成分得分系数矩阵论文参考文献
结果分析
（1）KMO与巴特利特球形检验
由表可以知，巴特利特球形检验的统计量值为，相应的概率P值为0。在显著性水平下，应拒绝原假设，认为相关系数矩阵与单位矩阵存在显著差异。同时KMO值为，根据Kaiser给出的度量KMO的标椎可知问卷题项适合做因子分析。
（2）公因子方差
提取值表示每个变量被公因子表达的多少，一般认为，大于就说明变量被公因子很好地表达。由表可以看出，绝大多数变量的提取值大于，变量能被公因子很好地表达。
（3）解释总方差
提取方法：主成分分析法
（4）旋转成分矩阵
提取方法：主成分分析法
（5）计算因子得分:因子分析是基于研究各题项之间的内部依赖关系，将一些信息重叠、相关性高的变量指标归结为几个不相关的综合因子的多重统计方法。通过得出的成分得分系数矩阵，见表，可得到、、、、公因子的得分表达式为：
其中、、、、公因子分别代表基础技能，创新能力，资源运用，合作精神，创新思维。
论文的参考文献是按照论文引用参考文献的顺序排列的，这一点很重要。因为论文中的引文需要标注，标注的时候需要和参考文献联系起来，所以参考文献一定要按顺序排列，因为如果不标注引文，就会被计入整个论文的重复率，严重影响论文的重复率。参考文献在我们的毕业论文当中是占有相当重要成分的组成部分，它不仅能为我们论文中的论点提供强有力的论据，同时也可以精练文字节约篇幅，增加论文的信息量，而且还具有很高的信息价值。 参考文献的格式是什么样的？论文中的参考文献有一定的格式，但要明确列出序号、作者姓名、期刊名称、出版年份和字号、专著序号等。有些参考文献是论文，有些参考文献是书籍，有些参考文献是期刊。所以对不同格式的参考文献有不同的要求，你需要根据论文写作提纲中参考文献格式设置的要求来设置。参考文献设置好后，此时将整篇论文的引用部分插入到注释中，整篇论文此时完成。最后一步是检查引用部分是否全部插入评论，然后再次检查整篇文章的格式。如果没有问题，那么你的论文就完成了。
有几个问题要确定一下，1 数据搜集时候是否有问题，很明显这是问卷调查，那么被调查人能否有能力回答专业问题？被调查人的选择是否合理？（得分说白了，是有几个被调查人同时选择这几个问题，不靠谱人的会同时选择自己有钱和勤工俭学，那你说这个人选择有意义吗？）2图片中貌似不是spss的输出结果？同时行的标题1,2,3,4,5不会是问卷中五个影响程度吧？3 假设结果是正确的那没几个大于的，估计就算旋转矩阵也没几个大于的4正题，先做一下KMO和Bartlett的检验，KMO要大于，Bartlett的检验要小于这样才可以做因子分析5 因子分析本身就是降维，说白点把几个问题糅杂在一起，应该是问题与问题之间的关系程度，文件输入的时候应该是1号被采访者在这几个问题上分别选择了什么选项，分别对应多少分，以此类推，而不是直接用网站之类的汇总好的数据，因为这份数据是在基础数据上处理过的，而你需要的是基础数据。6 不知道你有多少个问题，问题越多，问题设计不合理，得分往往比较低。
矩阵分析小论文格式
硕士研究生小论文写作方法详解
硕士研究生小论文怎么写，写作的方法是什么呢，下面我为大家分享硕士研究生小论文写作方法详解，仅供参考！
首先我们来看看硕士小论文的格式和主要写作内容：
论文题目：空一行，2黑，一般不超过20字，不用不常见的英文缩写。小5楷。
作者（作者详细单位，省市邮编）。小5宋
摘要：摘要内容。概括地陈述论文研究的目的、方法、结果、结论，要求200~300字。应排除本学科领域已成为常识的内容；不要把应在引言中出现的内容写入摘要，不引用参考文献；不要对论文内容作诠释和评论。不得简单重复题名中已有的信息。用第三人称，不使用“本文”、“作者”等作为主语。使用规范化的名词术语，新术语或尚无合适的汉文术语的，可用原文或译出后加括号注明。除了无法变通之外，一般不用数学公式和化学结构式，不出现插图、表格。缩略语、略称、代号，除了相邻专业的读者也能清楚理解的以外，在首次出现时必须加括号说明。结构严谨，表达简明，语义确切。
关键词：关键词1;关键词2;关键词3;关键词4
Title：第一个词首字母应大写；4号Times New Roman,应与中文题名含义一致，不超过12个实词。
Name：多个作者署名用逗号隔开，姓氏字母大写，名字的首字母大写；小5号Times New Roman.（Department, City, City Zip Code, China;）
Abstract:英文摘要应是中文摘要的转译，所以只要简洁、准确地逐段将文意译出即可，要求250单词左右。时态用一般过去时，采用被动语态或原型动词开头。避免用阿拉伯数字作首词，不出现缩写。尽量使用短句。
Key words:keyword1; keyword2; keyword3; keyword4
引言内容：引言作为论文的开场白，应以简短的篇幅介绍论文的写作背景和目的，以及相关领域内前人所做的工作和研究概况，说明本研究与前人工作的关系，目前研究的热点、存在的问题及作者工作的意义。
1、开门见山，不绕圈子。避免大篇幅地讲述历史渊源和立题研究过程。
2、言简意赅，突出重点。不应过多叙述同行熟知的及教科书中的常识性内容，确有必要提及他人的研究成果和基本原理时，只需以引用参考文献的形势标出即可。在引言中提示本文的工作和观点时，意思应明确，语言应简练。
3、引言的内容不要与摘要雷同，也不是摘要的注释。
4、引言要简短，最好不要分段论述，不要插图、列表和数学公式。
正文：5宋，首行缩进2字符。一级分段标题， 4号仿宋。
1 量的书写规则
正文内容：正文、图表中的变量都要用斜体字母，对于矢量和张量使用黑斜体，只有pH采用正体；使用新标准规定的符号；量的符号为单个拉丁字母或希腊字母；不能把量符号作为纯数使用；不能把化学符号作为量符号使用，代表物质的符号表示成右下标，具体物质的符号及其状态等置于与主符号齐线的圆括号中。
二级分段标题， 5黑，固定行距15磅，段前段后3磅注意区分量的下标字母的正斜体：凡量符号和代表变动性数字及坐标轴的字母作下标，采用斜体字母。
二级分段标题， 5号黑加粗。正文中引用参考文献的标注方法，在引用处对引用的文献，按它们在论着中出现的先后用阿拉伯数字连续排序，将序号置于方括号内，并视具体情况把序号作为上角标或作为语句的组成部分。
单位的书写规则
正文内容。单位符号无例外的`采用正体字母。注意区分单位符号的大小写：一般单位符号为小写体，来源于人名的单位符号首字母大写。体积单位升的符号为大写L.
