0 引言

功能梯度材料(Functionally Gradient Materials, FGM)[1]由两种或者多种材料组成，其组成材料的体积分数沿着零件某个方向逐渐变化，可以充分利用不同材料的物理特性，以满足特殊工程需求。例如：在航空航天领域[2]，零部件往往服役于超高温、超高速、热载荷复杂等环境中，由陶瓷/金属构成的功能梯度材料零件，其内侧由陶瓷材料组成，具有较高的耐热性能，外侧由金属材料组成，呈现出较好的机械强度性能及导热性能，通过两种材料在零部件内部的连续过渡实现热应力缓和等功能。随着学术界和工程界对功能梯度材料零件的研究不断深入，零件几何形状及材料组成复杂程度也日渐提高，建立能够表达零件几何信息和材料信息的模型对于后续零件设计与制造具有重要的意义[3]，因此研究功能梯度材料零件建模技术是当前该领域亟待解决的基础性问题。

为了解决目前商业CAD系统无法建立包含材料信息和零件几何形状信息的模型，国内外学者及工程技术人员在功能梯度材料零件建模方面进行了深入探索并提出了多种建模方法，大致分为两类：

(1)估值建模技术 基本原理是利用体网格、面网格等对零件进行空间离散，并将几何信息和材料信息存储在网格节点中，从而实现零件建模。例如Cho等[4]将零件离散化为体素网格，通过指定网格节点材料信息得到功能梯度材料初始模型，利用优化算法进行材料优化设计，最终得到零件内部材料的最优分布;朱玉芳等[5]通过构建微四面体空间单元的离散逼近几何零件，建立了实体、微四面体、STL面片、空间节点四者之间的对应关系，实现了梯度材料建模;吴晓军等[6]把体素网格作为几何信息和材料信息的数据载体，将传统实体建模的交、并、差等布尔算子扩展到异质材料零件的建模;Wang等[7]将有限元技术引入梯度材料建模，研究了基于网格数据的几何材料表示以及材料设计。可以发现，估值建模实质是一种近似的建模技术，模型的准确性与网格离散精度有直接关系，且网格节点处的材料信息通常无法获取。

(2)非估值建模技术 基本原理是利用材料分布函数和精确的几何数据完成建模。因为不涉及零件的空间离散逼近，且材料分布情况受分布函数影响，所以模型更加精确、紧凑和简洁，在数学层面上也更严格。例如张贺等[8]针对几何形状、材料分布复杂的功能梯度材料零件，提出一种从材料空间到几何空间映射的建模思想，给定从材料空间到几何空间的映射函数，通过材料组分值和相应的映射函数，建立了梯度材料模型;Shin等[9]在显式函数描述的基础上，采用与几何相关的材料体分比函数构建非均质材料零件;Qian等[10]提出非均质材料零件的B样条张量乘积模型，并进行了非均质涡轮叶片的优化设计。非估值模型对于具有复杂几何形状的零件，一般很难用解析函数表示零件内部材料的分布。

当前功能梯度材料零件建模方法的不足之处在于：①关于功能梯度材料零件表示的研究较多，但涉及到后续如何添加材料场信息，在理论和方法上仍未形成一个完整的体系。虽然以有限元技术为代表的数值分析方法能够实现功能梯度材料零件仿真分析和材料设计，但是由于缺乏合理的材料分布物理模型，如何从多尺度出发对零件内部材料分布进行有效设计仍是有待突破的重要难题。②现阶段关于功能梯度材料零件几何材料表达、材料设计优化、生产制备等方面的研究均相互独立，缺乏贯穿于各个阶段的几何材料信息载体和材料设计理论。本文围绕非均质材料零件模型表示以及零件内部材料设计展开，期望通过解决当前该类零件在设计建模过程中的材料设计问题推动功能梯度材料应用领域的不断扩展。

