一元一次方程论文范文
1.一次函数只是自变量与因变量成线性比,在平面坐标系下的图像一般是一条直线.2.一元一次方程是一个等式,即自变量或因变量等于0的情形.一般其解为(平面坐标系下的)直线与x,y轴的交点.3.一元一次不等式,自变量与因变量之间是以不等号连接的.其解一般是一个面域(即在平面坐标系下,其解一般是图像为直线的上半部分或者是其下半部分)
无论是身处学校还是步入社会，大家都接触过论文吧，论文是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。你知道论文怎样写才规范吗？以下是我为大家收集的数学小论文作文，仅供参考，大家一起来看看吧。
星期天，全家人在一起讨论清明节回老家扫墓的事。谈着谈着，我心里忽然冒出了一个疑问：这里离老家有多远呢？”我问妈妈，妈妈笑了，说：你说呢？你上了这么多年学，一定会有办法知道的，对吧？”
我想了想，灵光一闪，对了，可以用我们最近学的比例尺的知识来算。我立即拿来地图，找到了泰州市，却怎么也找不到老家所在地顾高镇。怎么办呢？我冥思苦想，突然灵机一动：我可以先找到离老家顾高镇最近的乡镇黄桥镇，量出地图上泰州到黄桥的距离，再减去一些，就是地图上泰州到老家的大约的距离了！说干就干，我立即量出地图上泰州到黄桥的距离，它是0。6cm。因为老家比黄桥离泰州更近些，我便把减去了，变成了。因为这份地图的比例尺是1：6000000，我便用0。5×6000000=3000000cm，3000000cm=30km。
我立即向妈妈报出了我的答案：大约30千米，本以为会得到妈妈的表扬，可谁知妈妈却疑惑地说：好像没这么近吧？”听了妈妈的话，我也疑惑不解：怎么会这样？”我又来到地图前，重新量起来。量着量着，我突然发现了其中的奥秘：我量的是地图上两点间的直线距离，而实际的道路不是直线的，是绕来绕去的，所以实际路程一定比依据地图计算出来的远。
我把我的发现告诉了妈妈，妈妈也恍然大悟：对！就是这样！你真聪明！”
在学校里，学了如何算体积的，急忙想算一下周围用品的体积。突然，我的目光集中在我的未开封清风面巾纸上，有了，就只算单张面巾纸的体积。
既然算单张的，就要先算整包的。我拿出尺子，分别量出了长，宽，高。
长：7。4厘米 体积为：7·4×5。6×2。5＝103。6立方厘米
宽：5，6厘米 但是，我突然想到，面巾纸是可以压的扁一点的，这不
高：2。5厘米 就减少了体积吗？我思考了几分钟，想到既然是测量未开封的的，就应该是未压扁的。想到这，我又看到了我的数据。可能是量的是压得。最后仔仔细细量重新变动数据。
长：7。5厘米 体积为：7·5×5。5×2。5＝立方厘米
宽：5，5厘米 眼看就要成功了，可我猛地发现，包装塑料纸也是有体
高：2。5厘米 积的，可是又有什么办法。思考许久，忽然，我想到了一个很原始的办法。我抽出里面的面巾纸，把塑料包装纸对折4着，这成了一个小正方体。
长：2。1厘米 体积为：2。1×1。8×0。3＝1。134立方厘米
宽：1，8厘米 虽然可能有误，但是我也想不出其他办法了。
高：0。3厘米
最后算式：（103，125—1。134）÷10（一包面巾纸里有10张）＝10。1991立方厘米
经过这次，我终于享受到写数学小论文的快乐。
今天，我无意间发现里一个有趣的测试，这是一个由印第安人发明的水晶球心理测试。
我打开页面，看了看规则，是这样的：随便从10—99之间选一个数字，把十位数和个位数相加，再把原数减去相加的数，最后记住得出数字的图案，点一下水晶球，就会出现那个你记住的图案了（水晶球旁边有10——99的数字，数字旁有一种图案）。如：23 2＋3＝5 23——5＝18。
我看好后，就选了78 7＋8＝15 78——15＝63。我又看了看63旁的图案，便点了点水晶球，发现出现的图还真的是我记下的图。我又选了一些数字，算了算，水晶球都可以准确的出现我记下的图案。好神奇啊！
我心想：水晶球为什么知道我记下的图案啊？
于是，我做了一个很笨的小实验：从10——99的数字都算一遍。结果发现得出来的数都是9的倍数：9。18。27。36。45。54。63。72。我又看了看这些数字边的图案，都是一样的。我说：”哦，所以水晶球会知道我记下的图案啊！哈哈哈！“
我发现数学其实无处不在。只要我们善于发现，善于观察，善于思考，数学的海洋将任我们翱翔！
西瓜是夏天中最爱欢迎的水果。今天，妈妈买回了一个又大又圆的`西瓜。于是，我们准备吃西瓜了！
小妹妹问我：”嘉嘉姐姐，你要吃多少呀！“我想了想说，”我吃这个西瓜的1／2吧。“”1／2是什么？“她问。”1／2是分数，是把一个东西平均分成2份，取其中的1份。“我说。”哦。“小妹妹似懂非懂地说。”我吃这个西瓜剩下的1／2。“妈妈插话道。小妹妹问：”剩下的1／2是不是嘉嘉姐姐留下的全部吃掉啊？那我没得吃了？“”哈哈！“我和妈妈哈哈大笑。”不是这样的。“妈妈笑着说。我接话道：”剩下的1／2就是把我吃剩的那部分看作一个整体，再把这部分平均分成2份，取其中的1份。“”是这样啊！那我还是有西瓜吃的了！“小妹妹恍然大悟。小妹妹调皮地说：”以后我要先吃1／2，这样我的1／2比你的多，这次不划算！“”你的，我哪吃得了这么多？你想吃多少就吃多少！“我们都笑了！
你现在认识分数了吗？分数还有很多哦！等着你去发现。让我们一起踏上寻找数学的旅程吧！
一年一度的双11“剁手节”来了。
今天下午，妈妈坐在沙发上，翻看着天猫里面的商品准备在明天双十一抢购。我一直想买一个做奶茶的工具，妈妈是一个实用主意者，没有用的东西一般都不会买回来。我很担心提出需求后妈妈不给买，又说我乱花钱。忍不住内心的想要还是说了出来。
“妈妈可以给我买个玩具吗”？我轻声细语的问。妈妈说，只要我能回答她一个数学问题可以买，我爽快的答应了。我们搜了做奶茶的工具，出现了许多的旗舰店，其中有两家销量最好的都各有各的优惠。它们一套都是68。5元，但是甲店是买两套送一套，乙店是打七折。我要买三套，妈妈问我哪一家便宜，我说甲店是68。5×2＝137元（3套），乙店是68。5×3=205。5元，205。5×0。7=143。85元（3套）。143。85大于137，所以甲店划算。当我准确算出答案时，妈妈很爽快的我买了做奶茶的工具。
数学知识在生活中无处不在，我要找到数学的乐趣，遨游在数字的海洋里。
关于速度一向学习成绩不好的我，在无意中发现了一道题，并且给做出来了，下面我给大家分享一下吧！在20xx年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电。该地供电局组织电工进行抢修供电局距离抢修工地15千米。抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地，已知吉普车速度是抢修车速度的1。5倍，求这两种车的速度。
解：1。设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1。5x千米/时．由题意走相同路程15千米，吉普车比抢修车快15分钟（即0。25小时）得方程15/X-15/1。5X=0。25解得X=20千米/小时，则1。5X=30千米/小时
答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．
2。因为走的路程（S=15KM）一样，人用的时间是X。材料用的时间是X+15，即（15÷X）÷（15÷（X+15））=1。5，一元一次方程，得X=30分钟，即0。5小时，那么吉普车的速度就是30KM/H，抢修车20KM/H
答：抢修车的的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时．
3。设吉普车用的时间为x小时。
根据题意得：x+15=1。5x
一天，数学老师提出了一个问题：1+2+3+4+5+6……一直加到100的得数是多少？那么，一直加到1000和10000呢？用简便方法计算。
算式：1+2+3+4+5+6+7……+100=5050 5050×10=50500 50500×10=505000
答：1一直加到100的得数是5050,一直加到1000和10000各是50500和505000.
