)可知，在位置估值方面，本文方法在北向和西向与KF法和WTKF法所得结果近似度较高；在天向上KF法与WTKF法的结果较差，而本文方法始终能保持较高的解算精度。从图2(b)可知，3种方法的解算结果较好地反映了航向的变化，而在俯仰角和横滚角方面，本文方法的估值结果较优。

(2) 由10 000次试验的均值结果(图3)可知，本文方法估计的各历元位置绝对误差均值与姿态绝对误差均值结果整体上优于KF法与WTKF法，从统计的角度表明了本文方法的有效性；随着历元的增加，3种方法的位置与姿态误差均存在变大的趋势。虽然在某一特定历元，本文方法的误差较之KF法或TKF法要大，但从此历元后所有历元上分析，这并未在很大程度上影响到本文方法对后续历元的解算，可见，由于本文方法同时顾及了状态方程中状态转移矩阵与观测方程中系数矩阵的误差项，相对于只顾及观测方程系数矩阵误差的WTKF法有了一定的改善，平差结果的有效性表明了本文方法是可行的。

(3) 从上述分析可知，由于同时顾及状态方程中状态转移矩阵与观测方程中系数矩阵的误差项，本文方法的数值计算结果优于已有KF和WTKF的结果。由于文献[19]的TKF方法中观测方程系数矩阵的方差-协方差阵须满足特定结构Im⊗Qyk，因此不适合本算例的数值计算。下面从公式推导的角度进行简单说明。假设不考虑状态方程中状态转移矩阵的误差项及状态方程和观测方程中的控制向量，且QAk=Im⊗Qyk，QykAk=QAkyk=0[19]。顾及到符号表达的不同，由文献[19]中式(47)可知，参数估值为

(51)

式中，

若满足文献[19]中对TKF方法的假设，则顾及则式(51)等价于

(52)

通过对式(52)进行适当数学变换得

(53)

由矩阵反演公式，式(53)中

(54)

在满足上述假设条件下，结合式(52)—式(54)，不难得出式(51)与式(38)相等，也即本文方法参数估值式(38)等价于文献[19]中参数估值式(47)。因此，TKF方法可视为本文方法在满足某些假设情况下的特例。同理，若不顾及状态方程中系数阵误差的影响，不难证明本文方法等价于文献[21]的WTKF方法。

(4) 为了更好地分析，假设状态方程和观测方程中的控制向量为零，在本文动态EIV模型的基础上，分以下4种情况进行对比与归纳：

情况1：不考虑状态转移矩阵误差项影响。

情况2：不考虑状态转移矩阵误差项影响，且观测方程的方差-协方差阵满足特定结构。

情况3：不考虑状态方程。

情况4：不考虑状态方程及参数的先验信息。

针对情况1与情况2，分析结果见表1；针对情况3，在某一单一历元，本文方法的验后参数估值式(43)在形式上与文献[8]中方法6相同，但与文献[8]中的先验信息不同，式(43)中表示先验信息的方差-协方差阵是通过一步预测获得的一步预测残差的方差-协方差阵；针对情况4，本文方法的等价表达式式(44)可写为该表达式等价于已有的加权总体最小二乘方法，如文献[8,14]等(见表1)。

综合上述分析，已有TKF须假设观测方程系数矩阵满足特定结构且未顾及状态方程系数阵的误差项，因而其应用范围有限；WTKF方法较之TKF方法，虽然其可处理观测方程中随机元素为一般方差阵的情况，但由于未顾及状态方程中状态转移矩阵的误差，限制了该方法的应用；在某些应用场景中，观测方程的系数阵和状态方程中状态转移矩阵可同时存在误差项影响，因此采用本文方法更为合理。TKF、WTKF与加权总体最小二乘平差结果可视为是本文方法在满足某种条件下的特例，可见本文推导的总体卡尔曼滤波方法是计算状态方程与观测方程均为线性情况下更为通用的一种总体卡尔曼滤波方法。

表1 本文方法与已有TKF和WTLS平差方法的对比结果

Tab.1 Comparison of the proposed method with the existing TKF and WTLS methods

3 结 论

本文在已有的动态EIV模型基础上，考虑了状态方程中状态转移矩阵的误差项影响，推导了能够同时顾及状态方程中状态转移矩阵与观测方程中系数矩阵误差的总体卡尔曼滤波方法。本文从公式推导的角度证明了，当观测方程系数矩阵的方差-协方差阵满足特定结构，且不顾及状态方程中状态转移矩阵的误差情况下，本文方法等价于TKF方法；本文推导的参数估值公式具有与标准Kalman滤波公式相似的结构，平差结果简单、易于理解；算例试验验证了本文方法较之WTKF方法与KF方法能取得更优的平差结果，表明了本文方法可行性与有效性。然而本文推导方法仅适用于状态方程与观测方程均为线性的情况，在实际情况下，绝大多数动态模型均呈现非线性的特点，推导适用于非线性动态EIV模型的总体卡尔曼滤波方法将是下一步研究的重点。

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