数学建模论文校园供水系统设计说明
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数学建模内容摘要:数学作为现代科学的一种工具和手段,要了解什么是数学模型和数学建模,了解数学建模一般方法及步骤。关键词:数学模型、数学建模、实际问题伴随着当今社会的科学技术的飞速发展,数学已经渗透到各个领域,数学建模也显得尤为重要。数学建模在人们生活中扮演着重要的角色,而且随着计算机技术的发展,数学建模更是在人类的活动中起着重要作用,数学建模也更好的为人类服务。一、数学模型数学模型是对于现实世界的一个特定对象,一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构简单地说:就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述),即用数学式子(如函数,图形,代数方程,微分方程,积分方程,差分方程等)来描述(表述,模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律随着社会的发展,生物,医学,社会,经济……,各学科,各行业都涌现现出大量的实际课题,急待人们去研究,去解决但是,社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才,而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题,取得经济效益和社会效益他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就像在学校里做数学应用题),而是为了解决实际问题而需要用到数学而且不止是要用到数学,很可能还要用到别的学科,领域的知识,要用到工作经验和常识特别是在现代社会,要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机可以这样说,在实际工作中遇到的问题,完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题,不是"干净的"数学,而是"脏"的数学其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决,而是暗藏在深处等着你去发现也就是说,你要对复杂的实际问题进行分析,发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律,把这个实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型数学模型具有下列特征:数学模型的一个重要特征是高度的抽象性通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维,从而可以突破实际系统的约束,运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入的研究数学模型的另一个特征是经济性用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具,可以节省大量的设备运行和维护费用,用数学模型可以大大加快研究工作的进度,缩短研究周期,特别是在电子计算机得到广泛应用的今天,这个优越性就更为突出但是,数学模型具有局限性,在简化和抽象过程中必然造成某些失真所谓"模型就是模型"(而不是原型),即是指该性质二、数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践即通过抽象,简化,假设,引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模模型是客观实体有关属性的模拟陈列在橱窗中的飞机模型外形应当象真正的飞机,至于它是否真的能飞则无关紧要;然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同,如果飞行性能不佳,外形再象飞机,也不能算是一个好的模型模型不一定是对实体的一种仿照,也可以是对实体的某些基本属性的抽象,例如,一张地质图并不需要用实物来模拟,它可以用抽象的符号,文字和数字来反映出该地区的地质结构数学模型也是一种模拟,是用数学符号,数学式子,程序,图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略数学模型一般并非现实问题的直接翻版,它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析,又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识这种应用知识从实际课题中抽象,提炼出数学模型的过程就称为数学建模实际问题中有许多因素,在建立数学模型时你不可能,也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑,只能考虑其中的最主要的因素,舍弃其中的次要因素数学模型建立起来了,实际问题化成了数学问题,就可以用数学工具,数学方法去解答这个实际问题如果有现成的数学工具当然好如果没有现成的数学工具,就促使数学家们寻找和发展出新的数学工具去解决它,这又推动了数学本身的发展例如,开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律,牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它,但当时已有的数学工具是不够用的,这促使了微积分的发明求解数学模型,除了用到数学推理以外,通常还要处理大量数据,进行大量计算,这在电子计算机发明之前是很难实现的因此,很多数学模型,尽管从数学理论上解决了,但由于计算量太大而没法得到有用的结果,还是只有束之高阁而电子计算机的出现和迅速发展,给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路而在现在,要真正解决一个实际问题,离了计算机几乎是不行的数学模型建立起来了,也用数学方法或数值方法求出了解答,是不是就万事大吉了呢 不是既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,到底反映得好不好,还需要接受检验,如果数学模型建立得不好,没有正确地描述所给的实际问题,数学解答再正确也是没有用的因此,在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验,看它是否合理,是否可行,等等如果不符合实际,还应设法找出原因,修改原来的模型,重新求解和检验,直到比较合理可行,才能算是得到了一个解答,可以先付诸实施但是,十全十美的答案是没有的,已得到的解答仍有改进的余地,可以根据实际情况,或者继续研究和改进;或者暂时告一段落,待将来有新的情况和要求后再作改进 应用数学知识去研究和和解决实际问题,遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型从这一意义上讲,可以说数学建模是一切科学研究的基础没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果,所以,建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一三、数学建模的一般方法建立数学模型的方法并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征:模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法:机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义(1) 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法 (2) 代数方法--求解离散问题(离散的数据,符号,图形)的主要方法 (3) 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际 问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用 (4) 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律,关键是建立"瞬时变化率"的表达式 (5) 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律测试分析方法 测试分析方法就是将研究对象视为一个"黑箱"系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型 (1) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法(2) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法(3) 回归分析法--用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法(4) 时序分析法--处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法, 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定机理分析法建模的具体步骤大致可见左图仿真和其他方法(1) 计算机仿真(模拟)--实质上是统计估计方法,等效于抽样试验① 