简便算法：或许有些同学会觉得这个算是太长，需要计算器！no，那就错了。只要仔细看看就可以发现1和99可以凑成100，2和98可以凑成100，3和97也可以凑成100，4和96，5和95，6和94 ，7和93，8和92，9和91，10和90，11和89……一直这样凑成100，结果可以得到能凑成50个100，就是5000，但是还剩下一个50单独一个数字，就可以拿5000 + 50 =5050，得出1一直加到100的得数。但有人会问了，1一直加到1000和10000为什么不着要算呢？因为100和1000的进率是10倍，1000和10000的进率也是10倍，所以可以拿1一直加到100的得数5050乘10倍等于50500，再拿50500乘10倍等于5050000。行对应的，1一直加到100000、1000000、10000000......以此类推，都可以这样算，当然，你也可以更深的理解这道题的规律哦！
今天，妈妈要去买灯泡。到了超市，发现超市里有两种灯泡：一种是节能灯泡，一种是普通灯泡。节能灯泡虽然开200小时只需要用一度电，比普通灯泡一度电多用170个小时，但是它一个要5元，；普通灯泡一个只要1元，比节能灯泡便宜4元，但是它30个小时就要用一度电。
妈妈问我：“考考你，如果我要买一个灯泡回家，买哪种的灯泡最划算？”
我思索了一会儿，不慌不忙地说：“可以这样算：
5/1=5
30*5=150（小时）200小时>150小时
还可以这样算：
5/1=5
200/5=40（小时）30小时<40小时
由这几步可得出结论，节能灯泡省钱。”
妈妈又问我：“很好。再想想看，还有没有别的办法来算？”
我又想了一会儿，一个字一个字地说：“可以用我这学期才学的?百分数?来算。也可以这样算：
5/200*100=*100=
1/30*100≈*100＝
>
或者这样算：
200/5*100=40*100=4000
30/1*100=30*100=3000
4000>3000
因此，也是节能灯泡便宜。。”
我和妈妈买了比较划算的节能灯泡回去了。
经过这件事，我明白了：“生活处处有数学”这个道理。
今天,老师给我们讲了一道三级训练上的重点难题:一个长100米,宽80米的广场中间留了宽4米的人行道,把广场平均分成4块,求每块的面积是多少?
看到题目后,有的人开动脑筋,寻找方法;有的人望着天花板干瞪眼;我绞尽脑汁使劲地想,终于思考出一种方法,于是赶紧举起小手,老师便叫我起来回答,我大声地说:“100-4=96米;96÷2=48米;80-4=76米;76÷2=38米;38×48=1824平方米”。
“你能说说你的思考方法吗?”沈老师问。“先把长减去4,算出两块的长,再除以2就得出一块小广场的长;宽也用同样的方法,最后长和宽相乘便得出一块的面积了。”
沈老师又问“还有其他的方法吗?”
夏雨航站起来回答,他连说了好几个算式,可我们却不懂。
老师又让大家想其他方法,大家看起来信心十足,但又害怕不对又都低下了头。
于是沈老师就带着我们一起理解了各个算式,这困难就迎刃而解了.
通过这节课我明白了一个道理:世上无难事,只怕有心人,只要你肯想,就一定能想出解决问题的办法来!
有一天，我跟妈妈去逛商场。妈妈进了超市买东西，让我站在付钱的地方等她。我没什么事，就看着营业员阿姨收钱。看着看着，我忽然发现营业员阿姨收的钱都是1元、2元、5元、10元、20元、50元的，我感到很奇怪:人民币为什么就没有3元、4元、6元、7元、8元、9元或30元、40元、60元呢?我赶快跑去问妈妈，妈妈鼓励我说:“好好动脑筋想想算算，妈妈相信你能自己弄明白为什么的。”我定下心，仔细地想了起来。过了一会儿，我高兴地跳了起来:“我知道了，因为只要有1元、2元、5元就可以随意组成3元、4元、6元、7元、8元、9元，只要有10元、20元、50元同样可以组成30元、40元、60元……”妈妈听了直点头，又向我提了一个问题:“如果只是为了能随意组合的话，那只要1元不就够了吗?干吗还要2元、5元呢?”我说:“光用1元要组成大一点的数就不方便了呀。”
这下妈妈露出了满意的笑容，夸奖我会观察，爱动脑筋，我听了真比吃了我最喜欢吃的冰激凌还要舒服。在此，我也想告诉其他的小朋友:其实生活中到处都有数学问题，只要你多留心观察，多动脑思考，你就会有很多意外的发现，不信你就试一试!
大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣的事情。
比如，在我爸爸给我买的一本数学拓展题中，有一题思考题是这样说的：”一辆客车从东城开向西城，每小时行45千米，行了2。5小时后停下，这时刚好离东西两城的中点18千米，东西两城相距多少千米？“ 这时，我就在数学草稿纸上这样写： 45×2。5＝112。5（千米），112。5＋18＝130。5（千米），130。5×2＝261（千米），答：东西两城相距261千米。
但我又看了看，发现有点不对劲。原来，我忽略了一个重要的东西，就是：这时刚好离东西两城的中点18千米，其中的”离“，这到底是没到中点呢？还是过了中点呢？如果是还没到中点，离中点还差18千米的话，就是我刚刚这么写。但如果是到了中点多了18千米，那就应该这么写：45×2。5＝112。5（千米），112。5——18＝94。5（千米），94。5×2＝189（千米）。
那到底是怎么写呢？我便向爸爸求助，我跟爸爸讲了这件事后，又给爸爸看了看式子，结果，爸爸却说：”嗯……你写的这两个式子都对。都可以写。“
在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，根据生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案。
今天早上一起来，妈妈就宣布：由于家里停水，今天全家到欧尚那边去吃早餐，顺便到超市买东西。
到了那边，我们准备先去吃早餐，先来到了珅府捞面。可是，这里一碗面就要3、40块钱，好贵，而且更加“惊悚”的是，这里的一个鸡爪要5块钱。我们觉得太贵不合算，就来到了“丸来丸趣”，没想到，仅仅一墙之隔，价钱差距就这么大：这里一碗面只要9块钱。吃完早餐，我们就开始逛超市啦！我们先买了一袋我和爸爸最喜欢吃的青桔子，总共数量是11个，价钱是元，差不多一个5毛钱左右。我们又去买了5个鸡爪，一共元。这个鸡爪的价格简直与珅府捞面的价格有着“天壤之别”，一边是不到1元/个，一边是5元/个。来到水果区，我们买了一袋青蛇果，3个共元，这么小的一个青蛇果差不多一个要6元，好贵！接下来，我们又去买了一个哈密瓜，元，没想到，3个小小的青蛇果比一个大大的哈密瓜整整还贵出了元。由于我在邻居桃桃家里尝过黄桃很好吃，我们又去买了3个大大的黄桃，一共元，平均下来每个黄桃是元。我们买完所有需要的东西去结帐，算上这里没有提到的东西，一共是500元。
这次，我从买东西里面学到了很多数学知识，今天真是太开心了！
今天是中秋节，我们一家人可高兴了。爸爸妈妈说：“今天是个好日子，我们来玩一个抓纸的游戏怎么样？”我点了点头，爸爸拿了4个形状相等，大小相同的纸，分别把2张红纸和2张蓝纸放进这个袋子里说：“这个不是透明袋子，里有2张红和2张蓝纸，如果你摸到2张都是红纸或2张都是蓝纸的话，我就给你5块钱，否则你给我5块钱，好不好？”我说：“那我可不干。
”爸爸问：“这是为什么呀？你不是也有机会挣钱吗？”我有说：“虽然我也能挣钱，可是机会并没有你多呀！你想，一共有4张纸，如果我第一张摸到的是红色，袋子里还剩下2张蓝色纸和一张红色纸，那么再摸到红色的机会只有1/3，而摸到蓝色的机会却是2/3；如果我第一张摸到的是蓝色，那么再摸到蓝色的机会只有1/3，而摸到过红色的机会却是2/3，所以你当然比我更容易挣钱喽。”爸爸说：“不错吗，小子，看你也挺聪明的嘛，这样也迷不到你，好吧，看你今天表现得还不错，奖励你五块钱吧！”我高兴极了，今天真是个好日子。
爸爸是一个的十足的数学迷，平时最爱出些数学题来考我了。这不，今天闲来无事又向我出题了，我问道“：爸爸今儿要出啥题？我奉陪到底：”爸爸看我自信满满，满脸笑意说：“输了可别哭鼻子，请听题：有一师徒二人共同加工26个零件，徒弟先到车间，就先拿了一些零件放在自己的机床边。师傅”来了，一看徒弟要拿去加工的零件太多了，他除了拿了留给他的零件外，又从徒弟那里拿了一半零件。徒弟觉得自己应该多干一点，又从师傅那里拿来一半。师傅不肯，徒弟只好再给师傅5个零件，最后还是师傅比徒弟多加工2个零件。请问，徒弟最初准备加工零件是多少个？“我不禁想：可以先求出徒弟最后加工零件（26÷2）÷2＝12个。徒弟没给师傅5个零件时，徒弟有零件12＋5＝17个，徒弟没从师傅那里拿走一半之前，师傅有9×2＝18个，而这时徒弟只有零件26——18＝8个，因此师傅没拿走徒弟手中零件的一半之前徒弟有零件8×2＝16个。这时，爸爸拍了我的肩，说：”想出来了没。“我这才恍过神来，答道：”徒弟最初准备加工零件16个。“
爸爸故弄玄虚地问：”你确定吗，还要改吗？“我胸有成竹的摇了摇脑袋，说：”不用改了 。“”恭喜你……答对了！“
我高兴的一蹦三尺高，心里乐滋滋的，像吃了蜜一样甜。
我和妈妈去金鸡湖玩。途中看到很多交通指示牌。有的写着离前方1000米，有的500米，也有3公里等等。我就好奇的问妈妈：”妈妈，10公里有多少米啊？“妈妈笑着对我说就是10000米啊！”啊？我以为10米呢！“我对妈妈说。
”哦，儿子你知道一公里等于多少米么？“妈妈问
”100米？“我试着回答
”错了，一公里等于1000米！“妈妈说
”那为什么人们不说一公里是1000米，而以公里计算呢？“我问道
”那样太麻烦啦，如果是几百几千甚至几万公里，以米计算的话那得写多少个0啊，人们为了便于记录，就以公里代替，1000米，10000米，100000米等等，只要把后面的3个0去掉，就是公里数啦！“妈妈说。
”我懂了，妈妈，1000米去了3个0就是1公里，10000米去了3个0就是10公里，100000米去了3个0就是100公里！“我兴奋地告诉妈妈
”儿子，你真棒！“妈妈赞许的说道。
哈哈，原来计算公里数是有窍门的呀！
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：…而…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的…处会使琴声更柔和甜美。 数…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的处，效率将大大提高，这种方法被称作“法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。”
一元二次方程论文题目
区别：(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式 ；(2)二次函数中，代数式ax²+bx+c 等于因变量y ；一元二次方程中，代数式ax²+bx+c 等于零；一元二次不等式中，代数式ax²+bx+c 大于或小于零；(3)图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线 ；一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点 ；一元二次不等式的解集是线段或射线 。 联系：(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 。(2)令二次函数y=ax²+bx+c的y=0，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 ， 令一元二次不等式ax²+bx+c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 。(3)二次函数y=ax²+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2（x1＜x2），即为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根。（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）一元二次不等式ax²+bx+c＞0 解集是：x＜x1 或 x＞x2 ；对于ax²+bx+c＜0，解集是：x1＜x＜x2 。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。如：一元二次方程与二次函数。我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程，而形式为y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，很多题型都是以此来命题。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成一元二次方程。由此可见，方程中的很多知识点可以运用在函数中。下面，我们就它们间的具体运用详细的了解一下。一、 配方法解方程与二次函数的应用关系在解方程的四种方法就有一种用配方法来解方程的。而在二次函数中，我们经常要将一般形式 转化成 的样式，这个转化过程实际上就是对其进行配方，与方程配方相同。例1：用配方法解方程解：（1）（2）（3）（4）……例2：指出函数 的顶点坐标。解：（5）（6）（7）（8）∴顶点为（－2，－17）方程中的（1）、（2）、（3）、（4）四个步骤与函数中的（5）、（6）、（7）、（8）四个步骤的方法是完全一样的。可见，方程与函数密切相关。我们通过课本的学习可知；二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有交点时，交点横坐标的值就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。二、 一元二次方程根的判别式与二次函数的结合应用在二次函数中，当函数与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0、△＝0和△<0。而在一元二次方程中有以下结论：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根。例3：判断二次函数y= x2－4x+3与x轴的交点个数分析：因为二次函数与x轴的交点个数可由对应方程根的判别式△来确定。若△>0，则有两个交点；若△＝0，则有一个交点；若△<0，则无交点。该题中△＝4>0，所以有两个交点。例4：试说明函数y= x2－4x+5，无论x取何值，y>0。分析：第一种方法：用配方法将其化成y= （x－2）2 +1的形式来说明。（但如果系数取值不好，该方法就比较麻烦）第二种方法：用△来说明，因为△＝－4<0，所以函数与x轴无交点，又因为该函数的二次项系数a＝1>0，所以图象开口向上。于是，图象在x轴上方，因此无论x取何值，y>0。例5：求证：不论m取什么实数，方程x2－（m2+m）x+m－2＝0必有两个不相等的实数根。分析：这道题如果用常规做法，就是证明一元二次方程的△>0的问题。然而本题的判别式△是一个关于m的一元四次多项式，符号不易判断，这就给证明带来了麻烦，若用函数思想分析题意，设f（x）＝x2－（m2+m）x+m－2，由于它的开口向上，所以只要找到一个实数x0，使得f（x0）<0，就说明这个二次函数的图象与x轴有两个交点，问题就得到了解决。注意观察，容易发现当x＝1时，f（1）＝1－（m2+m）+m－2＝－m2－1<0，故这个图象必与x轴有两个交点。这就说明要证明的结论是成立的。证明 略。三、 一元二次方程中根与系数的关系在函数中的应用例6：二次函数图象过点（－1，0）、（3，0），且与y轴交于（0，3），求函数解析式。分析：此类题型的常规解法是待定系数法。然而在这里可以用根与系数的关系来解，因为（－1，0）、（3，0）实际在x轴上，所以－1和3是函数所对应方程的两个根。解：设函数形式为∵函数过点（0，3）∴ c＝3∴又∵函数过点（－1，0）、（3，0）即函数与x轴交点的横坐标是－1和3∴解得 a＝－1，b＝2∴函数形式为y= －x2＋29x+3很明显，此方法要比待定系数法简单。一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处。在这里，我们只探讨这么多，更多的地方需要在实践中去慢慢体会。论文格式:1、论文格式的论文题目：（下附署名）要求准确、简练、醒目、新颖。2、论文格式的目录目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、论文格式的内容提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、论文格式的关键词或主题词关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题分析，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。（参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》）。5、论文格式的论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。 资料来源：
你是兰州一中的?