三级分段标题， 5号宋。
表格的规范化
正文内容。表格的设计应该科学、明确、简洁，具有自明性。表格应采用三线表，项目栏不宜过繁，小表宽度小于 cm,大表宽度为12~375px .表必须有中英文表序、表题。表中顶线与栏目线之间的部分叫项目栏，底线与栏目线之间的部分叫表身。表身中数字一般不带单位，百分数也不带百分号，应把单位符号和百分号等归并在栏目中。如果表中栏目中单位均相同，则可把共同的单位提出来标示在表格顶线上方的右端（不加“单位”二字）。表身中同一栏各行的数值应以个位（或小数点），且有效位数相同。上下左右相邻栏内的文字或数字相同时，应重复写出。
2 图的规范化
图中文字均为小5号字；图线条磅数应在磅。4号黑，单倍行距，参考文献要求8个以上，正文中未引用的不列出。正文内容。插图尽可能不用彩色图。小图宽度小于 cm,大图宽度为12~375px .图必须有中英文图序、图题。函数图只在靠近坐标线处残留一小段标值短线，其余部分省略。加注坐标所代表的量及单位（如t/s）。标值排印在坐标外侧，紧靠标值短线的地方；标值的有效数字为3位。图中量的意义要在正文中加以解释。若有图注，靠近放在图下部，图序、图题的上方。
3 数学符号和数学式的编排规范
变量变动附标及函数用斜体字母表示。点、线段及弧用斜体字母表示。在特定场合中视为常数的参数也用斜体字母表示。对具有特殊定义的函数和值不变的数学常数用正体字母表示。具有特殊定义的算子也用正体字母表示。矩阵符号用大写的黑斜体字母表示，矩阵元素用白斜体字母表示。
公式及公式中的符号说明尽量接排以节省版面。把带有复杂上角标的指数函数写成。公式的主体应排在同一水平线上；繁分式的主辅线要分清。长公式在运算符号后回行；长分式转行时，先将分母写成负幂指数的形式，然后转行；矩阵和行列式不能转行。矩阵元素包含式子时，每一列应以中心线上下对齐，行要左右排齐；元素为单个字母或数字时，每列应使正负号对齐。对角矩阵中对角元素所在的列应明显区分，不能上下重叠。
简单的和常识性的运算公式和推导过程不要列写。
4 结论
小5宋或Times New Roman, 3个作者以上只列出前3个，后加用“等”代替，英文用“et al.”.作者的姓在前，名在后正文内容。结论不应是正文中各段小结的简单重复，它应以正文中的实验或考察得到的现象、数据的阐述分析为依据，完整、准确、简洁地指出以下内容：1）由对研究对象进行考察或实验得到的结果所揭示的原理及其普遍性；2）研究中有无发现例外或本论文尚难以解释和解决的问题；3）与先前发表过的研究工作的异同；4）本文在理论上和实用上的意义及价值；5）进一步深入研究本课题的建议。
参考文献：
[1]期刊文章论文集中的析出文献作者。 文献题名[J].刊名，出版年，卷（期）：xxx-xxx （起止页码）。
[2]论文集作者。 析出文献题名[A].论文集名[C].出版地，出版年。
[3] 作者。书名[M].版本（第一版不写）。出版地：出版者，出版年。
[4]学位论文作者。文献题名[D].保存地点：保存单位，出版年
[5] 作者。 文献题名[R].报告题名及编号，出版年。
[6]科技报告作者。 文献题名[EB/OL].电子文献的出处或可获得地址，发表或更新日期/引用日期。
[7]电子文献专利所有者。专利题名[P].专利国别：专利号，出版日期。
[8]专着、论文集、学位论文、报告作者。文献题名[N].报纸名，出版日期（版次）
[9]报纸文章标准编号，标准名称[S]
[10]各种未定义类型的文献作者。文献题名[Z].出版地：出版者，出版年
小论文的格式应具备以下格式：
1、题目：应简洁、明确、有概括性。
2、摘要：要有高度的概括力。
3、关键词：从论文标题或正文中挑选。
4、目录：写出目录。
5、正文：包括前言、本论、结论三个部分。
6、结论是毕业论文的收尾部分。
7、谢辞：简述自己通过做毕业论文的体会。
8、参考文献。
注意事项如下：
1、题目：应简洁、明确、有概括性，字数不宜超过20个字。
2、摘要：要有高度的概括力，语言精练、明确，中文摘要约100—200字。
3、关键词：从论文标题或正文中挑选3～5个最能表达主要内容的词作为关键词。
4、目录：写出目录，标明页码。
5、正文：专科毕业论文正文字数一般应在3000字以上。毕业论文正文；包括前言、本论、结论三个部分。前言（引言）是论文的开头部分，主要说明论文写作的目的、现实意义、对所研究问题的认识，并提出论文的中心论点等。前言要写得简明扼要，篇幅不要太长。
6、本论是毕业论文的主体，包括研究内容与方法、实验材料、实验结果与分析（讨论）等。在本部分要运用各方面的研究方法和实验结果，分析问题，论证观点，尽量反映出自己的科研能力和学术水平。
7、结论是毕业论文的收尾部分，是围绕本论所作的结束语。其基本的要点就是总结全文，加深题意。
8、谢辞：简述自己通过做毕业论文的体会，并应对指导教师和协助完成论文的有关人员表示谢意。
小论文即论文。
论文是一个汉语词语，拼音是lùn wén，古典文学常见论文一词，谓交谈辞章或交流思想。
当代，论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，简称之为论文。它既是探讨问题进行学术研究的一种手段，又是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。它包括学年论文、毕业论文、学位论文、科技论文、成果论文等。
具体的范文模板链接：
小论文格式模板
在学习和工作中，大家都不可避免地会接触到论文吧，论文是进行各个学术领域研究和描述学术研究成果的一种说理文章。那么问题来了，到底应如何写一篇优秀的论文呢？以下是我为大家整理的小论文格式模板，希望能够帮助到大家。
小论文格式要求
一、学生要严格按照论文题目、作者及学号、单位、指导教师、摘要、关键词、正文、主要参考文献。
二、字体、字号规定如下：题目（黑体小2号居中）；作者、单位（宋体4号）；指导教师及其姓名（楷体4号间隔3空）；摘要、关键词（黑体5号）；摘要内容、关键词内容（楷体5号）；参考文献（黑体5号）、参考文献内容（宋体5号）；正文内容（宋体小4号），一级标题（黑体小4号），二级标题（小标宋小4号）。
三、论文的标题层次采用阿拉伯数字分级编号。如：一级标题1，2级标题，三级标题。编号左起顶格书写。
四、中文摘要150字左右，关键词3－7个。
五、参考文献只列文中引用的公开发表的文献（未公开出版的用脚注说明），按文中出现的先后次序列出。其排列格式如下：
专著：作者名（包括前三位）、书名、出版社、出版年。
论文集：作者名（包括前三位）、文题、编著者、书名、出版社、出版年。 刊物：作者名（包括前三位）、文名、刊物名称、期（卷）。
如：
[1] 盛宝怀. Ba空间中Kantorovich算子的饱和性. 数学杂志,1992,12(2):146-154.
[2] Wu Garidi. The Jackson theorem in Ba spaces. Approx. theory ＆ Appl.,1996,12(2):60-69.
[3] 孟伯秦. 内插空间理论及其应用．内蒙古人民出版社, 2001, 183-192.
六、用蒙文撰写的论文的题目、单位、作者、指导教师、摘要、关键词必须用蒙文汉两种语言表达。
七、毕业设计（创作）要求录入作品名称（题目）、单位、姓名、指导教师、毕业设计报告书。
小论文格式模板
内蒙古自治区科技人才地域分布差异分析
××× 学号
数学科学学院 数学与应用数学专业 20xx级汉班
指导教师 ×××
摘 要 科技人才是经济发展、社会进步、文化繁荣的先决条件和制约因素，本文根据内蒙古自治区xxxx年科技人才调查统计的数据，对内蒙古地区人才分布现状、差异及形成差异的原因和今后发展对策等方面进行了初步探讨.
关键词 内蒙古自治区、科技人才、地域差异、人才优势
内蒙古自治区位于祖国的北疆，地文人稀，交通不便，自然条件和自然资源复杂多样，在这片土地上设有十二个盟市级行政单位，其中含有四个市八个盟，首府是呼和浩特[1]．
1内蒙古科技人才地域分布差异
内蒙古各盟（市）科技人才地域分布差异
人才数量差异
内蒙古自治区自然资源丰富，但缺乏与之相适应的人才资源. 因此人才资源急需解决[2]. 解决的办法就是引进人才的同时，切实加强本地区的人才开发培养工作.