1 功能梯度材料零件几何与材料耦合模型

类似于孔斯曲面构造原理，通过对边界曲线控制顶点进行超限插值，得到内部控制顶点dij，完成四边形区域NURBS参数化模型的构建。

Pm={(x,f)|x⊂E3,f⊂VN}。

(1)

运用等几何分析方法求解材料场分布的一个关键前提是，实现模型几何区域的参数化，参数化的优劣直接影响数值解的精度和效率。对于带孔模型，找到其整体的样条参数化表示仍比较困难，因此本文先采用基于中轴线区域剖分算法将带孔模型剖分为多个子区域，再对子区域进行参数化，由此便可使用前述的数学模型求解。对于二维区域D，中轴线为区域内部一系列圆心的集合，该系列圆满足的条件为至少和区域边界B相切于两个点qi,qj，即

Hughes等[11]于2005年提出等几何分析方法的概念，将CAD与CAE纳入统一框架之下。本文据此探索非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)技术在功能梯度材料零件几何域及材料场表达方面的应用研究，进而实现材料场和几何空间的耦合。关于NURBS样条定义、性质和相关算法，国内外文献[12]都有非常详细的论述，此处不再赘述，直接给出NURBS样条公式的一般形式：

 

(2)

式中：表示控制顶点，Ri表示NURBS基函数。基于非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)构建非均质实体的方法[]，由NURBS样条理论定义的功能梯度材料参数模型可以表示为

[27]Linda K.Richter, The Politics of Tourism in Asia, Honolulu: University of Hawaii Press,1989,p.84.

 

(3)

式中：是功能梯度材料NURBS样条的控制顶点，xa表示几何形状控制顶点，fa表示材料体积分数控制顶点。图1所示为两相功能梯度材料平板NURBS模型，平板底部均由材料A组成，即体积分数占比100%，f1=1，f2=0；平板顶部完全由材料B组成，即体积分数占比100%，f1=0，f2=1，材料体积分数随z坐标值变化。首先进行平板参数化模型构造，图1a所示为NURBS样条体控制顶点网格xa，图1b表示参数单元。将控制顶点上的材料信息1c添加至原NURBS参数模型几何形状控制顶点网格，实现对三维欧几里得空间扩展，最终得到如图1d所示的材料组分分布云图。

 

2 零件内部材料场计算

2.1 物理背景分析

功能梯度材料零件各组分材料的体积分数在空间中呈连续变化，组分材料的过渡呈梯度特性，充分利用各相组分材料的物理属性来获得最优的零件性能使之具有较好的热载荷性能和机械载荷性能，达到“取彼之长，补己之短”的效果。

从功能梯度材料零件设计阶段考虑，所建立的功能梯度材料零件模型需满足以下几点要求：各相材料分布需梯度变化，模型内部相邻点材料组分应避免剧烈变化，即各相材料在零部件内部尽可能“光滑”分布；常应用线性函数、指数函数、三角函数等作为材料分布函数。

从功能梯度材料零件制备工艺角度考虑，学术界和工业界涌现出了大量的功能梯度材料零件生产制备技术，传统工艺如化学气相沉积、物理气相沉积、热压烧结等。近年来，增材制造技术作为一种特殊的加工模式，尤其是“材料叠加”的核心制造思想，使其成为功能梯度材料零件生产制备的重要手段。

功能梯度材料零部件内部材料的实际分布状态受制备工艺、温度、压强、几何形状等因素影响，各组成材料在局部范围内都存在材料相互扩散的现象。因此，在考虑功能梯度材料零件设计建模时，选取的材料分布模型也必须在一定程度上反映这一基本物理原理，从而进一步提高材料设计的合理性、科学性。

艺术类高校即以培养艺术人才为目的的高等院校，目前种类可大致分为音乐类、美术类、舞蹈类、戏剧类、建筑类、文学类以及电影类等，为很多艺术爱好者提供良好的发展平台。近年来，艺术高校的教学水平、师资力量、专业配置、招生就业等方面都得到了大幅度提升，但是校园安全问题也成为学校、家长以及社会关注的重点话题。