相同：(1)表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式 ；(2)它们都含有类似的代数式：ax²+bx+c ；(3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元)；(4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次 。————————————————————————————区别：(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式 ；(2)二次函数中，代数式ax²+bx+c 等于因变量y ；一元二次方程中，代数式ax²+bx+c 等于零；一元二次不等式中，代数式ax²+bx+c 大于或小于零；(3)图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线 ；一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点 ；一元二次不等式的解集是线段或射线 。 联系：(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 。(2)令二次函数y=ax²+bx+c的y=0，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 ， 令一元二次不等式ax²+bx+c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 。(3)二次函数y=ax²+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2（x1＜x2），即为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根。（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）一元二次不等式ax²+bx+c＞0 解集是：x＜x1 或 x＞x2 ；对于ax²+bx+c＜0，解集是：x1＜x＜x2 。
一元二次方程小论文800字
本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 . 一、理解二次函数的内涵及本质 . 二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 . 二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 . 1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 . 2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” . y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 . 总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 . 3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征； 4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 . 三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 . 1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 . 2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 . 3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 . 四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 . 一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 . 从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 . 五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 . 用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .〖教学目标〗 ◆1,经历一元二次方程概念的发生过程. ◆2,理解一元二次方程的概念. ◆3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项. 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式. ◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点. 〖教学过程〗 合作学习 列出下列问题中关于未知数x的方程 ①正方形的面积为80,边长为x,则可列出方程 . ②某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x,则可列出方程 . 引入新课 观察方程x2=80 和 两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根) 练一练:1,判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2 ② +x+3=0 ③ ④ ⑤ 2,判断未知数的值,,是否是方程的根. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(,,为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中,,分别称为二次项,一次项和常数项.,分别称为二次项系数和一次项系数. 思考:为什么,,可以为零吗 三,范例讲解: 例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. ① ② ③ ④ 解:① 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ② 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ③ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ④ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. 我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项. 四,练习巩固: 1,方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号). 2,关于的一元二次方程的一个解是,则 3,判断下列各方程后面的两个数是不是它的解. ① ( ) ② ( ) ③ (3 , 1) ( ) ④ () ( ) 五,小结: 记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程; 化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项; 能判断的值是不是方程的解. 作业:见作业本 一元二次方程(2) 【教学目标】 ◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. ◆2.会用因式分解法解一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程. ◆教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点. 【教学过程】 复习引入 1,将下列各式分解因式: 教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 2,你能利用因式分解解下列方程吗 请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视. 之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题) 新课学习 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤: 教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 2,讲解例2. (1)解下列一元二次方程: 教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或",而不能用且. (2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左,右两边,等式成立吗 (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型: ①先变形成一般形式,再因式分解: ②移项后直接因式分解. 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式. 讲解例3. 解方程 在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范. 3,补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗 首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0. 三,巩固练习: 课本第32页课内练习. 四,体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗 先由学生自由发言,教师再投影演示: 1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积; 2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0. 4,用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 5,数学思想:整体思想和化归思想. 五.课后作业 1.书本作业题 2.作业本 【板书设计】 屏幕 一元二次方程(二) ——因式分解法解一元二次方程 1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想:整体思想和化归思想. 一元二次方程的解法(1) 【教学目标】 ◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. ◆2. 会用开平方法解一元二次方程. ◆3. 理解配方法. ◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:开平方法. ◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度. 【教学手段】 用多媒体powerpoint和黑板的形式. 【教学过程】 (一)引入新课 问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约AC=5千米.请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解,方程根的检验等起着复习巩固的作用. (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根. 如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念. 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1,它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 ).2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法) 然后通过一系列,连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程. 例1, (1 ) (2) (3) (4) 通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察,变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程. (三),问题2: 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数. 1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边. 2:方程两边同加上一个合适的数. 3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数. 4:最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念.像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左,右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方.) 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出.即突破本节课的难点. (1) (2) (3) 最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方; 2:前提条件:二次项系数为1 例2, (1) (2) 再次总结:形如 (二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程. 具体的步骤有: 第一:移项. 第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方. 第三:再用开平方法来解方程. (四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办 为下节课的教学打下了基础. 例3, 课堂小结 让学生回答1:用开平方法,配方法解一元二次方程的概念.2:用这两种方法解方程时,方程的特点.3:用这两种方法解方程时的步骤.4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项. 六,布置作业. 一元二次方程和解法(2) 【教学目标】 ◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤. ◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程. ◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程. 【教学过程】 一.复习旧知 用适当的方法解下列方程: 1,(x-2)2=3 2, x2+3x+1=0 请学生上来板演,老师点评归纳. 二.新课讲授 1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1 提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解 经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答. 教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题.即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程. 2.讲解例题 例3:用配方法解下列一元二次方程 (1)2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0 评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生容易发现,两个方程同解.再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归. (2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以. 教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为: (1)x2+px=-q(移); (2)x2+px+() 2=-q+() 2(配); (3)(x+)2= (化); (4)解得x=- (解) 2,当二次项系数不为1时,则在 "移"之前先要有个"除",即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1. 练习:用配方法解下列方程 练习: 一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米 三:小结 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程. 本课时的难点是对二次项系数的处理. 四:布置作业 课本""作业本"及习题精选中对应的练习. 一元二次方程的解法(3) 【教学目标】 ◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. ◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性. 2.