人才地域结构差异
（正文部分略）
2内蒙古科技人才发展战略
一方面要适当增加物质力量对科技事业的支持，加强教育投资，发送办学条件，抓好师资队伍建设，提高教师待遇，减少教育人才外流；另一方面要深化教育体制改革，提高教育质量.
本文在写作过程中得到了XXX老师多次精心指导，在此表示感谢.(本行可以不写)
参考文献：
[1] 盛宝怀. Ba空间中Kantorovich算子的饱和性. 数学杂志, 1992, 12(2): 146-154.
[2] Wu Garidi. The Jackson theorem in Ba spaces. Approx. theory ＆ Appl.,1996,12(2):60-69.
[3] 孟伯秦. 内插空间理论及其应用．呼和浩特：内蒙古人民出版社, 2001, 183-192.
随着社会的进步，时代的发展，翻译活动越来越频繁，翻译领域也因语体风格不同分工越来越细。科技语体是适应科学技术内容、范围和交际需要而形成的言语体式，具有准确、简洁、客观、严谨等风格特点，其功能是准确地记述自然、社会及人类思维现象，严密地论证其内在规律，以此为自然科学和社会科学的发展、传播服务，进而起着服务于社会进步，生产力发展的作用。本文将对科技文体的特征及翻译方法问题展开探讨。
一、科技文体的特点
（一）准确性
科技文体的第一个本质特点是准确性。科技文章描述客观事实或真理，因而必须尽可能地避免任何误解。科技语言中包含大量基础科学词汇和专业术语。今天的世界，科学和技术主要通过英语进行国际交流。英语的科学词汇和技术术语在国际上由标准化组织和有关国际学会厘定、审核公布，因而赋予了这些科学词汇和术语以国际性。英译汉的科技语体的文章，要通过查询专业技术词典、文献资料或者基于某个领域约定俗成找到与这些英语术语严格对应的汉语术语，才能做到表达准确。
在科技英语文体中，有大量的一词多意的词汇。这些词貌似简单，其意义却与其在日常英语中的意思不同，或者依据其所用于的不同学科专业而不同。对这些词的翻译应根据其语境。如“carrier”一词，在物理学中意思是“载体”，在医学上为“带菌者”。
（二）简洁性
作为一种信息和交际文体，科技文章应以最简短的文字传递事实和真理，避免使用空洞和浮华的词语，以利于信息准确和高效的传递。由于传递信息是科技文章的首要任务，由于传递信息是科技文章的首要任务，一篇科技文章中所包含的信息量就成为衡量科技文章的重要标准，也就是说，科技文章必须以尽可能少的文字传递尽可能多的信息。在科技英语中，有些表达方式可以起到简洁的作用。例如：
例1： S1：Loss of efficiency in the boiler will be caused if heat is dissipated through the walls of the combustion chamber。
S2：Loss of efficiency in the boiler will be caused by the dissipation of heat through the walls of the combustion chamber。
在上述例子中，第二句使用了名词化结构将第一个句子（复合句）转换成简单句，简化了句子结构。通过抽象名词“dissipation ”及其构成的介词词组，表达明显地取得了简练、凝重和浓缩的效果。抽象名词的使用还表明科技语体借助于抽象思维的逻辑性和概念化。
（三）客观性
科技文章主要描述客观事实，自然定律和进行理论演义。科技文章的目的旨在客观的传递信息，因而客观性是科技文体的一个重要特征。据国外语言学家统计，科技英语中的动词至少有1/3使用被动语态，原因是科技英语描述的主体往往是客观的事物，不涉及有关的人。被动语态的使用可以突出动作的对象，突出所要论证及说明的主旨。
例2：These symptoms are caused by “transient is—chemic attacks（TIA's）”，or “little strokes”。
例3：All these factors can be expressed as complex mathematical equations which can be solved by a computer to give the optimum equipment minimum cost。
以上两例把“symptoms” 和 “factors” 放在主语的突出地位，使读者立即注意到句子所要讨论的对象是这些“症状”的原因，这些“因素”的表示方法。
（四）严密性
科技文章的另一个重要特征是严密性，这一点可以从文章的连贯性和逻辑性上体现出来。科技文章使
用很多的衔接手段达到整体的连贯。科技文章严密的逻辑主要体现在严密的推理、判断以及各语言成分之间紧密的内在关系来体现的。在翻译中，译者必须具备较强的衔接和连贯意识，妥善处理句子或句群间的逻辑关系，唯有如此，才能产生高质量的译文。
二、以科技文体特征为视点的英汉功能翻译法
（一）词汇层面
1、词义选择
例4：（1） Energy will operate some changes under this temperature。 （in physics）
这样的温度将会引起一些能量变化。
（2）The computer can operate only according to instructions。 （computer science）
电脑只能按指令运行。
（3）Storage cells can be used to operate automobiles。 （automobile engineering）
蓄电磁可用来发动汽车。
（4）The doctor decided to operate on him immediately。 （medicine）
医生决定马上给他动手术。
从以上句子我们可以看出，“operate”一词在不同的句子中有不同的含义。这是因为其所用于的学科领域和与其搭配的词汇不同，即语境不同。在第1句中， 因为句子的其他部分暗示这是一个物理概念，而且与“changes（变化）搭配，operate” 译为 “引起”比较合适。第2句中，“operate”用于计算机领域，与“instructions（指令）”搭配，译为“运行”。在第3、第4句中，“operate”分别用于车辆工程和医学领域，译为“发动”和“动手术”。对于这种一词多义词的翻译，一定要根据语境进行准确的词义选择。
2、词义引申
例5：The adjustment screw has stops at both sides。
译文：调整螺钉的两端没有定位块。
分析：“stop”本来的意思是“停止、阻止”。考虑到专业语境，在本句中，“stop”指某种机械部件，它能阻止两个部件间的'相对运动。在此采用引申的翻译方法，将其译为“定位块”。
（二）逻辑层面
1、增加逻辑衔接词
例6：There is a difference between science and technology。 Science is a method of answering theoretical questions; technology is a method of solving practical problems。 Science has to do with discovering the facts and relationships between observable phenomena in nature and with establishing theories that serve to organize these facts and relationships; technology has to do with tools， techniques， and procedures for implementing the findings of science。 Another distinction between science and technology has to do with the process in each。
译文：科学与技术之间有区别。首先，科学是……而技术是……其次，科学……而技术……最后，……
分析：原文是典型的演绎型段落，第 1句是主题句，指出“科学与技术之间有区别”。然后从三个方面解释了这一区别。本段是描述性修辞，使用的修辞手段有“比较和对照”。原文对“science”、“technology”以及“difference”三个核心词的重复，对文章的连贯起到了重要作用。而且原文中的第2、第3、第4 句存在着隐性的逻辑关系，即并列关系。因此在翻译过程中，在展开部分增加了逻辑连接词“首先”、“其次”、“最后”，使隐性的逻辑关系显化。这样的译文能使文章的层次清晰。
2、重新安排信息
例7：We think it is often possible to obtain a more pure precipitate by redissolving the the precipitate， having washed it as free as possible from soluble impurities， and reprecipitating。
译文：我们认为应该首先尽可能地将沉淀物中的可溶性杂质洗去， 然后再次将沉淀物溶解， 溶解之后再进行沉淀。这样常常能够获得较纯的沉淀物。
