近世代数毕业论文题目
第一题必要性易证，充分性的话考虑n=2的情况，两边左乘a逆右乘b逆即得第二题必要性：如果F为无限域那么F(a)一定是无限域了充分性：已知F为有限域，又因为[F(a):F]=a在F上极小多项式的次数，而F(a)又是代数扩张，所以a在F上极小多项式次数有限，所以F(a)为有限域第三题Z12={1,w,w2,……,w11} 其中w是12次单位根，所以Z12的生成元有四个：w,w5,w7,w11（w2就是w的二次方，等等）。。。。。。。。。剩下题不爱做了。。。。
哈哈哈。。。。去年我近世代数挂了。。。百度知道上我估计无人能解。。。我上次一道数论题都没人解得出。。。。
我是初一的 这还没讲呢 抱歉
近世代数论文研究方向
我的理解是，研究方向，是技术专业背景下，比较具体的研究主题。如：交通运输专业，研究方向可以是交通安全管理、汽车运行品质、驾驶员人脸识别疲劳驾驶研究等等。
如果招生简章没有特别规定，就应该是不管什么研究方向，由考生自选。该校2014研究生招简根据研究方向设置了复试科目： 0701数学070101基础数学008理学院①101思想政治理论②201英语一或203日语③720数学分析④817高等代数《近世代数》或《实变函数》或《复变函数》或《点集拓扑》加试科目：1、《常微分方程》2、《复变函数》17070102计算数学《近世代数》或《概率论》或《实变函数》或《常微分方程》070103概率论与数理统计《概率论》或《实变函数》或《复变函数》或《常微分方程》070104应用数学《常微分方程》或《概率论》或《实变函数》或《复变函数》0701Z1应用密码学《近世代数》或《概率论》或《实变函数》或《复变函数》或《常微分方程》 搜 杭州师范大学点 人才培养点 研究生教育点 研究生招生专业目录
数学专业毕业论文选题方向如下：
1、并行组合数学模型方式研究及初步应用。
2、数学规划在非系统风险投资组合中的应用。
3、金融经济学中的组合数学问题。
4、竞赛数学中的组合恒等式。
5、概率方法在组合数学中的应用。
6、组合数学中的代数方法。
7、组合电器局部放电超高频信号数学模型构建和模式识别研究。
8、概率方法在组合数学中的某些应用。
9、组合投资数学模型发展的研究。
10、高炉炉温组合预报和十字测温数学建模。
11、基于数学形态学-小波分析组合算法的牵引网故障判定方法。
12、证券组合投资的灰色优化数学模型的研究。
13、一些算子在组合数学中的应用。
14、概率方法在组合数学及混合超图染色理论中的应用。
15、竞赛数学中的组合恒等式。
毕业论文（graduation study），按一门课程计，是普通中等专业学校、高等专科学校、本科院校、高等教育自学考试本科及研究生学历专业教育学业的最后一个环节，为对本专业学生集中进行科学研究训练而要求学生在毕业前总结性独立作业、撰写的论文。
1、了解自己感兴趣的课题
能够研究自己感兴趣的内容是一件很幸运的事情。日常学习与翻阅专业文献，可以帮助你更好地找到自己的兴趣点。有了感兴趣的内容，就要付之实践。
首先是查找相关资料，通过知网等工具可以轻松地检索到自己感兴趣内容的相关文献，当然还可以通过百度、谷歌等浏览器以及图书馆等社会资源下载所需文献。有了详细的了解之后，再考虑是否要进行更深层次的研究。
2、明确导师的研究方向
了解导师制定的研究方向和预期目标是确定研究内容的又一行之有效的方法。
首先，应当详细地了解导师的研究方向。其次，如果是导师给出的研究方向，那么一般是可行的；这时我们就要积极与导师沟通，了解导师对于该课题的想法；在进行充分、有效地交流之后，我们就要对导师提出的建议进行认真考虑，可行度较高的话，就可以着手开始搜集资料，为论文完成打好基础。
3、确定研究思路和计划
“书读百遍，其义自见”，通过与导师、学长学姐的沟通，我们可能会对这个课题有一定新的认识，确定了研究方向之后，就要对近几年的文献进行更深的了解。
精读和泛读相结合，同时对论文的主要观点、论证方式进行记录，同时要进行思考研究课题目前存在的问题以及需要改进的地方，形成一个完整的研究计划。
扩展资料：
考虑要素
1、研究的目标。只有目标明确、重点突出，才能保证具体的研究方向，才能排除研究过程中各种因素的干扰。
2、研究的内容。要根据研究目标来确定具体的研究内容，要求全面、详实、周密，研究内容笼统、模糊，甚至把研究目的、意义当作内容，往往使研究进程陷于被动。
3、研究的方法。选题确立后，最重要的莫过于方法。假如对牛弹琴，不看对象地应用方法，错误便在所难免，相反，即便是已研究过的课题，只要采取一个新的视角，采用一种新的方法，也常能得出创新的结论。
世界近代史论文题目有哪些
新罗马帝国的崛起
最直接的，围绕历史发展的主线，由旧民主主义革命发展到新民主主主义革命的历史及其中的演变，这需要对历史主线非常熟悉。或者，对历史细节把握要求高的，围绕一个重大事件，如抗日战争，辛亥革命等，甚至围绕其中具体问题。选题非常多，看你知识储备多少了！
近代风云与中华复兴