培养学生快速而准确的计算能力. ◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美,简洁美,产生热爱数学的情感. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. ◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 【教学过程】 (一)复习引入 1.用配方法解下列方程. (1)x2-7x+11=0,(2)9x2=12x+14. (通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.) 2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0. 解:移项,得x2+2px=-q 配方,得x2+2px+p2=-q+p2 即(x+p)2=p2-q. (教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根. 解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a, ∵ a≠0, ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时. 从上面的结论可以发现: (1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的. (2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根. 的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (二)师生互动,应用新知 互动1 师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b2-4ac ≥0 , 那么b2-4ac<0时会怎样呢 生:当b2-4ac<0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解. 明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac0, ∴ x1=2,x2=1. 在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先"代"后"算".不要边代边算.引导学生总结步骤 1.确定a,b,c的值.2.算出b2-4ac的值.3.代入求根公式求出方程的根. 例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根,应写成x1= 例3用公式法解一元二次方程: (1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0 其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2-4ac<0,方程无实数根. 明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式, 确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,把a,b,c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac<0,此时方程无解. 练习:课内练习1.熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力. 互动3 请同学们根据学习体会,小结一下解一元二次方程的几种方法,通常你是如何选择的 请同学们交流,教师鼓励发言. 明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式. 练习:课内练习2.合理选择解法. (三)达标反馈,深化新知 (1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A) (2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是 (3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗: x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0, (四)总结及布置作业 引导学生从以下几个方面总结: ≥0). (2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式.②确定a,b,c的值.③算出b2-4ac的值.④代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单. 2.求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解,如果b2-4ac<0时,则在实数范围内无实数解.渗透一种分类的思想. 一元二次方程的应用(2) 【教学目标】 ◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值. ◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用. ◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点. 【教学过程】 1.复习提问, (1)列方程解应用题的基本步骤 答: ①审题; ②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量; ③找出所涉及的基本数量关系; ④列方程; ⑤解方程; ⑥检验. 2.新课讲解, 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题. 如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少 分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程. 解 设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 (不合题意,舍去) 答:纸盒的高为5cm. 接下来,同学们来做一下课内练习题1. 围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽. 解: 设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 答:略. 合作学习: 一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km. 如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断 如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响区 建议: ①假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置; ②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程; ③通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确; ④讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样 提示:①几何画版给出演示; ②若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C'点,台风中心到达B'点,那么船是否受到台风影响与什么有关 ③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响 ④你能用关于t的代数式表示B',C'两点之间的距离吗 ⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗 解答(略) 练习 练习:P40——课内练习2 补充练习:P40---作业题5 课堂小结: 体会如何根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.从中学到了什么
(1). 因为方程x^2-4x+m=0有两个正整数解所以 m 可分解为：-2、-2和-1、-3这两种情况由三角形三边关系得：b=3 ,如图：作BD⊥AC于D ，设AD=x ,则CD＝3-x ,由勾股定理得：25-x^2 = 9-(3-x)^2 解得:x= 25/6 ,所以sinA＝x/5 = 5/6(2).设售价为(50+x)元，则可卖出（500-10x)个所以 (50+x-40)*(500-10x)=8000解得：x=10或x=30 即50+x=60或80所以售价为60元时，进货400个或售价为80时，进货为200个。（3）.设甲种商品投入x元，则乙种商品投入为(3-x)元，再商最大利润为y＝(1/5)*x + (3/5)*√(3-x) ,所以5y-x= 3*√(3-x) ,两边平方得：x^2 -(10y-9)*x +(25y^2 -27)=0所以△＝(10y-9)^2-4*(25y^2-27)≥0 ，解得:y≤ 21/20y取最大值21/20时 ，x=3/4 所以甲、乙两种商品的投入分别为：（3/4）万元和（9/4）万元
生活如一张白纸，而作为手上拿着七彩画笔的我们，就要用自己的双手去装点这张白纸。而这七彩的画，就是语文。我们可以用如太阳般鲜艳热情的红色绘出快乐的喜悦，用温暖亲切的橙色点下心中的感动，用温馨灿烂的黄色装点青春的快乐，用充满活力与生机的绿色勾勒旷达的胸怀，用深沉的青色擦拭忧郁的困惑，用清澈透明的蓝色描绘淡定的心境，用梦幻般绚烂的紫色渲染浪漫的气息……这就是语文。她可以使白茫茫的一片挥洒得五彩斑斓。语文，是我们生活中不可缺少的一门艺术，懂得语文的人，将会是一个很好的艺术家。我喜欢语文，喜欢它的丰富多彩，喜欢它的变幻莫测，喜欢它的神秘诱人。对语文，我有一种说不清道不明的向往。语文是滋味甘醇的美酒，让人回味无穷。星期六，星期日，泡上一杯淡茶，坐在椅子上，捧着书，那一篇篇优美的散文，让我体验人生哲理，畅游语文词海，走向华丽殿堂。伴着清茶，慢慢咀嚼，果然唇齿留芳。语文是绚丽多彩的画卷，让人心驰神往。翻开语文书，我总会被那动人的情节那美丽的词藻所吸引，一口气读完文章后，慢慢品味，发现它是那样的多姿多彩，变幻无穷，令人神往。语文与我们的生活息息相关，不仅是我们沟通的桥梁，还为生活增添了许许多多的乐趣。有诵读的清晨，有诗意的午后，有故事的夜晚……从最原始的绳结记事，再从甲骨文到秦国统一隶书。直到我们如今的小孩子牙牙学语，有一种稚嫩可爱、爹声爹气的“鹅鹅鹅”，再到学校教室里每天都按时传出的朗朗书声，还有领导滔滔不绝地会议，教育家们绘声绘色地演讲，话剧演员娓娓道来的讲述，这些，都离不开奇妙的语文。
我对一元二次方程的看法一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。 下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 ≥0时有解，＜0时无解。 配方法 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。 公式法 ≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】 例1：已知，解关于的方程。 分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。 解：由得：或， 当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即， 解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。 例2 ：用开平方法解下面的一元二次方程。 （1）； （2） （3）； （4） 分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。 解：（1） ∴（注意不要丢解） 由得， 由得， ∴原方程的解为：， （2） 由得， 由得 ∴原方程的解为：， （3） ∴， ∴ ∴， ∴原方程的解为：， （4） ∴，即 ∴， ∴， ∴原方程的解为：， 说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3 ：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。 解：（1） 二次项系数化为1，移常数项得：， 配方得：，即 直接开平方得： ∴， ∴原方程的解为：， （2） 二次项系数化为1，移常数项得： 方程两边都加上一次项系数一半的平方得： 即 直接开平方得： ∴， ∴原方程的解为：， 说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。 例4：用公式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。 解：（1）， 化为一般式： 求出判别式的值：＞0 代入求根公式：， ∴， （2） 化为一般式： 求出判别式的值：＞0 ∴ ∴， 说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。 例5：用分解因式法解下列方程。 （1）；（2） 分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。 解：（1） 左边分解成两个因式的积得： 于是可得：， ∴， （2） 化简变为一般式得： 左边分解成两个因式的积得： 于是可得：， ∴， 说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。 从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。 例6：选用恰当的方法解下列方程。 （1）； （2）（3）； （4）分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理得：直接开平方得：∴，（2）分解因式得：∴，（3）整理得：求出判别式的值：＞0∴，∴，（4）配方得：直接开平方得：∴，总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。 【附训练典题】 1、用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）.2、用配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.3、用公式法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.4、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）. 5、选用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）
一元二次方程根的研究论文
相同：(1)表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式 ；(2)它们都含有类似的代数式：ax²+bx+c ；(3)它们的代数式都只含有一个未知数(一元)；(4)它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次 。————————————————————————————区别：(1)二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式 ；(2)二次函数中，代数式ax²+bx+c 等于因变量y ；一元二次方程中，代数式ax²+bx+c 等于零；一元二次不等式中，代数式ax²+bx+c 大于或小于零；(3)图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线 ；一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点 ；一元二次不等式的解集是线段或射线 。 联系：(1)一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识 。(2)令二次函数y=ax²+bx+c的y=0，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 ， 令一元二次不等式ax²+bx+c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax²+bx+c=0 。(3)二次函数y=ax²+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x1、x2（x1＜x2），即为一元二次方程ax²+bx+c=0的两根。（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）一元二次不等式ax²+bx+c＞0 解集是：x＜x1 或 x＞x2 ；对于ax²+bx+c＜0，解集是：x1＜x＜x2 。
你是兰州一中的?