分析：本段中，“by”后面有三个分词短语，我们应该注意这些分词的不同时态。第2个分词短语“having washed ”用的是完成时态，暗示着这个动作发生在其他两个动作之前。在翻译过程中，我们应该注意逻辑顺序，改变原来的句子顺序，按照时间顺序重新安排这三个动作。
三、结束语
基于上述理论演绎和例子分析可以得出结论，将文体分析的方法 应用于科技翻译，能提高科技翻译译文的质量。采用这种方法产生的译文，不仅符合科技文体的 语言特征，在各个层面符合译入语的习惯表达，而且有利与科技文章的翻译达到准确、简洁、清晰、严谨的文体效果，最重要的是其适合的文体和语言形式能充分实现译文的信息功能。
矩阵的三角分解毕业论文
Ax=B，改写成Ly=B，Ux=y的方程组。就相当于将A=LU分解成了两个矩阵。称为矩阵A的三角分解，或LU分解。如果L为单位下三角阵，则叫Doolittle分解，若U为单位上三角阵，则叫Crout分解。只要A的各顺序主子式不为零，则A可唯一分解成一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积。•设Ax=b，A=LU，则Ax=LUx=b于是令Ux=y，则Ly=b这样原来方程能化为两个简单方程组
矩阵的三角分解分好几种，有最简单的，主元的和正交的。第一和第三最常用。第三个最重要，不知道第三个分解枉学线代！简单的三角分解 A=LU L：lower下三角 U：upper上三角 这个只有形状上的要求。实际就是把一个矩阵A上三角化的过程，你会发现那个过程(可以理解为作用在该方阵A上的算子)，也是个三角阵，所以有SA=U 两边乘上S的逆便有A=LU正交分解 A=QR Q为正交阵 R为上三角，好像是这样。实际上就是Gram-Schmidt正交化方法的过程
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法（Iterative Method）。一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组x=Bx+f（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式x(k+1）=Bx(k)+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。如果k趋向无穷大时limx（k）存在，记为x*，称此迭代法收敛。显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性的快速解决问题，例如通过开方解决方程x +3= 4。一般如果可能，直接解法总是优先考虑的。但当遇到复杂问题时，特别是在未知量很多，方程为非线性时，我们无法找到直接解法（例如五次以及更高次的代数方程没有解析解，参见阿贝耳定理），这时候或许可以通过迭代法寻求方程（组）的近似解。最常见的迭代法是牛顿法。其他还包括最速下降法、共轭迭代法、变尺度迭代法、最小二乘法、线性规划、非线性规划、单纯型法、惩罚函数法、斜率投影法、遗传算法、模拟退火等等。利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以顺推或倒推的方法来完成。对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。举例例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n = u(n － 1）× 2 (n ≥ 2）对应 u n 和 u(n － 1），定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend例 2 ：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 220,220个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。分析：根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后充满容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2^20。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2^20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，如果定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：x=x/2 （x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2^20）让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：clsx=2^20for i=1 to 15x=x/2next iprint xendps:java中幂的算法是（2,20）；返回double，稍微注意一下例 3 ：验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。分析：定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*3+1。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：if n 为偶数 thenn=n/2elsen=n*3+1end if这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为：n=1。参考程序如下：clsinput "Please input n=";ndo until n=1if n mod 2=0 thenrem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2n=n/2print "—";n;elsen=n*3+1print "—";n;end ifloopend迭代法开平方：#include<>#include<>void main(){double a,x0,x1;printf("Input a:\n");scanf("%lf",&a);//为什么在中不能写成“scanf("%f",&a）；”？if(a<0)printf("Error!\n");else{x0=a/2;x1=(x0+a/x0)/2;do{x0=x1;x1=(x0+a/x0)/2;}while(fabs(x0-x1）>=1e-6）；}printf("Result:\n");printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1）；}求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。算法：1.先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为a的初值；利用迭代公式求出一个x1。此值与真正的a的平方根值相比，误差很大。⒉把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.⒊利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。⒋比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x），然后按以下步骤执行：⑴ 选一个方程的近似根，赋给变量x0；⑵ 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1），并将结果存于变量x0；⑶ 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤⑵的计算。若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1）； /*按特定的方程计算新的近似根*/} while (fabs(x0-x1）>Epsilon）；printf（“方程的近似根是%f\n”，x0）；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;ix=初始近似根；do {for (i=0;iy=x;for (i=0;ix=gi(X);for (delta=;iif (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x）；} while (delta>Epsilon）；for (i=0;iprintf（“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x）；printf（“\n”）；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：⑴ 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；⑵ 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。递归递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：fib(0)=0;fib⑴=1;fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （当n>1时）。