2.2 数学模型建立及求解

本文的核心目的是为复杂功能梯度材料零件提供一种行之有效的几何与材料设计方法，因此结合材料制备中扩散现象的物理原理做出如下假设：组成功能梯度材料零件的各相材料在零件内部的分布规律符合泊松方程。

如图2所示，设计区域边界处的材料组分信息往往由设计人员确定，因此求解零件内部材料分布的问题归纳为在光滑闭区域Ω内部寻找满足边界条件的边值问题。

 

仍然以各组成相材料的体积分数f作为设计变量，对于图2所示的边值问题，可将其抽象为以下数学模型：

2）顾客转换成本对医药B2C平台顾客忠诚度的影响值为 0.69。本研究也证实了在医药B2C购物环境下，通过培养顾客消费习惯、增加重复消费奖励等方式增加顾客转换成本，可以有效地提高顾客的忠诚度。

 

(4)

式中：A为微分算子矩阵，f为组成功能梯度材料零件的N种材料对应的体积分数，f0表示边界处由设计人员指定已知的材料组分信息。

由式(4)可得，功能梯度材料零部件内部第i种材料需满足

我想起小时候第一次去医院的情景，那年我六岁。母亲在屋前的人行道上突然摔倒，胳膊摔断了。听到她的惨叫声，我哇一声就哭了，迦勒却一声不响跑到父亲那儿汇报情况。我们一起把母亲送到医院，一个穿浅黄色衬衫、指甲整齐干净的友好派女子给母亲量血压，之后微笑着帮她接骨。

基于创客教育的第二课堂采用项目教学法，将教师的科研课题、学科竞赛与相应课程的教学内容有机结合起来，把不能够在第一课堂充分讲解和传授的知识和能力整合归纳为创新学科项目，以创新学科项目为驱动，补充和拓展学生的专业知识和能力。

 

(5)

本文将非均质材料零件材料设计问题归纳总结为一般类边值问题，因此零件边界处为已知的材料分布信息。图11所示为涡轮叶身外表面以及6个内部冷却通道的材料信息。

 

(6)

式中Kij和Fij分别表示刚度矩阵和载荷向量，其分量用以下式计算：

 

(7)

2.3 带孔模型的材料计算

2.3.1 带孔模型的区域剖分

式中：Pm表示零件内部的任意一点;x=[x y z]T表示该点的几何信息;f=[f1 f2 f3 … fN]T表示组成该零件的N相材料在点x处的体积分数，满足∑fi=1。

S(D)={p|D(p,B)=‖p-qi‖

=‖p-qj‖,qi≠qj,qi,qj∈B}。

中轴线提取算法可以分为轨迹法和Voronoi图法两大类。本文采用轨迹圆追踪算法提取带孔结构的中轴线。如图3a所示，已知边界为自由曲线的2D带孔结构，采用轨迹法计算得到的中轴线如图3b所示，其中中轴线分支端点为分支节点。因为中轴线具有描述几何域拓扑结构的特性，所以本文采用如图3c所示的无向图G=T,E存储中轴线各分支端点，揭示了中轴线分支之间的属性邻接关系，从而描述了模型的拓扑结构，为后续区域分割奠定了基础。

 

根据图3c所示的中轴线无向图，中轴线分支节点根据度d(度指与该顶点相关联的边的数目)的不同分为d=1的点和d>1的点两类。分别对上述两种情况进行处理：①对于度d=1的顶点，寻找边界上与该顶点T之间距离最小的两点Gi,Gj，且该两点与顶点所成夹角最大，确定该两点为边界线分割点，直线连接该顶点与分割点，得到该区域分割线，如图4a所示；②对于度d>1的顶点，寻找边界上与该顶点具有最小距离的点作为边界线分割点Gi，分割点数目与该顶点的度d相同，以直线连接该顶点与分割点，得到分割线，如图4b所示。