就写下二远一次方程是求二元一次函数与x轴交点时用的
可以给你提供几个要点参考：三者的联系最明显的就是根的判别式，即“△”。二次函数中的“△”可以和二次项系数“a”一起判断图像与X轴的交点个数；在一元二次方程中用于判断方程根的个数；在一元二次不等式中可以通过观察二次函数的图像来确定自变量X的取值范围。总之“△”可以说是用一条线把三者串联起来了。三者的区别在于：二次函数是一个研究因变量Y与自变量X变化关系的过程，其中需要探究函数图像增减性、单调性、对称性以及极值等等；一元二次方程则是探究方程中的未知数是否有解的过程，而一元二次不等式是探究未知数X满足条件的范围的过程，但一元二次不等式和二次函数的联系是非常紧密的，因为其经常要利用二次函数的图像来确定未知数X的范围。综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图像上的点；一元二次不等式是截取二次函数图像上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系。
一元二次方程论文的参考文献
我依然不明白他是如何想出它的。
——理查德·费曼
一对数学精灵
一八二六年秋天，二十四岁的挪威青年尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）来到巴黎，此时的他已经取得非凡的数学成就，包括证明五次和五次以上方程没有一般根式解，正在等待法兰西科学院大咖们的赏识和肯定。在离阿贝尔住处几公里远的路易学校，十五岁的法国少年埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）却遇到麻烦，在进入该校的第四个年头，他的修辞课大大退步（可能没过及格线），他留级了。
阿贝尔和伽罗瓦
因为留级，伽罗瓦遇到了见习数学老师维纳。维纳向同学们推荐了勒让德的《几何原理》，比起赫赫有名的欧几里得《几何原本》，这本一七九四年版的数学著作更容易读懂。据说如饥似渴的伽罗瓦只用两天就读完此书，而它原本是足足两年课程的教材。值得一提的是，德意志数学天才黎曼恰好在那年出生，他在中学期间也只用六天时间读完了勒让德的另一部巨著《数论》。
伽罗瓦被数学迷住了，他贪婪地阅读原始著作和文献，就像如今的小朋友痴迷于哈利·波特系列故事，伽罗瓦完全沉浸于不久以前逝去的数学家拉格朗日的著作。面对此情此景，修辞老师无奈地说，“在伽罗瓦的作业里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一无是处”，“他已经沉迷于数学的激动中……对其他事物视若无睹……如果他的父母只允许他研究数学，我认为那对他来说是最好的”。
两年以后，伽罗瓦参加了巴黎综合理工学校入学考试，结果名落孙山，自然是因为“在某个领域知识太多，而其他领域知识太少”。他只好在路易学校再读一年，幸运的是，他进了理查德的数学专门班。理查德发现这位学生的数学天赋远超其他同学，就给了他一等奖学金。老师保留了他所有课堂笔记本，正如母亲和姐姐保留了他少年时代所有画作，他们都认定伽罗瓦是天才。
无独有偶。当阿贝尔十三岁那年离开故乡，进入挪威首都奥斯陆（当时叫克里斯蒂安尼亚）一所教会学校时，也曾遭遇一些挫折。可是不久，他遇到一位叫霍尔姆伯的数学老师。霍尔姆伯非常欣赏阿贝尔，成了阿贝尔的启蒙老师和第一个伯乐。霍尔姆伯教如饥似渴的阿贝尔学习高等数学，鼓励他阅读瑞士数学家欧拉、德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日和泊松的著作。
一八二一年，十九岁的阿贝尔幸运地进入新成立的挪威第一所大学—皇家弗雷德里克大学（后易名奥斯陆大学）。更幸运的是，有三位教授愿意为聪明好学、家境贫困的阿贝尔解囊相助，其中一位教授允许阿贝尔随意出入自己的家。另一位教授则资助他第一次离开挪威，去哥本哈根旅行。五年以后，阿贝尔又获得挪威政府的旅行奖学金，经过柏林来到了巴黎。
三次和四次方程
说到五次方程求解的意义，我们要从古希腊说起。在古希腊，几何学曾是数学的代名词。柏拉图学园的入口处写着，“不懂几何学的请勿入内”。而数学就像毕达哥拉斯定义的单词词根，指一切可以学到的知识，那更多的是一种哲学含义。究其原因，几何学可以通过图像，而不怎么需要文字和符号来推理表达，因此更容易自由发展，这也是欧几里得几何学得以率先诞生的原因。
对于一次和二次方程，因为比较简单，在没有方便的符号体系下，包括“四大文明”在内的古老文明都能自己找到解答，甚至知道利用根式给出的表达方法。只不过，有的民族只取正值解，有的民族（二次方程）只取一个解或实数解。而要说到一般的代数方程和它的求解，首先要提到丢番图，他是古希腊最后一位数学大家，生活在公元三世纪的亚历山大。
丢番图最重要的著作是《算术》，这是一部划时代的数学名著。共有十三卷，但很长时间人们只见到其中的六卷希腊文本。直到一九七三年，才在伊朗马什哈德发现四卷阿拉伯文译本。这十卷书中共有二百九十个数学问题，大多数是数论问题，其中希腊文本中的第二卷第八题是有关毕达哥拉斯数组。十七世纪《算术》拉丁文译本出版以后，引起了法国数学家费马的兴趣，演变成赫赫有名的费马大定理。除数论问题以外，《算术》还涉及一些代数问题和思想。但它不像之前的代数问题那样披着几何的外衣，而是还原代数本身的模样。对于一次方程，丢番图采用“移项”和“合并同类项”等技巧，这与我们现在的解题思路是一致的。对于二次方程，虽说丢番图已懂得负数的运算法则，但只满足于寻找正有理数解，且如果有两个正根时，他只取较大的那个。
更有价值的是，丢番图比较系统地提出了代数符号概念。例如，他用希腊字母的前几个α、β、γ表示数字1、2、3，而用其他字母表示未知数不同的幂次。他采用速记的形式来表达高次方程，这样的表达可以称之为速记代数。十六世纪以前的欧洲，用一套符号使得书写更为方便、简洁的只有丢番图一人。可以说，丢番图使得代数从几何形式中解脱出来，成为数学的一个重要分支。
值得一提的是，古代中国尤其是宋元时期的数学取得了辉煌的成就。南宋秦九韶发明了用迭代法求高次方程近似解（正根）的“正负开方术”，被现代人称为秦九韶算法。元代李冶发明“天元术”，用特定汉字表示未知数，打破了以《九章算术》为代表的“文辞代数”。稍后朱世杰发明“四元术”，将其推广到四个未知数的情形。他们的工作堪称“半符号代数”。
在印度，七世纪的数学家婆罗摩笈多首先得到了0的运算法则，他给出了二次方程的求根公式，允许系数可正可负，他还用数上方加点的方式来表示负数，用不同的颜色首字母表示不同的未知数，效果与字母表达的方程十分接近。到了十二世纪，婆什伽罗给出的二次方程求根公式与现代的如出一辙，他还讨论了个别的三次方程和双二次方程。
阿拉伯数学家花拉子密生活在九世纪，他对二次方程做了全面系统的讨论。更重要的是，他的著作《代数学》在一一四〇年被译成拉丁文出版后，在欧洲被用作标准的教科书长达数个世纪，代数学（Algebra）因此书而得名，他本人的名字则称为“算法”（Algorithm）。与丢番图一样，花拉子密也享有“代数学之父”的美名。
时光到了十六世纪，在亚平宁半岛，三次方程和四次方程的求解即将取得里程碑式的进展。在此之前，在哥伦布到达美洲两年之后的一四九四年，他的意大利同胞数学家帕乔利在一部百科全书式的数学巨著最后以悲观的语调写道，“对于三次和四次方程，直到现在还不可能形成一般规则”。他还认定，那无疑与古希腊遗留下来的化圆为方问题一样困难。