浅谈世界近现代史中民族解放运动的多样性 试论近现代史观教育与当代大学生成长的关系 怎样才能搞好高中历更数学之我见 略论地方红色档案资源的利用 中国近现代史教学中的存在问题及反思 以现代化为视角进行世界近现代史教学 浅谈如何上好理工科学生近现代史纲要课 如何在中学历史教学中进行国情教育 现代化史观:构建世界近现代史新的学科体系
世界近代史毕业论文开题报告
开题报告作为毕业论文的开端，是每个毕业生都不可避免的，然而很多人并不知道开题报告该从何下手，下面就让我来讲解一下大学生毕业论文开题报告怎么写吧。
首先，你需要先明白一点，开题报告是为了让你说明一下你为什么要研究的这个论题，并且你选这个论文题目有哪些理论意义和实践意义，(因为我们还是大学生，所以一般都只要求讲述实践意义)，然后通过开题报告来达到一个简洁直观告诉别人你为什么想要研究这个题目。
其次，明白我们需要写什么。
开题报告分为六部分，分别是选题的国内外研究现状及发展趋势，选题的目的与意义，毕业论文拟解决的问题和思路，毕业论文的主要内容以及主要参考文献。其中选题的国内外研究现状及发展趋势又分为三小块，即国内研究现状，国外研究现状以及国内外研究述评。
第三，着手开始收集资料。
就是去知网一类的网站上面去搜集与你论题相关的资料，然后根据他们所研究出的内容和结论，我们自己来进行一个编写，我们学校的要求是按照“该论文拟以...为研究对象，通过...理论，运用...方法，解决了...问题，并提出...建议”这样的格式对每一个研究出的内容进行一个总结。基本上这个在他们的论文摘要中就可以总结出来，没有说要一字一句地把他们的论文看完，国内外研究现状都是可以通过这种方式的。这样子自己编写出来的研究现状查重是不高的，所以可以直接用在论文中。
此外，选题的目的和意义也是可以借鉴跟你同个题目或者是相似论题的人所写的，不过最好还是根据自己的实际需求来写。
希望对你有所帮助，祝好。
1、毕设开题的报告范文
一、 论文题目
数字化坏境下小学美术课程的构建—谈美术项目学习模式的应用
二、课题研究的意义
目前我国小学美术课堂的教学模式一般都是以课堂导入、教师演示、学生创作、教师辅导、学生展示这几个环节进行的。美术课是要满足提高学生的审美能力、通过材料的运用了解艺术的多样形式，对艺术文化的交流与传承、培养学生的创新能力和个体全面发展的需要。单一的教学形式会让美术课局限于创作美术作品，而忽视了它的研究性价值和应用性价值。随着新世纪的到来，人类社会逐步进入信息时代，社会需要创新型的复合人才。在教学改革的进程中，我们越来越深刻地感受到现代信息技术对时代的巨大影响，现代信息技术不仅重塑了我们认识世界的方式，同时也影响了我们的教学方式。数字化教学，已成为目前教学改革前沿中一个重要的科研课题。应用网络技术辅助教学，改变了传统的教学模式及学习方法，网络的普及使教育再一次进入更高的发展阶段，网络环境下的美术教学更具有独特风格，美术教学具有灵活性、多样性、可视性，应用网络教学在培养学生的创新能力方面，具有非常明显的优势。数字化下的网络信息技术促进了美术教育资源的开发和利用，推动了教学内容和教学方法的革新。互联网时代促进了教育理念的进步，促进了教师的发展，促进了学生的学习能力的提高。教育需要与时俱进，作为新时代的教育工作者，我们有责任在教育研究这条路上不断地探索。
三、国内外研究现状
国内外教育学术界的教育理论流派纷呈，美国杰出心理学家约翰·D·布兰思福特等人于1999年出版的《人是如何学习的——大脑、心理、经验及学校》一书中，研究人类对于科学知识的科学认知规律，对教师、学校工作者以及教育政策制定者起到了很好的指导作用。由斯特弗和盖尔主编的《教育中的建构主义》认为新知识的建构是建立在原有知识的基础之上，学习者是在认知、解释、理解世界的过程中建构自己的知识。教育的关注点也从教师的教转移到学生的学，以及认知的形成。
认知心理学创始人奈瑟和认知信息加工理论的倡导者西蒙主张研究自然情境中的认知，强调关注环境对智能的影响。1991由剑桥大学出版的《情景学习：合法的边缘性参与》认为知识是个人与社会或物理情景间的互动产物。注重学习者的参与性。《学习环境的理论基础》中强调学习环境是不同于传统的传授式教学，不是为传统教学中的学习设计的，而是为善于从自己的经验中建构自己的意义的学习者创设的。
“认为学习既不是传输过程也不是接受过程，学习是需要意志的、有意图的、积极的、自觉地、建构的实践，该实践包括互动的意图、行动、活动反思”。《贾斯珀项目》将知识的学习视为一项完整的、真实的任务，在现代计算机互联网技术的支持下，立足课堂、拓展课外、超越课堂，是学生面向真实社会中问题的解决。我国教育观念的更新一直追随着西方的先进理念，以教育信息化带动教育现代化已成为我国教育发展的一项任务。闫寒冰所着《学习过程设计——信息技术与课程整合的视角》一书中探讨了关于教育理念转型的问题，强调教育中心的转变、教育技术的转变，教育的根本目的不是培养学习的机器，而是培养学习者即培养学生如何进行自我学习，其理论基础也是来自于建构主义。
四、存在的问题