写成递归函数有：int fib(int n){ if (n==0) return 0;if (n==1） return 1;if (n>1） return fib(n-1）+fib(n-2）；}递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n），把它推到求解fib(n-1）和fib(n-2）。也就是说，为计算fib(n），必须先计算fib(n-1）和fib(n- 2），而计算fib(n-1）和fib(n-2），又必须先计算fib(n-3）和fib(n-4）。依次类推，直至计算fib⑴和fib(0），分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib⑴和fib(0）后，返回得到fib⑵的结果，……，在得到了fib(n-1）和fib(n-2）的结果后，返回得到fib(n）的结果。在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n）应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。【问题】 组合问题问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：⑴5、4、3 ⑵5、4、2 ⑶5、4、1⑷5、3、2 ⑸5、3、1 ⑹5、2、1⑺4、3、2 ⑻4、3、1 ⑼4、2、1⑽3、2、1分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k）为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m 个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。【程序】# include# define MAXN 100int a[MAXN];void comb(int m,int k){ int i,j;for (i=m;i>=k;i--){ a[k]=i;if (k>1）comb(i-1,k-1）；else{ for (j=a[0];j>0;j--)printf（“%4d”，a[j]);printf（“\n”）；}}}void main(){ a[0]=3;comb（5,3）；}【问题】 背包问题问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。设n 件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。对于第i件物品的选择考虑有两种可能：⑴ 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。⑵ 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。按以上思想写出递归算法如下：try（物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv){ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/if（包含物品i是可以接受的）{ 将物品i包含在当前方案中；if (itry(i+1,tw+物品i的重量，tv);else/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/以当前方案作为临时最佳方案保存；恢复物品i不包含状态；}/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/if （不包含物品i仅是可男考虑的）if (itry(i+1,tw,tv-物品i的价值）；else/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/以当前方案作为临时最佳方案保存；}为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：物品 0 1 2 3重量 5 3 2 1价值 4 4 3 1并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。按上述算法编写函数和程序如下：【程序】# include# define N 100double limitW,totV,maxV;int option[N],cop[N];struct { double weight;double value;}a[N];int n;void find(int i,double tw,double tv){ int k;/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/if (tw+<=limitW){ cop=1;if (ielse{ for (k=0;koption[k]=cop[k];maxv=tv;}cop=0;}/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/if (>maxV)if (ielse{ for (k=0;koption[k]=cop[k];maxv=;}}void main(){ int k;double w,v;printf（“输入物品种数\n”）；scanf（（“%d”，&n);printf（“输入各物品的重量和价值\n”）；for (totv=;k{ scanf（“%1f%1f”，&w,&v);a[k].weight=w;a[k].value=v;totV+=V;}printf（“输入限制重量\n”）；scanf（“%1f”，&limitV);maxv=;for (k=0;k find(0,);for (k=0;kif (option[k]) printf（“%4d”，k+1）；printf（“\n总价值为%.2f\n”，maxv);}作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。【程序】# include# define N 100double limitW;int cop[N];struct ele { double weight;double value;} a[N];int k,n;struct { int ;double tw;double tv;}twv[N];void next(int i,double tw,double tv){ twv.=1;twv tw=tw;twv tv=tv;}double find(struct ele *a,int n){ int i,k,f;double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=;ktotv+=a[k].value;next(0,);i=0;While (i>=0){ f=twv.;tw=twv tw;tv=twv tv;switch(f){ case 1: twv.++;if (tw+<=limitW)if (i{ next(i+1,tw+);i++;}else{ maxv=tv;for (k=0;kcop[k]=twv[k].!=0;}break;case 0: i--;break;default: twv.=0;if (>maxv)if (i{ next(i+1,tw,);i++;}else{ maxv=;for (k=0;kcop[k]=twv[k].!=0;}break;}}return maxv;}void main(){ double maxv;printf（“输入物品种数\n”）；scanf（（“%d”，&n);printf（“输入限制重量\n”）；scanf（“%1f”，&limitW);printf（“输入各物品的重量和价值\n”）；for (k=0;kscanf（“%1f%1f”，&a[k].weight,&a[k].value);maxv=find(a,n);printf（“\n选中的物品为\n”）；for (k=0;kif (option[k]) printf（“%4d”，k+1）；printf（“\n总价值为%.2f\n”，maxv);}编辑本段递归的基本概念和特点程序调用自身的编程技巧称为递归（recursion）。一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。用递归思想写出的程序往往十分简洁易懂。一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。注意：⑴ 递归就是在过程或函数里调用自身；⑵ 在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
矩阵有关论文的参考文献
随着现代科学的发展，数学中的矩阵也有更广泛而深入的应用，下面列举几项矩阵在现实生活中的应用：
Isometry3d是等距变换AngleAxisd是数轴角度其中末尾的字母d表示数值类型是double参考文献：