或许，正是为了挑战帕乔利的悲观论调，他的同胞数学家们接连取得了突破性的进展。先是欧洲最古老的博洛尼亚大学数学教授费罗解出了缺项的三次方程x3+mx=n（系数为正），接着，自学成才的塔尔塔利亚（意思是口吃者，起因于入侵法国士兵的砍刀）不仅也能解上述三次方程，同时他还会解方程x3+mx2=n（要求系数为正）。
一五三五年，在费罗去世九年后，他的徒弟菲尔奥与塔尔塔利亚有过一场公开的数学竞赛。这是那个时代数学家的传统，他们相互出同样数量的题目（方程），然后在规定的时间内交卷，结果当然塔尔塔利亚大获全胜。借这个东风，塔尔塔利亚后来完全解决了三次方程的求解问题，即与二次方程的求解一样，通过根式来表达。
这场竞赛引起了米兰医生卡尔达诺的注意，他本是医术高超的名医，却嗜赌成性，家庭也遭遇不幸，妻子早逝，长子杀妻被处绞刑，幼子偷窃进了牢房。数学是卡尔达诺最大的安慰，他写过一本研究概率的书，后来被解方程问题给迷住了。卡尔达诺邀请塔尔塔利亚去米兰，好酒好肉招待三天之后，在保证不外传情况下，后者以诗歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。
古希腊的毕达哥拉斯定理也是以诗歌的语言叙述的。塔尔塔利亚告知的解法是费罗已掌握的那类三次方程。卡尔达诺经过钻研，把其他形式的三次方程也解了出来。协助卡尔达诺的是他的助理费拉里。费拉里十分聪明，紧接着他把四次方程的解也求出来了，即对一般的四次方程，他都可以通过转化变为三次方程，从而给出根式的一般解答。
一五四五年，卡尔达诺到博洛尼亚造访了费罗的学生兼女婿纳夫，看到费罗手稿上早就有塔尔塔利亚透露给他的解法之后，便在当年出版了《大术》一书，将三次方程和四次方程的解法公之于众，其中提到了费罗、塔尔塔利亚和费拉里等人的工作。这部书轰动了欧洲数学界，卡尔达诺也成为响当当的人物。虽然书中提及塔尔塔利亚的贡献，但后者对于卡尔达诺的背信弃义仍十分恼火。
塔尔塔利亚不仅公开指责卡尔达诺，而且要求与他直接竞赛较量，仿佛为名誉或爱情而战的一场决斗。对此正处于丧妻之痛的卡尔达诺保持了沉默，起身迎战的是年轻的费拉里。结果在米兰客场作战的塔尔塔利亚因不太会解四次方程，未等裁决结果出来便离开了，后来郁郁寡欢抱恨而终。名声大振并出任博洛尼亚大学教授的费拉里也乐极生悲，据说他最后是被贪财的姐姐用砒霜毒死的。
阿贝尔定理
三次和四次方程求解问题解决以后，五次方程自然摆在所有数学家面前。而自从一五四五年卡尔达诺出版《大术》，到阿贝尔上大学，时光已流逝了近三个世纪，这个棘手的问题依然存在。这期间，法国人韦达早已在一五九一年研究出二次方程根与系数关系的韦达定理，这个定理后来被荷兰数学家吉拉德推广到一般n次方程的情形。
不仅如此，韦达还把代数问题符号化，他用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。遗憾的是，这种方法不容易区分已知数和未知数。后来，韦达的同胞笛卡儿建议，用最前面的字母a、b、c等表示已知数，用最后面的字母x、y、z等表示未知数。这样的表示法一目了然，逐渐地被推广到全世界并沿用至今。
代数方程的理论问题则要等到十八世纪末，由德国数学王子高斯来完成。一七九九年，二十二岁的高斯在其博士论文中首次严格证明了：任何实系数的n次方程至少有一个复根。由此人们不难推出，n次方程有n个复根。一八四九年，在庆祝取得博士学位五十周年之际，高斯给出了上述定理的第四个证明，他证明了：任何复系数的n次方程都至少有一个复根。这个定理被称为代数基本定理。
现在，我们要说说阿贝尔的工作了。在中学最后一年，他雄心勃勃地试图解决一般五次方程的根式求解问题。不久他找到了求解公式，他的老师霍尔姆伯看不出证明的破绽。于是，这篇文章便寄给了一位丹麦数学家，那位数学家也没看出毛病，却谨慎地建议他再举例说明。斟酌之下，阿贝尔终于发现论证本身存在漏洞。
其实，拉格朗日在五次方程求解问题上也栽过跟头。他后来认识到，用类似三次和四次方程求解的方法去导出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一辈的意大利数学家鲁菲尼对这个问题也进行了一番努力，他写成了一篇五百多页的论文，证明一般五次方程不能通过一个公式求解。然而，他的证明既冗长又有漏洞，并未被人们接受，同时也鲜为人知。
上大学以后，阿贝尔也开始往相反方向使力。终于在一八二四年，他成功地证明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解。可是，依然没有人可以验证他的证明。翌年，在教授们的帮助下，他获得挪威政府的旅行奖学金，准备去拜访西欧国家一些知名数学家。可是，阿贝尔只是在柏林遇到一位业余数学爱好者兼出版家克莱尔，他是继霍尔姆伯之后第二个对他的事业有较大帮助的人。
克莱尔与霍尔姆伯都相信，阿贝尔是了不起的数学家。克莱尔在一八二六年创办了一本叫《纯粹数学与应用数学杂志》的期刊，首卷即发表了阿贝尔的七篇论文，其中包括《四次以上方程的不可解证明》。在前三卷里，居然连续发表了阿贝尔的二十二篇论文，内容涉及面很广，包含方程论、无穷级数、椭圆函数论等。可是，这本如今德国最重要的数学杂志在当时并没有什么影响力。
在巴黎，那时和现在一样，每到夏天大多数人都到海滨避暑去了。阿贝尔潜心于数学问题，完成了一篇关于超越函数的论文，递交给法国数学界的元老勒让德和权威柯西审阅，却被忽视了。椭圆函数是复分析理论中非常重要的一种双周期亚纯函数，由阿贝尔首先定义，他把它看作椭圆积分的反函数。如今椭圆函数在数论和物理学中都有着广泛的应用，与椭圆曲线和模形式也有着深刻的联系。
后来，比阿贝尔小两岁的德国数学家雅可比称赞阿贝尔的这篇论文“也许是这个世纪最伟大的数学发现”。多年以后，年轻一代的法国数学家埃尔米特仍然赞叹，这篇论文里“留下来的东西足够让数学家们忙碌五百年”。一八三〇年，为了弥补以往的过失，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖。遗憾的是，前一年阿贝尔已经病逝。
《数学传奇：那些难以企及的人物》
高斯在哥廷根自然也收到一份，但他恐怕不会相信，这么一个世界性难题被一个名不见经传的来自偏远地区的年轻人用这么几页纸给解决了。高斯并没有把它扔进废纸篓，而是夹在一叠纸或某两本书之间。高斯去世以后，有人在整理他的遗物时发现，内置阿贝尔论文的信封并没有被裁开。在这一不幸事件中，蒙受损失的不仅是阿贝尔，也包括整个数学学科。
阿贝尔证明了高于四次的方程没有一般的根式解的关键在于，他修正了鲁菲尼证明中的一个缺陷，尽管他并不知晓后者的工作。阿贝尔证明的是如今被称为阿贝尔定理的命题：如果一个方程能用根式求解，那么出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表示成该方程的根和某些单位根的有理函数。正是利用这个定理，阿贝尔证明了五次或五次以上的方程没有一般的根式解。
另一方面，阿贝尔并未否定对某些特殊的高次方程来说存在根式解的可能性。事实上，早在一八〇一年出版的《算术研究》里，高斯已经证明，分圆方程xp-1=0（p为素数）可以根式求解。阿贝尔也考虑了一类能用根式求解的特殊方程，现在这类方程被称为阿贝尔方程。尤其是，他引进了两个十分重要的概念—“域”和“不可约多项式”。遗憾的是，因为早逝，他没有完全解决方程的求解问题，这项工作要留待伽罗瓦来完成。