为了达到整齐划一的美术教学效果，为了能使课堂有新意，教师都乐忠于把精力放在课件的精？a href="http：//www。xuexila。com/pu/" target="_blank">乐谱鳌⑿畔⒓际醯挠谩⒔萄方诘木心设计。从而忽视了学生的学，忽视了学生对知识的理解、认知规律。学生们是在教师的精心设计下完成学习的。数字化下的信息技术只是作为支持教学的工具，教师不能仅仅依赖于形式上？ldquo；作秀”，如何才能让学生成为学习的主人，需要我们追根溯源的思考美术在人类生活中的意义是什么？如何使学生感受美、热爱美并将美与实际联系起来以解决现实生活中的问题？我们如何能让美术在学生们的学习乃至今后的生活中起到积极的作用？规矩、听话、画面效果漂亮、整洁成了美术教学评价的唯一标准。仅以画面的最终效果作为教学评价，而忽视学生个体在整个学习中的.综合评价，使我们的教学显得有些急功近利。这就要求我们不断探索更为科学的教学模式。数字化学习下有多种教学模式如：数字化一对一学习模式、探究式学习模式、合作式学习模式、网络远程教育模式等。任何一种模式都是独立存在的，彼此间只能成为互补的关系，并不系统。但是计算机网络作为教育技术仅仅对学生的学习和老师的教学起到一个技术支持，换句话说它仅仅是辅助教学的工具。我们不能简单地视其为工具，更值得我们深入探究的是，在计算机网络环境下如何拓展它的价值。而数字化下的项目学习模式是一种综合性的教学模式，目前，我国不断开始接受西方的教育理念，打破传统“填鸭”式的教学。注重学生的主体性、创新性。数字化的项目学习目前已经在我国生根发芽，但只是偏重于文化学科，对于艺术类的美术学科来说还没有一套成熟的可借鉴的经验。美术作为一门最能培养学生创新思维、审美情感的学科，一直处在校本科目的角落里。美术学科的知识从某种意义上来说会涉及到其他学科的知识，如语文、数学、自然科学、音乐等，因此美术是一门综合性的学科。艺术来源于生活，美术学科的生活性、实用性、真实性、综合性往往在传统的美术课堂上很难体现。
五、研究方法及思路
通过问卷调查、座谈等形式，了解目前中小学美术课堂的上课模式及效果，根据调查中反映出来的共性问题，分析解决问题的办法和措施，不断优化教学模式。并选定一个小学进行美术课调研试验，选取部分班级开展数字化下的美术项目学习，作为自变量进行对照研究，通过对实验数据和有关资料进行统计分析，了解在网络环境下开展美术项目教学与传统美术教学的差异，以及开展项目美术教学对学生全面发展的影响。在教学实践研究的基础上，随时积累素材，探索有效措施，总结得失，寻找有效的教学途径，提高学生学习能力。研究项目学习相关着作，设计美术项目学习案例并实施开展教学。
六、论文的创新
此篇论文是以建构主义、实用主义、多元智能、学习环境的理论基础、贾斯珀项目为理论基础，打破以往美术学术着作过分强调学科中心，过分注重美术专业知识和技能。试图探究美术学科与项目学习模式的融合，注重美术学科与学生的生活经验紧密联系，在真实情景的情感体验中进行知识的构建，美术情操的培养，想象力和创造力的提高，以及高级思维的培养。
2、毕设开题的报告范文
一、论文题目
张东荪民主政治思想探析
二、研究方向
中国哲学史
三、论文选题及意义
张东荪，一位由于政治上的原因，湮没在近代哲学史上的政治哲学家。张东荪以其独特的视角，构建了一整套自己的哲学体系，在中国近代哲学史上曾大放光彩。对于张东荪在近代中国哲学史上的地位，现代学者已经有了更明晰的认识。从张东荪整个思想体系来看，是以其哲学思想为起点，以其民主政治思想为终点。在张东荪生活的时代，人们对其民主政治思想的关注程度远胜于对其哲学思想的关注。作为一位一生都以旁观者的视角观察政治，试图宣扬并建立民主政治思想的思想家，张东荪在构建其哲学体系的同时，将其哲学思想阐发为其民主政治思想。随着时间的迁移，学者们发现，在研究 20 世纪中国的哲学思想及政治思想时，张东荪的哲学思想及民主政治思想在其中占有一席之地。近些年来，已经有学者开始关注并研究张东荪的哲学思想与民主政治思想。通过学者们的钻研，学界已经基本明了张东荪哲学思想体系的内容。接下来的工作就是要对其整个思想体系作进一步的挖掘，为进一步了解张东荪民主政治思想打下基础。
张东荪是一位活跃在 20 世纪上半叶的哲学家，政治思想家，但由于时间上作为哲学家的张东荪在 1949 年后就“死”了，而其在政治上又一直作为反面形象等种种原因，现如今人们似乎很少知道这个人了。当我们再翻开历史的卷轴，我们会发现，张东荪先生是那个年代我们绝对不能够忽视的哲学家，思想家，政治活动家。在近现代中国哲学史上“，如果我们说梁启超和陈独秀是中国近代哲学的启蒙运动者，那么张东荪就是中国近代哲学底系统的建立人。”这是当时思想界的共同见解，如当时的学者如青，孙道升，郭湛波和贺麟等人就有明确的论断。张东荪在多元认识论之下提出了一系列认识论主张，其中内在关系说，间接呈现说，非写真说是最为重要的三项。另外张东荪提出了架构论的宇宙论以及主智的，化欲的人生观。认识论，宇宙观和人生观，构成了张东荪独有的哲学体系，这在中国近现代哲学史上是独一无二的。张东荪在近现代中国哲学史的画卷上留下了浓厚的一笔。
1、理论意义或应用前景
要着重说明你为什么要选这个题，写它有没有必要，你选这个题目有什么理论意义和实践意义 。要简洁、直观，很清楚地告诉人家你为什么要定这个，有什么意义。