改革开放以来，在科技革命和经济全球化的推动下，全球服务贸易飞速发展，全球经济竞争的重点正从货物贸易向服务贸易转变。根据WTO的统计，1980-2007年，世界服务贸易出口额从3600亿美元增加到32600亿美元，27年间增长了倍；而同期世界货物贸易出口额则从19880亿美元增加到135700亿美元，增长了倍，服务贸易的增长速度已经超过了货物贸易，世界服务贸易的地位在世界贸易中的地位越来越高。伴随着世界服务贸易的发展，中国的服务业逐步开放，服务贸易发展快速。服务贸易和服务业的快速发展不仅推动了我国产业结构升级，改变了长期主要依靠第二产业带动经济增长的格局，同时在促进我国经济平稳较快地发展，扩大就业，节能降耗等方面发挥了重要作用。 一、中国服务贸易发展概况 改革开放以来，我国的服务贸易发展迅速，一些新兴的服务业从无到有，基本形成了较为完整的服务业体系。1978年到2007年的30年间，服务业平均增速超过10%，高于同期国内生产总值的平均增长速度。纵观改革开放30年来中国服务贸易发展历程，可以看出，中国服务贸易表现出总量增长和结构失衡的特点。 1.从贸易总量上看，迅速增长，逆差扩大。 随着我国的服务业逐步开放，服务贸易得到了快速发展。中国服务贸易进、出口分别从1982年的、亿美元发展到2007年的1290、1270亿美元，年均增长率分别为和,具体情况如图1所示。1989年我国的服务出口在全世界名列第27位，进口居第32位，到2000年服务出口301亿美元，进口359亿美元，服务贸易总额660亿美元，居世界第12位。2003年中国服务贸易进出口总额首次突破1000亿美元大关，增长率为18%，成为全球第九大服务贸易国，首次进入世界前10位3。2005年，中国服务贸易的规模继续扩大，服务贸易收支总规模达到1582亿美元，增长18%，占同期中国GDP的7%，较2004年略有上升4。2007年，中国服务贸易进出口双双突破1000亿美元大关，服务贸易总额为2560亿美元，增速超过20%。其中服务贸易进口额为1290亿美元，占世界服务贸易份额，居世界第五位；服务贸易出口额为1270亿美元，占世界服务贸易份额，居世界第七位5。 图1 1982～2007年中国服务贸易进、出口情况 注：图中增长率是指服务进、出口总额比上年增长的比率，没有扣除价格水平的影响。 资料来源：根据商务部《中国服务贸易发展报告2007》提供的有关年份“服务贸易进出口分项目情况”整理而成。 除此以外，从图1可以看出，1982～1991年期间，服务出口一般大于服务进口，服务贸易处于顺差状态，但自1992年开始直至2007年，服务出口小于服务进口(1994年除外)，服务贸易处于逆差状态，且逆差呈现逐年加大的态势。从服务贸易总额的增速看，1982～2007年期间，服务贸易总额比上年增长的速度多数处于10%～30%之间(少数年份可能由于受到外部环境的影响而出现负增长或异常高速增长除外，如1983, 1992和1996年等)。进入21世纪，在入世的强有力推动下，服务贸易又出现高速增长，这期间出口年均增速达到22%，进口年均增速达到21%。 2.从贸易结构上看，失衡突出，逐步改善。 根据生产服务的要素密集属性，将服务分为两种类型：一是自然资源或劳动密集型的传统服务，主要包括运输和旅游等；二是知识、技术或资本密集型的新兴服务，主要包括通讯、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、电影等音像制品、会计、法律、咨询和广告等。 从图2和图3可以看出，(1)无论是服务出口还是进口，以运输和旅游为主的传统服务贸易都占有较大比重，两者之和的比重在选取的年份中均超过60%，而以金融、保险、咨询、专有权利使用费和特许费等为主的新兴服务贸易占比较小；(2)从出口方面看，运输服务出口占服务贸易出口总额的比重显著下降，在1999年，占比至最低水平，此后逐渐回升；旅游服务出口从1982年至1990年间的比重基本不变，但从1991年开始比重则明显上升，直至2003年(由于非典的原因)比重又开始回落；其他商务服务出口比重则基本呈现稳步增长的态势；(3)从进口方面看，运输服务进口占服务贸易进口总额的比重显著下降，由1982年的下降为2007年的；旅游服务进口则逐步增加，从1982年的增加到2007年的；其他商务服务进口比重也基本呈现稳步增长的态势。因此，虽然我国的服务贸易结构仍然以劳动密集型和资源密集型为主，但是我国的服务贸易出口结构进口结构正逐步由传统的劳动密集型或资源密集型向新兴的知识（技术）密集型转化。 图2 1982～2007年中国服务贸易出口结构变化 图3 1982～2007年中国服务贸易进口结构变化 资料来源： 《中国统计年鉴》、国家外汇管理局《中国国际收支平衡表》、世界贸易组织统计年鉴历年数据。 通过比较可以发现，进入21世纪以后，随着我国服务市场的不断放开，服务贸易内部结构逐步改善，一方面，以自然资源或劳动密集型为主的传统服务部门如旅游服务，其出口比重和进口比重都在逐步下降，而运输服务虽然出口比重和进口比重都在增加，但相对于20世纪80年代而言，却是大幅下降；另一方面，以知识(技术)密集型为主的新兴服务部门如计算机和信息服务、咨询服务都得到了相对较快发展，进口和出口比重都日益提高。但同时也必须看到，部分重要服务部门如保险服务、专有权利使用费和特许费、咨询等部门的进口比重显著上升，反映了这些服务的国内供给水平较低。 二、文献综述 回顾近年来已有的国外文献，对于服务贸易与经济增长的研究文献主要从服务贸易自由化角度展开，而服务贸易自由化对一国经济影响主要集中在总体服务贸易、金融和电信两个关键行业领域。具体而言，大致包括以下四个方面： 1.利用贸易自由化效应的理论模型，分析总体服务贸易自由化对经济增长的影响。 Dee and Hanslow(2000)研究表明，如果完全取消乌拉圭回合后的服务贸易和商品贸易的贸易壁垒，则整个世界经济可以从中获利2600亿美元，其中1300亿美元来自服务贸易，约与商品贸易获利等同。Sherman Robinson (2002 )选取了10个国家和地区、11个部门的截面数据作为研究对象，研究结构表明，服务贸易不仅直接影响世界服务产品的生产和贸易，而且通过产业间投入和产出的关系对经济其他部门产生重要影响。对于发展中国家而言，当其从发达国家进口服务产品时，可获得信息和先进的技术，从而引起了全要素生产率提高，对经济增长产生了推动作用。Rutherford, Tarr and Shepotylo(2005)则利用CGE模型对俄罗斯的“入世”效应进行了评估分析。他们得出了一个共同的结论，就是服务市场的开放能够增加一个国家的福利，而消除服务业FDI市场准入壁垒是一国服务贸易自由化福利增加的主要来源。 2.基于特定服务贸易部门，讨论具体服务贸易部门开放对一国经济增长的影响。 由于服务贸易谈判主要集中在金融和电信两个部门，因此研究具体服务部门和经济增长关系的文献主要围绕这两个部门展开。Goldsmith(1969)认为金融服务业通过将金融资本投资于最有生产效率的部门，使得一国产出和收入增长。他利用金融资产和GNP的比例作为衡量金融部门业绩的指标，并以此作为解释变量来解释经济的增长。King and Levine(1993)指出金融服务通过提高资本积累和（或）技术创新带动行业增长，在控制其它影响长期增长因素的前提下，采用金融系统负债/GDP、金融系统对私人部门贷款/GDP这两个比例来解释金融业自身的增长，并得到了显著正的回归结果。Francois and Schuknecht(2000)运用贸易开放度、主要宏观经济变量以及金融部门集中度来解释实际人均GDP增长率。他们发现金融业开放与贸易和经济增长之间存在着正向关系。Khoury and Savvides(2006)选取了包括发展中国家和发达国家在内的60个国家的电信和金融服务部门横截面数据，建立了起点回归模型（Threshold Regression Model）。研究结果表明，服务市场开放对低收入国家和高收入国家的经济增长效应具有显著的差异,具体服务部门开放对经济增长的影响与该国经济发展水平有关。 3.基于服务作为中间投入品角度，研究生产者服务贸易对一国经济增长的影响。 Markusen(1989)研究发现，不论是资本密集型的中间投入制造品，还是知识密集型的生产者服务都能够带来报酬递增。虽然服务市场开放以后，服务业外商直接投资会对国内服务企业产生部分的“挤出效应”，但由于该服务部门的竞争导致了国内对该服务的更大需求，因而，外资提供的服务对国内相应服务的替代效应小于因竞争产生的规模效应；同时，由于服务差异化的特性，使得外商提供的服务成为国内提供中间投入品的有益补充。因此，他认为生产者服务的自由化有可能对一国的社会福利带来显著的正面效应。Francois,Joseph and Kenneth Reinert(1996)利用17国数据分析了服务在生产和贸易结构中的作用；这些研究普遍认为，生产者服务贸易的进口对于一国的经济增长有着积极的影响，主要表现为生产者服务通过提高整个经济部门生产率带动经济发展，而且生产者服务贸易与其它服务贸易以及商品贸易是一种互补关系而不是替代关系。Hoekman(2006)研究认为，服务可能成为一些国家经济增长的发动机，例如印度。他分析认为，在服务市场开放条件下，服务将成为国内企业竞争力的关键因素，企业竞争力在很大程度上取决于是否能够获得低成本、高质量的生产者服务，如金融、电信、运输、分销服务等。因此，通过进口生产者服务，带动国内相关服务业的快速发展，从而提高该国的经济绩效。 4.基于特定服务贸易模式，研究不同模式下服务贸易自由化对一国经济增长的影响。 Whalley and Bob Hamilton(1984)是较早研究消除劳动力在国家间流动的所有限制后对全球经济影响的。