高阶微分方程的降阶技巧毕业论文

高阶微分方程的降阶技巧毕业论文

一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法（method of reduction of order）。一型的微分方程形如的方程，这类方程只要逐次积分n次就可以得到其通解，每积分一次得到一个任意常数，在通解中含有n个任意常数。二型的微分方程形如型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含未知函数y。如果设，则，微分方程变为，这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。设其通解为，由于，因此又得到一个一阶微分方程，两边积分，便得到方程式的通解为。三型的微分方程形如型的方程，这类方程的特点是右端函数不显含自变量x。设，这时可以将y看作新的自变量，p作为y的函数，则有，于是微分方程就变为，这是一个关于变量y，p的一阶微分方程，设它的通解为，即，将方程分离变量并积分，便得到的通解为。[2]

可降阶的高阶微分方程是可以用降阶法把高阶微分方程转换成一阶的微分方程。

高阶微分方程是含有未知函数的导数高于一阶的微分方程。求解方程高阶微分方程的重要的方法就是降阶法。

注意

在很多学过大学高数的同学知道，可降阶的高阶微分方程算是比较重要的一个内容了，但并非所以内容都会在考试中考得到。而且，可降阶的高阶微分方程这种类型的题目在微积分这个内容里面，许多考试题目中不会重复出现，要考得话也会提出来。而且，高阶微分方程其实不是许多考研中会考的范围，不会做出太多要求。

高阶微分方程介绍如下:

高阶微分方程是含有未知函数的导数高于一阶的微分方程。求解方程高阶微分方程的重要的方法就是降阶法。

二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。

二阶微分：若dy=f'(x)dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，当二阶微分可微时，称它的微分为三阶微分，一般的，当y的n-1阶微分可微时，称它的微分为n阶微分。

定义:

阶数高于一的微分方程通称为高阶微分方程。

求解方法:

一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法（method of reduction of order）。

首先使用y=exp(rx)得到该方程的特征方程，然后根据特征方程解的形式进行讨论。

（1）特征方程有两个不相等实根，则y1,y2不相关，根据定理2，得到通解。

（2）特征方程有两个相等实根，则需要找到另外一个不相关的y2。

二阶常系数微分方程毕业论文

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解    y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解    y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解    y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

扩展资料：

通解=非齐次方程特解+齐次方程通解

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

的特解y*具有形式

y*=

其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.

将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

多项式法：

设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm

(x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：

F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。

升阶法：

设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

二阶微分方程解法总结：

可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。可化为dy/dx=f(y/x)的齐次方程，换元分离变量。

微分方程技巧：

一般考试中出现的微分方程如果是一阶方程，那么不用想它一定是用一阶微分方程的计算方法进行计算，但是当出现二阶微分方程时就不一定是用二阶微分方程的方法计算了。

毕竟我们能计算的只有一种情况就是二阶常系数微分方程，当不能用二阶解时，就代表一定是用一阶解，所以这时必须要换元，而且换元的结果必须能降阶，这样子看来其实相对考试而言，一阶方程的重要性大一点，因为出题灵活度高一点。

一阶微分方程的积分因子研究论文

若方程是恰当方程，即 ，则它的通积分为

对一般的方程（），设法寻找一个可微的非零函数 ，使得用它乘方程（）后，所得方程

成为恰当方程，即

这时，函数 叫做方程（）的一个 积分因子

微分方程（）有一个只依赖于 得积分因子得充要条件是：表达式

只依赖于 ，而与 无关；而且若把表达式（）记为 ，则 是方程（）的一个积分因子.

类似的有下面平行的结果：

微分方程（）有一个只依赖于 得积分因子得充要条件是：表达式

只依赖于 ，则 是方程（）的一个积分因子.

求解微分方程 可以用积分因子求解通积分

我们现在从另一种观点—— 分组求积分因子 将（）左端分成两组

其中第二组 显然有积分因子： ，如果同时照顾到第一组的全微分形式，则 乃是两组公共的积分因子，从而是方程（）的积分因子. 为了使这种分组求积分因子的方法一般化，我们需要下述定理.

若 是方程（）的一个积分因子，使得

则 也是（）的一个积分因子，其中 是任意可微的非零函数

假设方程（）的左端可以分成两组，即

其中第一组和第二组各有积分因子 和 ，使得

由定理 可见，对任意可微函数 和 ，函数 是第一组的积分因子，而函数 是第二组的积分因子. 因此，如果能适当选取 与 ，使得 ，则 就是方程（）的一个积分因子.