2、发展趋势
要扣题，要说明进一步探讨这个话题的好处，从自己的条件看可以从哪些方面获得新的突破。有了这样细致的分析与估价，写作者就能确定自己的定位，顺利地进入写作阶段。
总之所写的一定要围绕告诉人家你怎么想到定这个题目，为什么写，有什么意义，有没有必要，有什么作用。这样才能说服人家接受你的想法。
3、研究内容
选题的背景和意义，主要说明所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势。历史背景部分着重说明本课题前人研究过，研究成果如何。国内外研究现状部分说明本课题目前在国内外研究状况，介绍各种观点，比较各种观点的异同，着重说明本课题目前存在的争论焦点，同时说明自己的观点。
意义一定要叙述的清晰并且是有一定新意的其次注意自己所使用的理论，是用什么理论证明你的观点，也要叙述清楚，否则难以有说服力，在做文献综述和国内外研究水平的评价等等也要有翔实的根，这样才能衬托出选题的意义所在研究的目的、意义。
特点
开题报告包括综述、关键技术、可行性分析和时间安排等四个方面 。由于开题报告是用文字体现的论文总构想，因而篇幅不必过大，但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题写清楚。
开题报告一般为表格式，它把要报告的每一项内容转换成相应的栏目，这样做，既避免遗漏；又便于评审者一目了然，把握要点。
开题报告的内容一般包括：题目、理论依据(毕业论文选题的目的与意义、国内外研究现状)、研究方案(研究目标、研究内容、研究方法、研究过程、拟解决的关键问题及创新点)、条件分析(仪器设备、协作单位及分工、人员配置)、课题负责人、起止时间、报告提纲等。
一、研究目的与意义
1、理论意义或应用前景
要着重说明你为什么要选这个题，写它有没有必要，你选这个题目有什么理论意义和实践意义 。要简洁、直观，很清楚地告诉人家你为什么要定这个，有什么意义。
2、发展趋势
要扣题，要说明进一步探讨这个话题的好处，从自己的条件看可以从哪些方面获得新的突破。有了这样细致的分析与估价，写作者就能确定自己的定位，顺利地进入写作阶段。总之所写的一定要围绕告诉人家你怎么想到定这个题目，为什么写，有什么意义，有没有必要，有什么作用。这样才能说服人家接受你的想法。
二、研究内容
选题的背景和意义，主要说明所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势。历史背景部分着重说明本课题前人研究过，研究成果如何。国内外研究现状部分说明本课题目前在国内外研究状况，介绍各种观点，比较各种观点的异同，着重说明本课题目前存在的争论焦点，同时说明自己的观点。
意义一定要叙述的清晰并且是有一定新意的其次注意自己所使用的理论，是用什么理论证明你的观点，也要叙述清楚，否则难以有说服力，在做文献综述和国内外研究水平的评价等等也要有翔实的根，这样才能衬托出选题的意义所在研究的目的、意义。
也就是为什么要研究、研究它有什么价值。这一般可以先从现实需要方面去论述，指出现实当中存在这个问题，需要去研究，去解决，本论文的研究有什么实际作用，然后，再写论文的理论和学术价值。这些都要写得具体一点，有针对性一点，不能漫无边际地空喊口号。
在时间安排上，要充分考虑各个阶段研究内容的相互关系和难易程度。对于指导教师在任务书中规定的时间安排，学生应在开题报告中给予呼应，并最后得到批准。学生在实际操作中，时间安排一般应提前一点，千万别前松后紧，也不能虎头蛇尾，完不成毕业设计（论文）的撰写任务。
主要参考文献。在开题报告中，同样需列出参考文献，这在实际上是介绍了自己的准备情况，表明自己已了解所选课题相关的资料源，证明选题是有理论依据的。在所列的参考文献中，同样应具备不少于2篇的外文文献。
扩展资料
毕业论文的基本教学要求
培养学生综合运用、巩固与扩展所学的基础理论和专业知识，培养学生独立分析、解决实际问题能力、培养学生处理数据和信息的能力。
培养学生正确的理论联系实际的工作作风，严肃认真的科学态度。
培养学生进行社会调查研究；文献资料收集、阅读和整理、使用；提出论点、综合论证、总结写作等基本技能。
参考资料来源：百度百科-毕业论文
近世代数群的应用论文参考文献
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。