由于自然人流动的开放，基于不同国家劳动边际产品的劳动力资源在全球范围内进行了新的配置，因此，他们估算在某些条件下由于劳动力的自由流动使得全球收入将可能翻一倍，并且对各国的收入分配产生较为显著的影响。Walmsley and Winters(2005)指出，如果发达国家允许相当于其国内劳动力3%的国外服务提供者进入其国内市场，则全球获得的收益可能远远超出任何现存的贸易形式自由化所带来的收益，而且发达国家和发展中国家能够共享这种福利的增加。此外，他们还指出，目前熟练工的自由流动问题得到了广泛的讨论和解决，然而，非熟练工的自由流动也将会产生更多的收益。 回顾国内学者关于服务贸易与经济增长的研究，主要从定性和定量两个方面展开。在定性分析方面，一些学者详细剖析了服务贸易对一国经济多方面影响，主要有王建（1999）、熊春兰（2000）、龚锋（2003）、程大中（2004）、苗秀杰（2005）等；在定量分析方面，危旭芳、郑志国（2004）采用最小二乘法对中国服务贸易与经济增长进行实证分析，结果表明，中国进出口额与GDP存在正相关关系，且服务进口对经济增长的促进作用大于出口；孙茂辉（2005）实证研究了服务贸易与澳门经济增长的数量关系，结果表明澳门每增加1美元的服务贸易净出口，GDP将会增加美元；胡日东、苏梽芳（2005）利用中国1985-2004年度数据进行回归分析后发现，长期上看，服务贸易出口对经济增长具有推动作用，而服务贸易进口对经济增长具有抑制作用，但二者净效应为正；短期上看，服务进口与出口对经济增长的作用很小；潘爱民（2006）采用误差修正模型研究表明：服务贸易出口、进口与经济增长之间存在长期稳定的均衡关系；从短期来看，三者之间的关系由短期偏离向长期均衡调整的速度很快，且服务贸易进口的短期波动对经济增长的短期变化比较明显。 综合上述的研究文献可以发现，国内外大多数实证方面的文献都集中在服务贸易总量对经济增长的影响分析上，而对于服务贸易结构与经济增长的关系研究尚属空白。因此，本文利用我国1982-2007年不同部门服务贸易的进口、出口和GDP数据，通过构造贸易结构指标，基于脉冲响应函数分析法来考察服务贸易结构与经济增长之间的动态冲击反应，揭示两者长期相互动态作用。 三、数据与方法 (一)数据来源与变量定义 1.数据来源 笔者选取1982-2007年的年度数据作为样本数据，数据全部来源于《中国统计年鉴》、国家外汇管理局《中国国际收支平衡表》、世界贸易组织统计年鉴历年数据。世界贸易组织将服务贸易分为三个部门，分别是运输、旅游和其它商务服务，其它商务服务中一共包括八项，具体为通讯、建筑、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、文体娱乐（包括电影等音像制品）和其它商业服务（包括会计、法律、咨询和广告等）。 2.变量定义 根据生产服务的要素密集属性，将服务分为两种类型：一是自然资源或劳动密集型的传统服务，主要包括运输和旅游等；二是知识、技术或资本密集型的新兴服务，主要包括通讯、建筑、保险、金融计算机和信息服务、专利许可和技术转让、电影等音像制品、会计、法律、咨询和广告等。因此，在考察服务贸易结构时，构造传统服务出口份额 (EXSH)和传统服务进口份额(IMSH)对其进行度量。传统服务出口份额 (EXSH)表示传统服务出口额占出口总额的比重，即： 其中、、分别指当年运输出口额、旅游出口额和出口总额；传统服务进口份额(IMSH)表示传统服务进口额占进口总额的比重，即：其中、、分别指当年运输进口额、旅游进口额和进口总额。考虑到其它商务服务中的其它商业服务可能包含一部分传统服务，但是由于无法获取各项新兴服务的具体数据，因此笔者采用、指标大致反映我国的服务贸易结构，用历年的GDP来表示经济增长。 为了消除汇率和物价因素的影响，将GDP数据折合成美元计算，同时用消费者价格指数对各个年度的GDP数据进行平减，由于我国的CPI指数是从1985年才开始编制的，因此对1982到1984年的数据用城市居民消费价格指数来平减，平减后得到RGDP。为避免时间序列经济数据中的异方差影响，对RGDP取自然对数，记为LRGDP，这种变换不会改变时间序列的特征。 图3 服务贸易结构指标EXSH和IMSH的变动趋势 从图3可以看出，传统服务贸易的出口额和进口额占比在1982-2007年间均超过50%，说明传统服务贸易仍然是我国服务贸易的主要部分，在服务贸易的发展过程中扮演着重要角色。传统服务贸易出口在20世纪80年代发展迅猛，各年占比均超过70%，随后逐步降低，2003年占比达到最低水平，仅占；传统服务贸易进口在1982-1993年期间，除个别年份外（1984年），占比均超过70%，个别年份如1986、1990年达到90%，随着我国加入WTO，服务贸易市场进一步放开，传统服务贸易进口自2000年后稳步下降。 (二)单位根检验与协整分析 在对时间序列进行分析时，传统上要求数据是平稳的，即没有随机趋势或确定性趋势，如果用非平稳的时间序列变量进行回归，会出现“伪回归”现象。但是，现实经济中的时间序列往往是非平稳的，为了使回归有意义，对时间序列实行平稳化处理，方法是对其进行差分后再回归，但这样做的缺点是会失去原序列中的有用信息，而这些信息对问题分析又是必须的。Enger和Granger提出的协整方法很好的解决了这个问题，而协整分析需要进行单位根检验。单位根检验的方法很多，如DF方法、ADF方法，PP方法，本文采用ADF方法。 我们对各变量进行ADF检验，经过多次尝试，选择最佳滞后期和检验形式，得到单位根结果如表2。从表2可以看出，在1%的显著性水平下，所有变量序列的水平项都是非平稳序列；经过一阶差分以后，在的显著性水平上都是平稳的，故它们都是一阶单整I(1)，可以在此基础上进行协整检验。 由于VAR模型对滞后期的选择比较敏感，故先采用AIC或SC最小原则确定最佳滞后期。在滞后期数确定滞后，再对协整中是否具有常数项和时间趋势项进行验证，然后对数据进行协整检验，得到的结果如表3。从表3可以看出，GDP与两个协整方程，变量之间存在着长期的均衡关系。通过对各协整方程残差进行ADF检验，结果显示残差为平稳序列，也证明了经济增长与传统服务出口份额、传统服务进口份额之间存在着协整关系。 表2 各变量平稳性检验结果 变量 类型(C T K) DW值 ADF 1%临界值 结论 LRGDP (C,T,4) 不平稳 EXSH (C,T,4) 不平稳 IMSH (C,T,3) 不平稳 DLRGDP (C,T,0) 平稳 DEXSH (C,N,0) 平稳 DIMSH (C,N,0) 平稳 注：检验类型中的C,T,K分别表示单位根检验中的常数项、时间趋势项和滞后阶数；N表示不包括C或者T，D表示一阶差分。 表3 协整检验结果 H0 迹统计量 1%临界值 相伴概率 r=0 r≤1 r≤2 四、VAR模型以及脉冲函数响应路径 (一)模型的设定与估计 由于贸易结构和经济增长之间的关系是双向互动的，贸易结构的升级会刺激经济的增长，而经济增长总是伴随着贸易结构的升级，因此，采用不必加以区分外生变量和内生变量的VAR模型来分析服务贸易结构和经济增长的关系，从而，更加有利于分析各个变量之间的长期动态影响而避免变量缺省的问题。向量自回归模型VAR(p)的一般形式如下： t=1,2,…,T (1) 其中：是k维内生变量向量，是d维外生变量向量，p是滞后阶数，T是样本个数。维矩阵和维矩阵B是要被估计的系数矩阵。是k维随机扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与不等式右边的变量相关。 在(1)式的基础上，我们以时间序列LRGDP、EXSH、IMSH建立VAR自回归模型。准确建立VAR模型的关键在于滞后期数的确定，在实际应用中，一方面希望滞后期p足够大，可以更加完整的反映构造模型的动态特征；但另一方面，滞后期越长，模型中待估参数越多，损失的自由度也越多。因此，在滞后期和自由度之间寻找一个均衡点，一般根据AIC和SC信息量取值最小的准则来确定模型的滞后阶数。根据多次的实际测算，最后确定滞后阶数为4，模型设定为VAR(4)，采用OLS得到估计式如下，模型整体拟合程度较好。 对模型进行稳定性检验以及残差自相关检验，结果显示模型稳定且整体拟合度较高，各扰动项不与自己的滞后值相关，模型拟合效果良好，可以作为进一步分析的依据。 (二)脉冲响应分析 脉冲响应函数是分析当一个误差项发生变化，或者模型受到某种冲击时对系统的动态影响，用于衡量随机扰动项的一个标准差冲击对内生变量当前和未来取值的影响。根据得到了VAR模型，基于脉冲响应函数分析方法，可以得到传统服务贸易进口份额、出口份额和经济增长之间的相互冲击动态响应路径。 1.由图5可以看出，经济增长对于传统服务贸易出口份额标准差的扰动一直呈现正向的效应。尽管在第1期没有显现出来，但从此以后一直呈现正值，经过1-5期的小幅上下波动后，第5期开始逐渐上升，从第8期以后稳步增长。这表明传统服务贸易出口份额受外部条件的某一冲击后，给经济增长带来同向的冲击，而且这一冲击具有显著的促进作用和较长的持续效应。 2.由图6可以看出，经济增长对于传统服务贸易进口份额标准差的扰动一直呈现负向的影响。LRGDP在当期反应为零，此后逐渐下降，经过3-4期小幅上升后，一直下降至期终。其经济涵义是传统服务贸易进口份额的某一冲击会给经济带来持续的反向冲击，长期来看，对经济增长具有显著的抑制作用。 3.由图7可以看出，传统服务贸易出口份额对经济增长一个标准差的冲击，当期显现出很高的负效应，在第2期上升为正值，从第4期开始逐渐下降，6-7期上升以后，一直下降至期终。计算分析期内EXSH的累计反应值可以发现，当期LRGDP一个标准差冲击对EXSH的累计反应为，表明经济增长对传统服务贸易出口份额长期有微弱的负效应。 