结果显示，铁皮石斛匀浆液对三种病原微生物具有不同程度的抑制效果，其中对大肠杆菌的抑制效果最强，对绿色链球菌的抑制效果最弱。最小抑菌浓度的测定结果显示，铁皮石斛匀浆液对金黄色葡萄球菌、大肠杆菌和绿色链球菌的最小抑菌浓度分别是5%、2.5%和10%，其结果与纸圆片抑菌实验的测定结果一致。这表明服用铁皮石斛确实有抑制部分病原微生物、强化免疫力的作用，尤其对维持肠道健康有益。

图8所示为做过相容性处理后的复杂结构NURBS样条参数化模型，该模型将作为非均质材料零件几何与材料场信息载体，通过指定控制顶点处的材料信息，可以完成非均质材料零件几何与材料耦合模型。

 

 

2.3.2 带孔结构非均质材料的参数化模型

原模型经区域分解后，子区域分为扇形区域和四边形区域两种类型，其中扇形区域可以被作为四边形区域其中一边退化为点的特殊形式。因此对于分解后的子区域均采用同种参数化方式进行参数化。子区域模型边界来自于原模型边界曲线、分割线和中轴线，且4条边均为NURBS样条自由曲线C1(u1)，C2(u2)，C3(v1)，C4(v2)。首先通过节点插入技术统一U，V方向节点矢量，将节点矢量U1中的节点依次插入曲线C2(u2)，将节点矢量U2中的节点依次插入曲线C1(u1)，同理对曲线C3(v1),C4(v2)作相同处理。节点插入并不引起曲线形状发生变化，仅使控制顶点发生改变。通过节点插入统一节点矢量，原曲线被调整为：

 

 

(8)

功能梯度材料零件建模核心是实现几何形状和材料信息的统一表达，其建模空间{X,f(x)}可由几何空间X和材料空间f(x)组成。体积分数是应用于该类材料设计、宏观性能预测、仿真分析、加工制造等领域的关键参数，本文将各相材料体积分数作为材料分布设计变量。功能梯度材料零件模型可以表示为

如图6所示为区域分解后，取其中一子区域进行参数化的过程实例，子区域边界曲线已知，通过图6b中的节点插入技术将U，V方向节点矢量进行统一，图6d所示为经过控制顶点超限插值得到子区域模型的NURBS样条表示。

 

遍历所有子区域，分别采用上述方法构建参数化模型，由于在构建子区域参数化模型过程中并没有考虑面片之间的影响，往往造成子区域公共边界处节点矢量、控制顶点不相容。如图7所示，子区域公共边界处的控制顶点出现“错位”，导致整个几何区域被离散为若干相互割裂的参数面片。因此，引入另一关键步骤，即通过子区域拼接技术实现模型的统一表达。

式中：ψr(0)为初始磁链；uT为变压器CVT瞬时电压。为保证开断前磁链初值为0，应自电压最大值处开始积分。考虑到开断后断路器断口电容耦合作用、CVT测量元件误差及变压器杂散电容等因素影响，开断一段时间后CVT测量结果不可信，因此电压测量积分终点宜选取为开断后约1 s左右，此时，电压暂态衰减过程基本结束。

由此可以看出，此时的党内外民主氛围与庐山会议及其会后反右倾运动时已截然不同。这为领导干部在调查研究中及时、准确反馈问题提供了重要保证。

 

与子区域内部节点矢量统一方法类似，区域拼接过程依然采用节点插入技术，使得所有子区域参数化模型在边界处具有相同的节点矢量。本文采用节点插入技术解决区域内部边界参数不相容的问题，将每一子区域记做Ωi，其中i=1,2,…,M，M为经区域分解后的子区域总数目。则多孔结构模型可以精确地表示为Ω=[Ω1,Ω2,…,ΩM]，其中