定义：设A是一个非空集合,一个从 到A中的映射 称为集合A上的一个二元运算,简称为运算,也称为乘法或加法,记 在f下的像为 或 ,称为a与b的积或和 定义：设G是一个非空集合,且G上有一个乘法" "满足下列条件： 1. ,有 (乘法的结合律) 2. , ,有 (e称为群G的单位元) 3. , ,使 (b称为a的逆元,记作 ) 则称G关于乘法" "构成一个群 注：一个集合上可定义多种乘法,用 表示群,简记作G 设 是一个群,若 ,有 ,则称G为交换群(Abel群),否则称为非交换群(非Abel群) 例：记 为实数域R上的n阶可逆矩阵的全体所成集合,其乘法为矩阵的乘法,则 构成一个非交换群 设 是一个群,G所含元的个数称为群G的阶,记作 ,若$|G|为有限数,则称G为有限群,否则称为无限群 注：若 ,由乘法结合律,n个a的连乘 有意义,记作 ,规定 ,将满足 的最小正整数n称为元a的阶,记作 ,若上述n不存在,则称a的阶无限,记作 例：在集合 中定义运算" "： ,显然, 是群,其中单位元为 , , ,故 定理：设 是群,则G满足消去律： 1.左消去律： ,若 ,则 2.右消去律： ,若 ,则 证明：定义：设 是群,H是G的非空子集,若H关于G中的乘法构成一个群,则称H为G的子群,记作 ,若 ,则称H为G的真子群,记作 注：显然 是 的真子群, 是 的真子群 若 是群,则 和G显然是G的子群,称为G的平凡子群 引理：设 是群, ,则H中的单位元与G中的单位元相同 证明：引理：设 是群, , ,则a在H中的逆元与在G中的逆元相同 证明：定理：设 是群,H为G的非空子集,则下列条件等价： 为G的子群 2. ,有 ,且 3. ,有 证明：定理：设 是群, 为G的一个子群簇,其中I为某个指标集,则 也是G的子群 证明：设 是群,S是群G的非空子集,G中所有包含S的子群的交称为由S生成的子群,记作 ,即 易证 特别： 若 ,则 若 ,则称G是由S生成的,S中的元称为G的生成元,若S是有限集,则称G是有限生成的,否则成G是无限生成的 显然,有限群是有限生成的,但有限生成的群不一定是有限群,例如 是由1生成的无限群 例：有理数集Q关于加法" "构成一个群 不是有限生成的 证：
大学数学论文范文
导语：无论是在学校还是在社会中，大家都写过论文，肯定对各类论文都很熟悉吧，论文是探讨问题进行学术研究的一种手段。怎么写论文才能避免踩雷呢？以下是我收集整理的论文，希望对大家有所帮助。
论文题目： 大学代数知识在互联网络中的应用
摘要： 代数方面的知识是数学工作者的必备基础。本文通过讨论大学代数知识在互联网络对称性研究中的应用，提出大学数学专业学生检验自己对已学代数知识的掌握程度的一种新思路，即思考一些比较前沿的数学问题。
关键词： 代数；对称；自同构
一、引言与基本概念
《高等代数》和《近世代数》是大学数学专业有关代数方面的两门重要课程。前者是大学数学各个专业最重要的主干基础课程之一，后者既是对前者的继续和深入，也是代数方面研究生课程的重要先修课程之一。这两门课程概念众多，内容高度抽象，是数学专业学生公认的难学课程。甚至，很多学生修完《高等代数》之后，就放弃了继续学习《近世代数》。即使对于那些坚持认真学完这两门课程的学生来讲，也未必能做到“不仅知其然，还知其所以然”，而要做到“知其所以然，还要知其不得不然”就更是难上加难了。众所周知，学习数学，不仅逻辑上要搞懂，还要做到真正掌握，学以致用，也就是“学到手”。当然，做课后习题和考试是检验是否学会的一个重要手段。然而，利用所学知识独立地去解决一些比较前沿的数学问题，也是检验我们对于知识理解和掌握程度的一个重要方法。这样做，不仅有助于巩固和加深对所学知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和自学能力。笔者结合自己所从事的教学和科研工作，在这方面做了一些尝试。
互连网络的拓扑结构可以用图来表示。为了提高网络性能，考虑到高对称性图具有许多优良的性质，数学与计算机科学工作者通常建议使用具有高对称性的图来做互联网络的模型。事实上，许多著名的网络，如：超立方体网络、折叠立方体网络、交错群图网络等都具有很强的对称性。而且这些网络的构造都是基于一个重要的代数结构即“群”。它们的对称性也是通过其自同构群在其各个对象(如：顶点集合、边集合等)上作用的传递性来描述的。
下面介绍一些相关的概念。一个图G是一个二元组(V，E)，其中V是一个有限集合，E为由V的若干二元子集组成的集合。称V为G的顶点集合，E为G的边集合。E中的每个二元子集{u，v}称为是图G的连接顶点u与v的一条边。图G的一个自同构f是G的顶点集合V上的一个一一映射(即置换)，使得{u，v}为G的边当且仅当{uf，vf}也为G的边。图G的全体自同构依映射的合成构成一个群，称为G的全自同构群，记作Aut(G)。图G称为是顶点对称的，如对于G的任意两个顶点u与v，存在G的自同构f使得uf=v。图G称为是边对称的，如对于G的任意两条边{u，v}和{x，y}，存在G的自同构f使得{uf，vf}={x，y}。
设n为正整数，令Z2n为有限域Z2={0，1}上的n维线性空间。由《近世代数》知识可知，Z2n的加法群是一个初等交换2群。在Z2n中取出如下n个单位向量：
e1=(1，0，…，0)，e2=(0，1，0，…，0)，en=(0，…，0，1)。
●n维超立方体网络(记作Qn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei，其中1≤i≤n。
●n维折叠立方体网络(记作FQn)是一个以Z2n为顶点集合的图，对于Qn的任意两个顶点u和v，{u，v}是Qn的一条边当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)或者v-u=e1+…+en。