一八二七年，阿贝尔万分无奈地返回祖国。之后他的生活变得更为艰难，没有固定的工作和收入，只能以私人授课维持生计。翌年，他在一所大学找到代课教师职位，可是不久，他的身体却垮了，他得了肺结核（一说他在巴黎时已患上），这在那个年代是不治之症（黎曼患的也是同一种疾病）。一八二九年四月六日，不满二十七周岁的阿贝尔走完了他短暂的一生。
令人欣慰的是，阿贝尔生前体验过爱的滋味。一八二三年，即阿贝尔证明高于四次的方程不可解的头一个夏天，他在一位教授的资助下，去哥本哈根过暑假，在那里见到了几位著名数学家。在哥本哈根，他遇见了同胞克里斯汀，那是在她叔叔家的舞会上。当乐队演奏起华尔兹时，两人尴尬地站在那里，他们对这一新舞曲不甚了解，于是一起悄悄地离开。
克里斯汀
就在阿贝尔去世后的第三天，克莱尔的一封信到达挪威。原来克莱尔一直在柏林为阿贝尔找工作，最终成功地让他获得柏林大学的教授职位。但是，这个好消息来得太晚了。此外，四位法国科学院院士也曾联袂给瑞典－挪威国王写信，希望他重视阿贝尔这位天才。除了证明高于四次的方程不存在根式解以外，阿贝尔还是椭圆函数论的奠基人之一，他为无穷级数理论奠定了严密的基础，同时求解出了第一个积分方程。
伽罗瓦理论
一八二七年春天，就在阿贝尔去世前五天，还是中学生的伽罗瓦发表了第一篇论文，那是一篇有关连分数的论文，但他并不满足于此。与阿贝尔一样，伽罗瓦起初也把目标对准五次和五次以上方程的可解性问题，他着力于寻找这类方程的一般根式解，以求一鸣惊人。可是后来，他也转移了目标。
为了研究方程的可解性问题，伽罗瓦发明了“群”的概念，进而他建立起一门新的数学分支，现在人们称这套方法为伽罗瓦理论。所谓群，是由一些元素组成的，记为G（group）。这些元素之间存在一种运算×，它满足四条性质：封闭性，a和b属于G，则a×b也属于G；结合律，a、b、c属于G，则(a×b)×c=a×(b×c)；存在单位元1属于G，即对任意a属于G，满足1×a=a×1=a；对任何a属于G，存在逆元素b，a×b=b×a=1。
如同高斯所证明的，每个n次复系数方程有n个复根。依照排列组合原理，n个根有n阶乘（n!）个置换，它们在乘法意义上构成置换群Sn。例如，三次方程的三个根x1、x2、x3组成的置换群S3共有6个元素，如果用下标表示的话便是（1），（12），(13)，(23)，（123）和（132），其中（1）表示恒等置换，（12）表示x1和x2互换，而（123）表示x1、x2、x3轮换。
按照拉格朗日定理，对有限群来说，子群的阶数（元素个数）必整除群的阶数，两者相除所得的整数叫指数。伽罗瓦定义了正规子群，它是一种性质较好的子群。例如，（1）（123）（132）组成的子群H是正规子群，阶数最高的正规子群称为最大正规子群。对于方程的可解性判断来说，伽罗瓦理论的精妙之处在于：n次方程根式可解当且仅当它的置换群Sn的最大正规子群系列之间的指数均为素数。
例如，S3的最大正规子群系列为S3、H、单位元群，其指数6/3=2，3/1=3，均为素数，故根式可解。而对于S4来说，它有24个元素，其最大正规子群G4有12个元素，G4的最大正规子群G3有4个元素，G3的最大正规子群G2有2个元素，最大正规子群系列的指数分别为24/12=2，12/4=3，4/2=2，2/1=2，均为素数，故也根式可解。
当n>4时，Sn的最大正规子群An共有n!/2个元素，而An的正规子群只有单位元群，因此其最大正规子群系列的指数为2和n!/2，后者当n>4是必不为素数。依据伽罗瓦理论，方程没有一般根式解。多么美妙简洁的判断和证明！这是十八岁的伽罗瓦的独立发现。它先是由理查德带给柯西，尔后又以《一个方程可以通过开方解出的条件》为题，递交给法兰西科学院，参与那年的数学大奖赛。
遗憾的是，法国数学的执牛耳者柯西忽视了伽罗瓦的论文（此时勒让德已老态龙钟），科学院秘书傅里叶又突然逝去，遗失了伽罗瓦的论文。如前所说，最后大奖颁给了德国数学家雅可比和已经去世的阿贝尔。说到柯西，他是历史上最多产的数学家之一，以他名字命名的定理遍布高等数学教程，而傅里叶发明的三角级数理论是应用数学最强有力的工具之一。
说到伽罗瓦理论，那是一种更一般的理论形式，这要依赖阿贝尔首先提出的“域”的概念。域是至少有两个元素的数集，它对应加减乘除（除数不为0）运算是封闭的，记为F（field）。正如群有子群，数域也有子域，若K是F的子域，则F是K的扩域。显而易见，有理数、实数和复数都是域。有理数域是最小的域，实数域和复数域都是它的扩域。此外，形如a+b（a和b是有理数）的全体也是域。
伽罗瓦定义了“方程的群”（伽罗瓦群），它是由一部分置换组成的子群，这些置换保持根的代数关系不变，即具有对称性。伽罗瓦证明了，对任意n，总能找到一些方程，其伽罗瓦群为整个Sn。而伽罗瓦扩域基本定理是说，方程的系数域与根域之间的所有域与伽罗瓦群的所有子群之间存在一一对应关系。这是伽罗瓦理论的核心，它帮助我们通过研究较为简单的置换群来解决复杂的域的问题。
报考综合理工学校失利和成果两次错失被承认的机会，远不是伽罗瓦最背运的遭遇。十八岁那年，他又一次报考综合理工学校，其结果是“一个较高智商的考生在一个较低智商的考官面前失败了”。从此，这所大学对他永远关闭了大门，因为只允许每个考生报考两次。据说，一道口试题他明明答对却被判错。离开考场前，愤怒的伽罗瓦把黑板擦掷到考官脸上。
伽罗瓦就读的巴黎路易学校
进不了综合理工学校，伽罗瓦只得去投考师范预科学校，即如今赫赫有名的巴黎高等师范学校，当时它的声望并不高。尽管遇到麻烦，偏科严重的伽罗瓦还是被录取了。一八三〇年，伽罗瓦发表了两篇方程论文和一篇数论论文，后者首次提出了有限域的概念。然而，革命的枪声响起，义无反顾参与其中的伽罗瓦不久被学校开除。第二年，他又两次作为政治犯被捕，最后一次判了六个月徒刑，关押在巴黎的圣佩拉杰监狱。
一八三二年春天，巴黎霍乱流行，每天有上百人死亡。伽罗瓦得以被假释，从监狱转移到“康复之家”。在那里，他经历了一生唯一的恋爱。可是，这次恋爱既短暂又不幸。不满十七岁的少女斯蒂芬妮是“康复之家”主人的女儿，她在激起伽罗瓦对其产生兴趣后又冷淡了他。他随后写信给一位朋友，“我对一切的幻想已破灭，甚至对爱情和名声的幻想也已破灭”。
迟来的荣誉
阿贝尔数学奖每年在奥斯陆大学法学院颁发
在阿贝尔之前，挪威从未产生过一位世界级的科学或文化巨人，但在阿贝尔之后，却在不同领域接连出现彪炳史册的人物：戏剧家易卜生、作曲家格里格、艺术家蒙克、探险家阿蒙森。这其中，写作了《玩偶之家》和《皮尔·金特》的易卜生是在阿贝尔去世前一年出生的，而蒙克频频在忧郁、惊恐的精神控制下，以扭曲的线条表现暗淡的人生，又常让人想起阿贝尔的悲惨命运。
在数学领域，挪威也是人才辈出。例如索菲斯·李（Sophus Lie，1842-1899），二十一世纪两个十分重要的数学分支——李群和李代数均得名于他。一八七二年，德国数学家克莱因发表了《埃尔兰根纲领》，试图用群论的观点统一几何学乃至整个数学，他所依赖的正是李的工作。二〇〇七年过世的美国数学家赛尔伯格也是挪威人，曾因给出素数定理的初等证明荣获菲尔茨奖。
在阿贝尔去世三年以后，伽罗瓦面临一场决斗，地点在巴黎郊区一个小湖附近。至于决斗的对手，在相隔近两个世纪后仍然扑朔迷离。政敌、学弟，抑或女孩的父亲？反正最后的结局是，伽罗瓦被对手射中了腹部，并不是他的枪法不准，而是两把手枪里只有一把有子弹。后来，他被一个农夫送到医院，于次日去世。只有弟弟被通知赶到医院，伽罗瓦安慰他说，“不要哭，我需要我的全部勇气在二十岁时死去”。