 

(9)

分割线与分割点将原模型几何区域分割为若干子区域，d>1的顶点对应的中轴线分支可以确定两部分子区域，d=1的顶点所在的分支则可以确定3部分子区域。子区域公共边为分割线和中轴线分支，子区域拓扑关系采用属性邻接矩阵表示，如图5所示。

 

通过上述步骤，将原带孔模型转化为若干规则区域，实现了各区域参数化表示。因此，在各区域上使用和2.2节相同的方法，构建几何材料模型以及等几何分析求解区域内部材料场分布，即实现原带孔模型的材料分布计算。

3 实例验证

Qian等[14]首次提出一种“理想化”的涡轮叶片。涡轮叶片外表面高温区域应该由抗氧化能力强、耐高温的陶瓷材料组成，内冷通道等低温区域应该由机械力学性能优异及导热能力强的金属材料组成，两种不同材料在叶片内部呈梯度分布，使零件物理性能呈现梯度变化。以C3X叶片[15]为研究对象，对本文提出的考虑制备工艺的功能梯度材料零件融合设计方法进行验证。结合现有研究成果，确定本实例中叶身外表面材料为SiC陶瓷，内冷通道壁材料为Al6061，两种材料的物理参数及力学性能参数如表1所示。

 

表1 本实例中主材料性能参数

  

材料熔点℃热导率λ(W·K-1·m)线膨胀系数a/(10-6℃-1)弹性模量E/GPaSiC2600944.7340Al60616501802470

Kubellk - Munk理论认为:可以用颜料本身的散射系数S和吸收系数K两个参数来说明涂层光学特性。同时提出了如下假定条件[5]:

 

 

 

上述各式中，边界∂Ω分段Lipschitz连续。由加权余量法整理得到材料分布问题的方程组

如图9所示，涡轮叶片结构由于存在内部冷却通道，难以实现整体参数化，需要通过区域分解[16]和再拼接技术创建复杂结构NURBS参数模型。图9左侧所示为由气动数据点建立叶片截面、求截面线中轴线，并进行截面区域分割的过程;右侧所示为涡轮叶片几何区域通过各截面线中轴线分支和分割辅助线，最终被分解为若干块子区域。图10所示为所有子区域经过再拼接技术构建的涡轮叶片参数实体，该实体被映射至多块规整的参数域中。由此，原带孔涡轮叶片模型被转换为若干普通几何模型，以便后续运用等几何分析法求解材料场。

知识经济时代的来临以及20世纪80年代非理性主义管理思潮的出现和兴起，为教育管理注入了新鲜的血液和鲜活的动力。他们提倡进行管理革命，即以“人”为中心“发掘出一种新的以活生生的人为重点的带有感情色彩的管理模式”[2]。从此，人性化的管理理念逐渐渗透到教育领域中来，教育管理者开始关注和追求人性的回归，开始意识到坚持“以人为本”的管理理念和管理模式才能成功地促进人性的发展，有效地提高教育质量，体现教育的终极关怀。

根据式(5)，非均质涡轮叶片内部第i(i=1,2)种材料需满足如下数学模型：

以往的农村公路规划，只是单纯的以“村村通”公路为目标导向，随着城市副中心建设目标的提出，对于农村公路规划应高点定位，如在北京城市副中心“绿色、智慧”的目标定位下，凸显可持续化，充分利用现有资源，与周边土地利用类型相协调，凸显不同功能的土地对农村公路网规划的不同诉求. 除此之外，可以将每个乡镇进行不同的功能定位，如可参考上位规划对每个乡镇的定位，从而结合不同地块的特征，开展农村公路网的合理布设，同时，客货运分流的规划思路在副中心地区农村公路规划时也应重点考虑.