●n维交错群图网络(记作AGn)是一个以n级交错群An为顶点集合的图，对于AGn的任意两个顶点u和v，{u，v}是AGn的一条边当且仅当vu-1=ai或ai-1，这里3≤i≤n，ai=(1，2，i)为一个3轮换。
一个自然的问题是：这三类网络是否是顶点对称的?是否边对称的?但值得我们注意的是，这些问题都可以利用大学所学的代数知识得到完全解决。
二、三类网络的对称性
先来看n维超立方体网络的对称性。
定理一：n维超立方体网络Qn是顶点和边对称的。
证明：对于Z2n中的任一向量x=(x1，…，xn)，如下定义V(Qn)=Z2n上面的一个映射：f(x)：u→u+x，u取遍V(Qn)中所有元素。容易验证f(x)是一个1-1映射。(注：这个映射在《高等代数》中已学过，即所谓的平移映射。)而{u，v}是Qn的一条边，当且仅当v-u=ei(1≤i≤n)，当且仅当vf(x)-uf(x)=ei(1≤i≤n)，当且仅当{v(fx)，u(fx)}是Qn的一条边。所以，f(x)也是Qn的一个自同构。这样，任取V(Qn)中两个顶点u和v，则uf(v-u)=v。从而说明Qn是顶点对称的。
下面证明Qn是边对称的。只需证明：对于Qn的任一条边{u，v}，都存在Qn的自同构g使得{ug，vg}={0，e1}，其中0为Z2n中的零向量。事实上，{uf(-u)，vf(-u)}={0，v-u}，其中v-u=ei(1≤i≤n)。显然，e1，…，ei-1，ei，ei+1，…，en和ei，…，ei-1，e1，ei+1，…，en是Z2n的两组基向量。由《高等代数》知识可知存在Z2n上的可逆线性变换t使得t对换e1和ei而不动其余向量。此时易见，若{a，b}是Qn的一条边，则a-b=ej(1≤j≤n)。若j=1，则at-bt=ei；若j=i，则at-bt=e1；若j≠1，i，则at-bt=ej；所以{at，bt}也是Qn的一条边。由定义可知，t是Qn的一个自同构。进一步，{0t，(v-u)t}={0，e1}，即{uf(-u)t，vf(-u)t}={0，e1}。结论得证。
利用和定理一相似的办法，我们进一步可以得到如下定理。
定理二：n维折叠立方体网络FQn是顶点和边对称的。
最后，来决定n维交错群图网络的对称性。
定理三：n维交错群图网络AGn是顶点和边对称的。
证明：首先，来证明AGn是顶点对称的。给定An中的一个元素g，如下定义一个映射：R(g)：x→xg，其中x取遍An中所有元素。容易验证R(g)为AGn顶点集合上上的一个1-1映射。(注：这个映射在有限群论中是一个十分重要的'映射，即所谓的右乘变换。)设{u，v}是AGn的一条边，则vu-1=ai或ai-1，这里1≤i≤n。易见，(vg)(ug)-1=vu-1。所以，{vR(g)，uR(g)}是AGn的一条边。因此，R(g)是AGn的一个自同构。这样，对于AGn的任意两个顶点u和v，有uR(g)=v，这里g=u-1v。这说明AGn是顶点对称的。
下面来证明AGn是边对称的。只需证明对于AGn的任一条边{u，v}，都存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，其中e为An中的单位元。给定对称群Sn中的一个元素g，如下定义一个映射：C(g)：x→g-1xg，其中x取遍An中所有元素。由《近世代数》知识可知，交错群An是对称群Sn的正规子群。容易验证C(g)是AGn的顶点集合上的一个1-1映射。(注：这个映射其实就是把An中任一元素x变为它在g下的共轭。这也是有限群论中一个十分常用的映射。)令x=(1，2)，y(j)=(3，j)，j=3，…，n。下面证明C(x)和C(y(j))都是AGn的自通构。取{u，v}为AGn的任一条边，则vu-1=ai或ai-1。从而，vC(x)(u-1)C(x)=(x-1vx)(x-1u-1x)=x-(1vu-1)x=ai-1或ai。
因此，{uC(x)，vC(x)}也是AGn的一条边。从而说明C(x)是AGn的自通构。同理，若j=i，有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=a3-1或a3；若j≠i，则有vC(y(j))(u-1)C(y(j))=ai-1或ai。这说明{uC(y(j))，vC(y(j))}也是AGn的一条边，从而C(y(j))是AGn的自通构。现在，对于AGn的任一条边{u，v}，令g=u-1，则{uR(g)，vR(g)}={e，vu-1}={e，ai}或{e，ai-1}。若i=3，则{e，a3-1}C(x)={e，a3}。而若i≠3，则{e，ai}C(y(j))={e，a3}而{e，ai-1}C(y(j))={e，a3-1}。由此可见，总存在AGn的自同构g使得{ug，vg}={e，a3}，结论得证。
至此，完全决定了这三类网络的对称性。不难看出，除了必要的图论概念外，我们的证明主要利用了《高等代数》和《近世代数》的知识。做为上述问题的继续和深入，有兴趣的同学还可以考虑以下问题：
1、这些网络是否具有更强的对称性?比如：弧对称性?距离对称性?