在决斗前夜，伽罗瓦预感到自己的结局不妙，他写下了三封绝笔信。两封是给他的政党同道，希望他们不要责怪杀死他的人，另一封是科学遗嘱，几乎完整地表述了深奥的伽罗瓦理论。伽罗瓦去世两天后，他的遗体被安葬在蒙巴纳斯公墓，具体地点无人知晓。而在他故乡小镇拉赖因堡的公墓里，在他的亲人们安葬的墓旁边，后来竖立起一座伽罗瓦纪念碑。
伽罗瓦的工作开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这一难题，更重要的是，群概念的引进导致代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。实际上，环、域和向量空间等代数结构也可看作是具有附加运算和公理的群。群作为“数学抽象的最高艺术”，有着越来越广泛的应用，从晶体结构到基本粒子，从量子力学到材料科学，群论也是公钥密码术的核心。正是由于阿贝尔和伽罗瓦的工作，数学家们得以把更多精力投入到数学内部的发展和革新。
伽罗瓦纪念碑
无论如何，阿贝尔和伽罗瓦这对数学精灵生活在同一个时代，世所罕见。尽管他们成长的环境截然不同，一个在贫穷落后的挪威荒岛，一个在科学发达的法国首都，命运却十分相似。虽说他们念中学时都遇到一位好老师，但他们的伟大成就生前都被忽视了。最后的结局是，一个死于疾病，一个死于决斗。而在他们身后，都被公认为是十九世纪乃至是人类历史上最伟大的数学家之一。
初中数学方程教学方法研究论文
【摘要】 在新的教学背景下，每一门科目的教师都在不断寻找最简便有用的授课方法。方程是一种解决问题的方法，在数学、物理、化学等学科中都有广泛的运用，因此教师要利用教学课堂把方程这一知识点详细地给学生进行讲解，使学生可以运用好这一解题方法。在数学的具体授课中，教师要从学生的审题、列方程、解方程、验证方程等各个环节进行讲解，学生要熟练掌握方程这一知识点，运用这一知识点可以解决很多数学问题。通过教师方程的课堂讲解，学生能够学会独立分析问题，学会亲自动手动脑解决问题，开拓自己的学习潜能。通过教师的课堂讲解，学生能更快地明白解题思路，同时掌握更多的学习方法与技能。本文对初中数学中方程教学的有效方法应用进行了深入探究，对相应的问题提出了解决方法。
【关键词】 初中数学；方程教学；方法应用
初中数学中方程知识的教学占据着一定的比重，这一知识点可以贯穿到很多的学习内容中，并成为初中数学题目中解题的基础方法。对于方程教学来说，教师不仅要重视学生的解题思路和方程规律特点的讲解，还要对实践操作中的审题环节、作业反馈出现的问题重点关注。通过这样的方式，才能促进学生对于方程更高效的学习，更透彻更全方位地掌握方程知识。教师在制定教学计划的时候，要进行教材内容的分析，确定好教学主题，明确授课目的，做好知识点的衔接贯通、技巧讲解、教学逻辑性等方面的设计。通过这样的教学方法的制定，激发学生对于方程学习的兴趣、启发学生动脑思考能力，从而促进学生该学科成绩的提升。
一、培养学生的方程意识与思维
初中方程授课主要集中在一元一次方程、二元一次方程与一元二次方程的学习，不一样的形式在解题的运用方法方面也有很大的差异。因此，学生在学习过程中要掌握好每个方程的定义以及解题方法，加减法的运用在方程中是非常广泛的，教师在课堂中要利用理论性的教学方式来为学生讲解方程的不同定义以及意义，让学生通过教师课堂的'讲述分清方程的用法，尤其在选择填空题的解题方法中，教师可以引导学生做题的方法，可以运用画图的方式直接作题。在常见的题型中，如果题面上几何与方程没有太多联系，教师就要通过教学引导，引导学生运用代入方式来构建方程的形式来答题。学生刚接触方程就去解答问题往往还不熟练，因此教师要时刻提醒学生用方程的思想去回答问题，使学生形成习惯，建立高效的方程运用思想。要让学生了解到，题目中给了很多的数量关系，学生就要采取构建式子的形式去解答问题，从而利用方程去解答问题。教师通过这样的方式指导学生答题，既可以培养学生利用方程思想解决问题的习惯，又可以培养学生的动脑思考能力，从而教师也达到了制定的教学计划。
二、一题多变式教学方式应用于方程授课
在初中应用题教学过程中，教师首先要引导学生对应用题要有大概的了解，在把题意读懂的基础上进行分析解答，同时教师可以利用一道习题进行改编，使学生学会举一反三。例如：一个生产队有玉米400亩，收玉米340000斤，平均每亩产多少斤？这是一道求平均数的问题，通过教师的引导又可以发现：如果没有告诉我们总量，那么我们可以先求出总产量。这道题又可以改变成另外一种形式：一个生产队有玉米400亩，分两组收割，第一组收割180000斤，第二组收割160000斤，那么平均每亩产多少斤玉米？因为方程的形式并不是一成不变的，学生可以在这道应用题的基础上进行改编，再变成另外一道方程习题。教师也可以通过小组竞赛的方式来激发学生做题的动力，教师把学生分为几个小组，同时让小组成员进行讨论，看哪个小组能改编的题目最多、最新颖。通过这样的方式，学生可以在旧知识的基础上得到新的东西，从而学生的动脑能力也得到了极大的提高。
三、一题多解式的教学方法应用于方程授课
在初中数学中，应用题是学生拿分数的一项题型，应用题可以培养学生解决问题、分析问题的能力，应用题的解决方法是多种多样的。教师可以鼓励学生多分析，用多种方式去解决应用题。学生想出的解决方法越多，越有助于培养学生独立分析问题的能力，还要思考简单的解决步骤，这样就不会束缚自己的思想，从而思维也得到了锻炼。例如：小红和小明在400米的环形跑道上练习长跑，同一时间同一地点向相同的方向出发，已知小红的速度是8米每秒，小明的速度是10米每秒。那么请问小红跑了几圈以后，小明就可以超过小红一圈？这道题有很多的解答方式，教师可以先指导学生运用普通的解答方式解答问题，接下来要引导学生利用方程去解答问题，从中让学生对比两种解答方法有什么差异或相同之处。从各种角度去寻找不同的解决方式，让学生从不同的解法中获得启发。教师用鼓励的形式去激励学生的动脑能力，在数学的学习中解题的思路有很多种，在答案正确的基础上，学生的思路没有绝对的对与错，教师可以通过引导把学生的思路引到简单的解题方式中，从中也培养了学生的独立思考能力，提升学生对于数学解题的兴趣。通过初中数学中方程的授课，学生对方程有了大概的认识。通过习题的练习，培养了学生独立动脑思考能力及分析问题、解决问题能力，激发了学生对于数学学习的兴趣。用方程的形式解决实际遇到的问题，这种解题方式很高效，这种新形式的解题方法在教学中也许不能立即看出效果，教师要对学生进行长久的训练以及培养，让学生熟记这一解决问题的方法及思路。通过长时间的练习，学生提升了分析问题的能力，养成了推理判断的习惯以及自主解决问题的能力。教师也要随时进行新的授课方法的引进，对自己的授课方式进行总结与完善，从而真正提高学生的课堂效率，达到授课的教学目的。
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二次函数y=ax2+bx+c是抛物线，与X轴没有交点或有一个或两个，如果把二次函数看成是一个关于未知数为X的等于0二次方程就是ax2+bx+c=0，即y为0。当方程有两个解时，二次函数就与X轴有2个交点，有一个解时，就有1个交点,二次函数与X轴没有交点即方程没有实数解。而c就是与y轴交点。一元二次不定式的解是要根据实际而定，要找到对应的y轴的点，最后解出X时要确定好符号，如X2大于4，那x就是大于3或小于-3.
公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi） （780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。