 

(10)

式中：f1,f2分别为金属和陶瓷的体积分数，且f1+f2=1;b1,b2为泊松方程源函数，在不同物理场中具有不同的物理意义，文中该系数为常数为第i种材料满足图11上其相应的边界条件。

依照第2.2节等几何分析方法，在每个子区域上求得形如式(6)的方程组。再根据多片等几何的思想，通过连通数组将子区域的系数矩阵和载荷矩阵组成总体系数矩阵和总体载荷矩阵，求解总体方程组得到陶瓷和金属两种材料在整体上的材料分布函数

 

 

(11)

由此，得到非均质材料涡轮叶片几何与材料耦合表达式

Pm=(x,f)

 

(12)

式中：表示几何与材料控制变量;x对应涡轮叶片几何域;f表示材料场。

如图12所示为求解结果，图中云图及等值线表示陶瓷材料在涡轮实体内部的分布状态。从图中可以看出，材料等值线光滑，未出现拐点、尖点等，说明该方法彻底消除了材料过渡界面，文献证明材料在零件内部的分布状态往往会导致应力集中、在热循环载荷下产生残余热应力，因此在进行功能梯度材料零件材料设计时需要保证材料光滑过渡。

 

4 结束语

本文对功能梯度材料零件设计建模技术进行研究，探讨了采用张量积NURBS的功能梯度材料零件计算机表示技术，并结合制备工艺中蕴藏的材料分布原理建立了材料分布数学模型，通过等几何分析求解泊松方程得到了零件内部材料场信息，从而实现了功能梯度材料零件建模。由于泊松方程是一种偏微分方程，其计算区域可以表达任何复杂几何空间，因此具有较强的适应性，而等几何分析法能够将零件几何表达与材料空间计算纳入统一框架之下，省去了节点插值、模型转换等环节，提升了材料空间的计算效率。

本文的研究意义主要体现在：

(1)功能梯度材料零件优化设计 Taheri等[17]以热应力缓和为目的，采用NURBS技术实现了功能梯度材料零件几何与材料耦合表示，通过等几何分析法对力场、温度场进行分析，结合优化算法优化材料分布。可以发现，本文提出的复杂结构NURBS参数模型以及相应的等几何分析推导结果与上述研究成果在模型上具有较好的一致性，更重要的是，本文用于材料设计的基本原理源于零件制备工艺，因此可以为上述优化问题提供较好的初值。

(2)功能梯度材料零件参数体模型与增材制造数据格式的转换

从2008年开始，全球增材制造标准化工作正式进入快速发展阶段，ASTM国际标准组织发布了增材制造数据格式(Additive Manufacturing File, AMF)标准。AMF格式文件相比于STL格式的显著特点是采用了曲边的四面体和曲边三角形单元来描述模型的几何形状，同时在单元节点处携带材料、颜色等其他信息。本文设计结果基于NURBS基函数描述材料空间分布，实现了规整参数域与几何材料域之间的完全映射，因此可以考虑通过分割参数域将其映射至几何材料域中获得与AMF格式一致的曲边四面体单元，Ratnadeep Paul等[18]已从这一角度入手，解决了NURBS曲面与AMF数据格式之间的转换问题。

其次，构造各单层次判断矩阵，采用问卷调查的方式收集判断矩阵的数据。调查对象包括在制造业升级研究领域较为权威的专家、学者和山东省相关产业政策研究部门的工作人员。通过综合考虑相关调查人员的打分情况，构造出层次判断矩阵，对应表1，各个层次判断矩阵分别用A、A1、A2和A3来表示。

3）处理方法：（1）若上一层混凝土已终凝，采用人工或机械凿毛，下一层浇筑混凝土前先浇筑约3～5cm的砂浆，以利结合面粘结。（2）拆模后，冷缝结合面位置两侧各5 cm位置用砂纸打磨，涂刷颜色相近的丙乳净浆。

下一步工作可以集中于功能梯度材料涡轮叶片材料以及结构优化设计，从而获得更符合涡轮叶片功能需求的材料分布结果和几何结构形状。

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