2、完全决定这些网络的全自同构群。
实际上，利用与上面证明相同的思路，结合对图的局部结构的分析，利用一些组合技巧，这些问题也可以得到解决。
三、小结
大学所学代数知识在数学领域中的许多学科、乃至其他领域都有重要的应用。笔者认为任课教师可以根据自己所熟悉的科研领域，选取一些与大学代数知识有紧密联系的前沿数学问题，引导一些学有余力的学生开展相关研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的课题组。当然，教师要给予必要的指导，比如讲解相关背景知识、必要的概念和方法等。指导学生从相对简单的问题入手，循序渐进，由易到难，逐步加深对代数学知识的系统理解，积累一些经验，为考虑进一步的问题奠定基础。
结束语
本文所提到的利用《高等代数》和《近世代数》的知识来研究网络的对称性就是笔者在教学工作中曾做过的一些尝试。在该方面，笔者指导完成了由三名大三学生参加的国家级大学生创新实验项目一项。这样以来，学生在学习经典数学知识的同时，也可以思考一些比较前沿的数学问题；学生在巩固已学知识的同时，也可以激发其学习兴趣，训练学生的逻辑思维，培养学生的创新思维，以及独立发现问题和解决问题的能力。
【摘要】
随着数学文化的普及与应用，学术界开始重视对于数学文化的相关内容进行挖掘，这其中数学史在阶段我国大学数学教学之中，具有着重要的意义。从实现大学数学皎月的两种现象进行分析，在揭示数学本质的基础上，着重分析数学史在我国大学数学教育之中的重要作用，强调在数学教学之中利用数学史进行启发式教学活动。本文从数学史的角度，对于大学数学教学进行全面的分析，从中分析出适合我国大学数学教育的主要意义与作用。
【关键词】
数学史；大学数学教育；作用
一、引言
数学史是数学文化的一个重要分支，研究数学教学的重要部分，其主要的研究内容与数学的历史与发展现状，是一门具有多学科背景的综合性学科，其中不仅仅有具体的数学内容，同时也包含着历史学、哲学、宗教、人文社科等多学科内容。这一科目，距今已经有二千年的历史了。其主要的研究内容有以下几个方面：
第一，数学史研究方法论的相关问题；
第二，数学的发展史；
第三，数学史各个分科的历史；
第四，从国别、民族、区域的角度进行比较研究；
第五，不同时期的断代史；
第六、数学内在思想的流变与发展历史；
第七，数学家的相关传记；
第八，数学史研究之中的文献；
第九，数学教育史；
第十，数学在发展之中与其他学科之间的关系。
二、数学史是在大学数学教学之中的作用
数学史作为数学文化的重要分支，对于大学数学教学来说，有着重要的作用。利用数学史进行教学活动，由于激发学生的学习兴趣，锻炼学生的思维习惯，强化数学教学的有效性。
笔者根据自身的教学经验，进行了如下总结：首先，激发学生的学习兴趣，在大学数学的教学之中应用数学史，进行课堂教学互动，可以最大限度的弱化学生在学习之中的困难，将原本枯燥、抽象的数学定义，转变为简单易懂的生动的事例，具有一定的指导意义，也更便于学生理解。
从学生接受性的角度来讲，数学史促进了学生的接受心理，帮助学生对于数学概念形成了自我认知，促进了学生对于知识的透彻掌握，激发了学生兴趣的产生。其次，锻炼学生的创新思维习惯，数学史实际意义上来说，有很多讲授数学家在创新思维研发新的理论的故事，这些故事从很多方面对于当代大学生据有启迪作用。例如数学家哈密顿格拉斯曼以及凯利提出的不同于普通代数的具有某种结构的规律的代数的方法代开了抽象代数的研究时代。用减弱或者勾去普通代数的各种各样的假设，或者将其中一个或者多个假定代之一其他的假定，就有更多的体系可以被研究出来。这种实例，实际上让学生从更为根本的角度对于自己所学的代数的思想进行了了解，对于知识的来龙去脉也有了一定的认识，针对这些过程，学生更容易产生研究新问题的思路与方法。
再次，认识数学在社会生活之中的广泛应用，在以往的大学数学教学之中，数学学科往往是作为一门孤立的学科而存在的，其研究往往是形而上的研究过程，人们对于数学的理解也是枯燥的，是很难真正了解到其内涵的。但是数学史的应用，与其在大学数学教学之中的应用，可以让学生了解到更多的在社会生活之中的数学，在数学的教学之中使得原本枯燥的理论更加贴近生活，更加具有真实性，将原本孤立的学科，拉入到了日常生活之中。从这一点上来说，数学史使得数学更加符合人类科学的特征。
三、数学史在大学数学教学之中的应用
第一，在课堂教学之中融入数学史，以往枯燥的数学课堂教学，学生除了记笔记验算，推导以外，只能听老师讲课，课堂内容显得比较生硬，教师针对数学史的作用，可以在教学之中融入数学史，在教学活动之中将数学家的个人传记等具有生动的故事性的数学史内容，进行讲解，提高学生对于课堂教学的兴趣。例如一元微积分学的相关概念，学生在普通的课堂之中，很难做到真正意义的掌握，而更具教学大纲，多数老师的教学设计是：极限——导数与微分——不定积分——定积分。这种传统的教学方式虽然比较呼和学生的一般认知规律，但是却忽视了其产生与又来，教师在教学之中可穿插的讲授拗断——莱布尼茨公式的又来，将微积分艰难的发展史以故事的形式呈现出来，更加便于学生理解的同时也激发了学生的学习热情。