若 是齐次方程，则函数 是一个积分因子

, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, Springer-Verlag，1998

分数阶微积分毕业论文

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[1] 王小东.Riemann-Liouville分数阶微积分及其性质证明[D].太原理工大学硕士学位论文，2008.[2]邓伟华.分数阶微分方程的理论分析与数值计算[D].上海大学博士学位论文，2007.[3]晏祥玉，周激流.分数阶微积分在医学图像处理中的应用[J].成都信息工程学院学报，2008,23 (01）：38~41.[4]宋建国，刘垒，李辉等.分数阶导数在地震奇异性分析中的应用[J].石油物探，2009,48(01）：72~75.[5]刘朝辉，张为民.含分数阶导数的粘弹性固体模型及其应用[J].株洲工学院学报，2002,16(04）：23~25.[6]刘林超，黄学玉，闫启方.基于Lagrange变分法的分数导数粘弹性梁振动分析[J].噪声与振动控制，2007,(02）：43~46.[7]胡卫兵，何建.粘弹性阻尼材料的分数导数模型的对比分析[J].西安建筑科技大学学报（自然科学版），2002,34(03）：222~227.[8]王少伟.分数阶微积分理论在粘弹性流体力学及量子力学中的某些应用[D].山东大学博士学位论文，2007.[9]姚奎.分形函数与分数阶微积分-构造性方法的应用[D].浙江大学博士学位论文，2003.[10] 王振滨，曹广益，曾庆山.分数阶PID控制器及其数字实现[J].上海交通大学学报，2004,38(04）：517~520.[11] 袁晓，张红雨，虞厥邦.分数导数与数字微分器设计[J].电子学报，2004,32⑽：1658~1665.[12] 孙洪广.分数阶微积分的研究[EB/OL] .（2010-07-30）[2010-08-03].[13] 陈纪修.数学分析（第二版上册）[M].北京：高等教育出版社，2008:119~129.[14] Adam Loverro. Fractional Calculus: History,Definitions and Applications for the of Aerospace and Mechanical Engineering University of Notre Dame,May 8,2004.[15] 林孔容.关于分数阶导数的几种不同定义的分析与比较[J].闽江学院学报，2003,24(05）：3~6.[16] 胡亦郑，刘发旺.一类分数阶控制系统的数值解法[J].厦门大学学报（自然科学版），2005,44(03）：313~317.[17] 刘式达，时少英，刘式适等.天气和气候之间的桥梁-分数阶导数[J].气象科技，2007,35(01）：15~19.首先对x^n求1阶导数后为nx^(n-1）2阶导数后为n(n-1）x^(n-2）...那么m

分数阶微积分已有很长的历史，早在1695年，Leibnitz给L'Hospital的一封信中就提到了分数阶微分的概念，Leibnitz写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有用的结果．”早期对分数阶微积分有贡献的数学家包括Liouville、Riemann、Holmgrem．在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用．然而在近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽略的．如今，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统辨识、控制和机器人及其他应用领域中的问题． 该论文共有五章，主体可分为三部分，其中第一部分由第二和第三章组成，是对分数阶常微分方程做理论分析

一阶常微分方程论文参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研代数小组 编《高等代数》（第二版）北京高等出版社，1988[2] 熊廷煌 主编《高等代数简明教程》武汉湖北教育出版社，1987[3] 霍元极 主编《高等代数》北京师范大学出版社，1988[4] 丘维声 主编《高等代数》（上册）高等教育出版社，1996[5] 关治，陈精良《数学计算方法》北京清华大学出版社，1990[6] 邓建中，刘之行 《计算方法》西安交通大学出版社，2001[7] 张元达 《线性代数原理》上海教育出版社，1980[8] 蒋尔雄，等《线性代数》人民教育出版社，1978

微分方程在力学中的应用是非常广泛的。但是你的问题问得太不着边际了，很难回答。微分方程分为常微分方程和偏微分方程。一般来说，后者应用更为广泛。常系数常微分方程通常用来解一些最简单、最基本的动力学问题，例如速度、加速度、弹簧受力分析等等。例如：F=m*d(ds/dt)/dt就是牛顿第二定律。这些方程一般都可以解出。最常见的非常系数常微分方程有贝赛尔方程、薛定鄂方程以及非线性薛定鄂方程等，这些方程一般应用在边界条件为圆柱或圆球形状的波的振动描述上。偏微分方程是分析波动、二维受力分析等常见的方程了。如果你要写论文，可以考虑以下两方面的应用：1 牛顿定律分析2 波动分析

一阶微分方程的应用【1】

摘 要：微分方程在实际中应用广泛。简单介绍了一阶微分方程的几种应用。

关键词：微分方程;应用;研究

微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.

一、在力学中的运用

动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.

例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.

解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为

F=mg-kv2

由牛顿第二定律列出微分方程

m■=mg-kv2

因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.

求解上述微分方程的特解即得：

v=■

当t→+∞时，有

v1=■=■.

据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.

人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.

二、流体混合问题

中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.

但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.

这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.

我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有

dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.

因为c2=■，

代入上式有

dx=(c1v1-■)dt，

或■=-■x+c1v1.

这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.

例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.

解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360××dt-360×x%×dt.

于是有4050dx=360()dt，

即dx=■()dt，

初始条件为x(0)=.

将方程分离变量并积分，初值解满足

■■=■■dt，

求出x有x=■t.

t=30分钟=1800秒代入得x=.

即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近，基本上已是新鲜空气了.

三、牛顿冷却定律的应用

牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的介质中，T的变化速率正比于物体的'瞬时温度与周围介质温度T0之差.

设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程

■=-k(T-T0)，k>0.

例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?

解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题

■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，

解得T(t)=21+.

设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间

t=■・ln■≈小时.

由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.

四、医学中的应用

例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了克染色，30分钟后还剩下克，试问此人的胰脏是否正常.

解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=，本题可知S(0)=，故得到定解问题

■=(0)=，

通过分离变量法，解得S(t)=，则30分钟后剩余的染色量为

S(30)=×30≈0，

而实际此人剩余克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.

参考文献：

[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.

[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.

[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.

一阶高次微分方程的求解【2】

【摘 要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。主要是一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有一些解法，但由于某些方法的局限性，对于某些方程不合适，所以探讨一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有必要。

本文给出了一阶二次微分方程与一阶三次微分方程的主要定理，主要是根据方程在极坐标变换下的求解定理，提供了求解这两种微分方程的另一种解法跟途径，并且也能更好地了解一阶高次微分方程的求解。

【关键词】一阶二次微分方程 一阶三次微分方程 极坐标的变换 求解

一 引言

微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数(或微分)的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的，但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。

常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过求出解的情况不多，在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。