4.由图8可以看出，在本期给经济增长一个标准差的冲击后，传统服务贸易进口份额在1-2期内上升，第2期达到最高点(即在第2期IMSH对LRGDP的响应是)，此后逐渐下降为负值，此阶段一直持续到5-6期，第6期出现微弱正值后逐渐下降为负值并保持到期终。这一结果的经济涵义是经济增长在初始阶段可以增加传统服务贸易进口的份额，但长期而言，经济增长对传统服务贸易进口份额具有显著的抑制作用。 图5 LRGDP对EXSH冲击的响应 图6 LRGDP对IMSH冲击的响应 图7 EXSH对LRGDP冲击的响应 图8 IMSH对LRGDP冲击的响应 五、结论和建议 与已有集中于分析服务贸易总量与经济增长的研究不同，笔者基于VAR模型的脉冲响应函数分析方法，对我国1982-2007年服务贸易出口结构、进口结构与经济增长进行了协整分析，并在此基础上考察了三者的相互动态影响过程。脉冲响应函数的模拟结果表明： 1.传统服务贸易出口对我国的经济增长具有显著的促进作用和较长的持续效应，而传统服务贸易进口具有显著的抑制作用。这说明：一方面，随着我国服务贸易自由化程度的不断加深，具有比较优势的传统服务业(旅游、运输等)，特别是传统服务贸易出口对我国的经济增长具有较大的推动作用，因此，在未来的较长时间内，应该继续充分发挥这种优势并形成竞争优势；另一方面，传统服务贸易进口抑制经济增长反映了新兴服务贸易进口对经济增长存在着刺激作用。新兴服务部门主要生产知识、技术密集型或资本密集型服务，这类服务的特点是高附加值高收益，大力发展新兴服务业有利于实现我国服务贸易的可持续发展，因而从动态的角度看，应当扩大服务贸易特别是新兴服务贸易的进口，实现服务贸易结构的升级。 2.从短期来看，经济增长对于传统服务贸易出口和进口具有微弱的正效应，这说明短期内经济增长会加快传统服务贸易的出口和进口，但是随着新兴服务部门的快速发展，服务贸易结构将呈现出新兴服务贸易比例上升，传统服务贸易比例下降的新局面。此外，从长期来看，经济增长对传统服务贸易出口和进口具有抑制作用，这也进一步说明经济增长必然会带来产业结构的升级。随着经济的不断发展，对新兴服务的需求逐渐上升，增加对新兴服务的进口，通过引进先进技术和经营理念，促进中国国内服务业和服务贸易的发展，从而通过“引进来”最终实现“走出去”。 因此，随着我国加入WTO后服务业对外开放的不断深入，中国服务贸易的发展应该遵循“循序渐进、重点突破、逐一深入”的方针。首先，立足传统比较优势，继续巩固发展以劳动和自然资源密集型为主的传统服务贸易领域，如运输服务、旅游服务，培育竞争优势并形成长期动态比较优势；其次，积极开展生产者服务业，优化服务贸易结构。一方面，运用现代信息技术和经营管理方法，加快改造传统生产者服务业，大力发展现代物流业，如整合交通、运输、仓储、邮政服务业等；另一方面，重点发展知识密集型的生产者服务业，包括金融、电信以及科技服务、广告设计、管理咨询等各类专业和商务服务业，提高这些产业在整个服务业的比重，从而为我国调整和优化服务贸易结构提供强有力的产业基础；第三，提高对外开放水平，加大引导外资进入现代服务业部门力度。目前，外资主要分布在制造业，流入服务业的外资较少，政府应制定适当的政策引导外资进入知识密集型的现代服务业领域。通过引进国外先进的技术和管理经验，促使国内相关服务企业边干边学，不断创新，从而促进国内服务业的发展；第四，鼓励优势企业实施“走出去”战略，树立服务品牌。服务企业应提高服务生产管理水平，加强现代物流和供应链管理，针对本行业服务的特点，制定科学经营管理体制，提高服务生产的计划、组织与控制能力，同时通过政府和企业的共同努力，培育中国的服务名牌。对于一些具有优势的服务企业，鼓励实施“走出去”战略，充分发挥自己的比较优势，争取成为世界知名的服务企业
矩阵在许多领域都应用广泛。有些时候用到矩阵是因为其表达方式紧凑，例如在博弈论和经济学中，会用收益矩阵来表示两个博弈对象在各种决策方式下的收益。文本挖掘和索引典汇编的时候，比如在TF-IDF方法中，也会用到文件项矩阵来追踪特定词汇在多个文件中的出现频率。早期的密码技术如希尔密码也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相对容易破解。计算机图像处理也会用到矩阵来表示处理对象，并且用放射旋转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影。多项式环上的矩阵在控制论中有重要作用。化学中也有矩阵的应用，特别在使用量子理论讨论分子键和光谱的时候。具体例子有解罗特汉方程时用重叠矩阵和福柯矩阵来得到哈特里－福克方法中的分子轨道。
矩阵分解及其应用毕业论文
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
这个概念经常在机器学习的文章中看到，但由于接触不久，所以一直都是一知半解，没有好好了解过。 首先从字面上理解，“协同”需要一个“集体“，“过滤”就应该是晒选的意思，那么协同过滤总的来说就是通过“集体”来“筛选”，以评分推荐系统为例子，这里的“协同”我个人理解就是集合”众多人的评价”，这里的“评价”，就是“对集体都接触过的事物进行打分”，这样大概就能通过一些共同的事物反应出用户不同的”价值观“，然后通过这样的价值观来”筛选“出价值观高度相似的人，再相互推荐共同都喜爱的东西。那么这样的推荐就很有可能是大家都需要的。 经过资料洗礼过后，得知cf现在的两大方向，一种是以记忆为基础（Memory-base）,另一种是基于模型（Model-based Collaborative Filtering）。 普及的比较多的前者，它基于关注的目标，又分为基于用户的协同过滤和基于项目的协同过滤，上面举的一个简单的评分推荐系统的例子就可以说是基于用户的协同过滤，它是通过用户对共同物品的“主观价值”来筛选相似用户，再互补评分高的商品，从而达到推荐商品的目的；那么基于项目的意思就是通过这个用户集体对商品集的评价，在物品的角度上去寻找相似度高的物品，达到推荐商品的效果。虽然针对的目标不通，但以我个人理解，大体上都是依赖这个用户集营造的“价值观”，只不过区别在于，基于用户的CF是“关心”各个用户的“主观价值”上的“区别”，而基于项目的CF则是要基于这整个用户集对项目集的“普世价值观”，来甄别出“物品”上的差异。不知道这么比喻恰不恰当哈，“普世”我这边理解就是“大多数”，是一种整体趋势的意思。价值观比较“抽象”的话，再直接点这里的“价值观”就相当于物理中的“参考系”。 但是以上两种方法在面对，不是每个用户对大多数商品都做出过评价（数据稀疏）时就无能为力，所以基于这个问题就引导出了基于模型（Model-based ）的CF，我在最近的论文中接触到的就是一个“矩阵分解”的协同过滤，它能够基于现有的数据得到一个模型，再用此模型进行推荐。那么是如何做到的呢？接下来看看矩阵分解。 假设我先在有一个关于用户对音乐评分的矩阵如下图： 只有上述的数据是很难使用户相互推荐音乐的，因为可以看出用户本身听过的歌就不够多，那么如何使数据更加“饱满”呢？这时正是需要矩阵分解的时候，矩阵分解算法的数学理论基础是矩阵的行列变换。行列变换中又有以下规则，我们知道矩阵A进行行变换相当于A左乘一个矩阵，矩阵A进行列变换等价于矩阵A右乘一个矩阵，因此矩阵A可以表示为A=PEQ=PQ（E是标准阵）。 形象的表示如下图： 矩阵分解的目的就是把一个稀疏的用户评分矩阵分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵相乘的形式R=U(转置)*I，我们的目的就是最后再让两个因子矩阵反乘回去得到饱满的用户评分矩阵。那么这个用户,项目因子是个什么东西呢？我们接着上面的音乐评分的形式说，一首歌可能包含多种音乐风格，我们可以量化风格，体现各种风格在一首歌中的比重，那么这里的“潜在因子”我们就可以当作“音乐风格”，K个因子就可以看作K种风格。譬如下图： 可以说，这些因子就是我们的模型中的重要参数，个人理解分解出来的这两个因子矩阵就可以说是基于模型的CF中的，“模型”的了，其实我觉得可以类比线性模型中的参数，我们的回归模型最终重要的不就是公式中的各项参数吗，这两个因子矩阵其实就是我们这个模型中的重要参数，参数知道了模型也就求出来了。如果不了解线性模型可以参考吴恩达大大的机器学习课程，里面介绍的很详细，不像我这边一知半哈。 那么这些个值具体是怎么得出来的呢？过程和求线性回归也很像，接下来就是相关的简单推倒，首先，我们假设，真实的用户评分和我们预测评分的差遵循高斯分布 R用是评分矩阵 U是用户因子矩阵，V是项目因子矩阵 接下来就是极大似然估计，使，在现有数据下概率最大化 类比求线性模型，就能够了解思想很相似，所以应该同样是运用了似然估计的思想，要使值最大，式子两边同时取对数，可以看到，如果要使概率最大，那么公式的第一项就要最小，是不是想到了什么，没错接下来就可以看到最小二乘法的式子。 线性模型我们遇到这个情况一般怎么做，没错，就是梯度下降。首先求偏导数最后就是梯度下降的矩阵因子更新公式： 接下来迭代到自己设置的阈值收敛就能得到局部最优解了。 下面是我根据上述矩阵分解的思想随机的模拟实践，可以自行感受一下准度，可能写搓了点～ 注释：以上诸多图片材料来自网上多篇博客文章 还有方便实用sklearn的中文API文档
我的毕业论文题目是矩阵的乘法及其应用~个人感觉相当简单~我是数学与应用数学专业
好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！