第二，利用数学方法论进行教学，数学方法论是数学史的之中的有机组成部分，而方法论的探索对于大学数学教学来说，也具有着重要的意义，例如在极限理论的课堂教学来说，除了单纯的对于极限的相关概念进行讲解的基础上，也可以将第二次数学危机以及古希腊善跑英雄阿基里斯永远追不上乌龟等相关故事，融入到课堂之中。这种让学生带着疑问的听课方式，更进一步促进了学生对于教学内容的兴趣，全面的促进了学生在理解之中自然而然的形成了理解极限的形成思想，并逐渐的享受自身与古代数学家的共鸣，从而促进自身对于数学的理解，提高学生的学习兴趣，进一步提高课堂的教学效果。所以，在大学数学课堂教学之中，融入数学史的相关内容，不仅具有积极的促进作用，同时在实践之中，也具有一定的可操作性。这种教学模式与方法对于提高我国大学数学教学的质量有着积极的推动作用，同时也更进一步推动了大学数学教学改革的进行。
作为工科类大学公共课的一种，高等数学在学生思维训练上的培养、训练数学思维等上发挥着重要的做用。进入新世纪后素质教育思想被人们越来越重视，如果还使用传统的教育教学方法，会让学生失去学习高等数学的积极性和兴趣。以现教育技术为基础的数学建模，在实际问题和理论之间架起沟通的桥梁。在实际教学的过程中，高数老师以课后实验着手，在高等数学教学中融入数学建模思想，使用数学建模解决实际问题。
一、高等数学教学的现状
(一)教学观念陈旧化
就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考能力以及逻辑思维能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。作为一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐的失去学习的兴趣和动力。
(二)教学方法传统化
教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接影响着学生的学习成绩。一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的能力进一步下降。这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。
二、建模在高等数学教学中的作用
对学生的想象力、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的过程中，数学建模发挥着重要的作用。最近几年，国内出现很多以数学建模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。虽然国内高等院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。如今，高等院校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体则是高等数学。
高等数学作为工科类学生的一门基础课，由于其必修课的性质，把数学建模引入高等数学课堂中具有较广的影响力。把数学建模思想渗入高等数学教学中，不仅能让数学知识的本来面貌得以还原，更让学生在日常中应用数学知识的能力得到很好的培养。数学建模要求学生在简化、抽象、翻译部分现实世界信息的过程中使用数学的语言以及工具，把内在的联系使用图形、表格等方式表现出来，以便于提升学生的表达能力。在实际的学习数学建模之后，需要检验现实的信息，确定最后的结果是否正确，通过这一过程中的锻炼，学生在分析问题的过程中可以主动地、客观的辩证的运用数学方法，最终得出解决问题的最好方法。因此，在高等数学教学中引入数学建模思想具有重要的意义。
三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体措施
(一)在公式中使用建模思想
在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容之一。为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更容易，还让课堂氛围更活跃。为了让学生对公式中使用建模思想理解的更透彻，老师还应该结合实例开展教学。
(二)讲解习题的时候使用数学模型的方式
课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中怎样使用数学建模。完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。
(三)组织学生积极参加数学建模竞赛
一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。在日常生活中使用数学建模解决问题，让学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。
四、结束语
高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。