离散系统仿真--有一组状态变量② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图(2) 因子试验法--在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构(3) 人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统(参见:齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996)四、数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,下面介绍常用的几种按照模型的应用领域(或所属学科)分:如人口模型,交通模型,环境模型,生态模型,城镇规划模型,水资源模型,再生资源利用模型,污染模型等范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学,医学数学,地质数学,数量经济学,数学社会学等按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型,几何模型,微分方程模型,图论模型,马氏链模型,规划论模型等按第一种方法分类的数学模型教科书中,着重于某一专门领域中用不同方法建立模型,而按第二种方法分类的书里,是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模按照模型的表现特性又有几种分法:确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响近年来随着数学的发展,又有所谓突变性模型和模糊性模型静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的,动态的,非线性的,但是由于确定性,静态,线性模型容易处理,并且往往可以作为初步的近似来解决问题,所以建模时常先考虑确定性,静态,线性模型连续模型便于利用微积分方法求解,作理论分析,而离散模型便于在计算机上作数值计算,所以用哪种模型要看具体问题而定在具体的建模过程中将连续模型离散化,或将离散变量视作连续,也是常采用的方法按照建模目的分:有描述模型,分析模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型等按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型,灰箱模型,黑箱模型这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关,要通过建模来揭示它的奥妙白箱主要包括用力学,热学,电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题,这方面的模型大多已经基本确定,还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了灰箱主要指生态,气象,经济,交通等领域中机理尚不十分清楚的现象,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象有些工程技术问题虽然主要基于物理,化学原理,但由于因素众多,关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理当然,白,灰,黑之间并没有明显的界限,而且随着科学技术的发展,箱子的"颜色"必然是逐渐由暗变亮的五、数学建模的一般步骤建模的步骤一般分为下列几步:模型准备首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息模型假设在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解不同的简化假设会得到不同的模型假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化经验在这里也常起重要作用写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样模型构成根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型把问题化为数学问题要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用模型求解利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解模型分析对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等模型检验分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善模型应用所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的参考文献:(1)齐欢《数学模型方法》,华中理工大学出版社,1996。(2)《数学的实践与认识》,(季刊),中国数学会编辑出版。
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数学建模论文 题 目 生活中的数学建模问题 学 院 专业班级 学生姓名 成 绩 年 月 日 摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点,怎样安排输送 方案使利润最大?各种类型的货物装箱,由于受体积、重量等的限制,如何相互搭配装载,使获利最高?若干项任务分给一些候选人来完成,因为每个人的专长不同,他们完成任务的效益就不一样,如何分派使获得的总效益最大?本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。 关键词:获利最多,0-1变量 一. 自来水输送问题 问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区,自来水由A,B,C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80,50,10,20千吨,但由于水源紧张,三个水库每天 只能分别供应60,70,40千吨自来水。由于地理位置的差别,自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同(见下表),其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定,各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外,四个区都向公司申请了额外用水量,分别为10,20,30,50千吨。该公司应如何分配供水量,才能获利更多? 引水管理费(元每千吨) 甲 乙 丙 丁 A 160 130 220 170 B 140 130 190 150 C 190 200 230 ---- 问题分析 分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案,目标是获利最多,而从题目给出的数据看,A,B,C三个水可的供水量170千吨,不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨,因而总能全部卖出并获利,于是自来水公司每天的总收入是950*(60+70+40)=161500元,与送水方案无关。同样,公司每天的其他管理费为400*(60+70+40)=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大,只须是引水管理费最小即可。另外,送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。 模型建立 决策变量为A、B、C、三个水库(i=1,2,3)分别向甲、乙、丙、丁四个小区(j=1,2,3,4)的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道,即X34=0,因此只有11个决策变量。 由上分析,问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少,于是有 min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33; 约束条件有两类:一类是水库的供应量限制,另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利,水库的供应量限制可以表示为 x11+x12+x13+x14=60; x21+x22+x23+x24=70; x31+x32+x33=40; 考虑到歌曲的基本用水量月外用水量,需求量限制可以表示为 80<=x21+x11+x31; 50<=x12+x22+x32; 10<=x13+x23+x33; 20<=x14+x24; x21+x11+x31<=90; x12+x22+x32<=70; x13+x23+x33<=40; x14+x24<=70; 模型求解 将以上式子,输入LINGO求解,得到如下输出: Optimal solution found at step: 10 Objective value: 00 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 00000 0000000 X13 0000000 00000 X14 0000000 00000 X21 00000 0000000 X22 0000000 0000000 X23 0000000 00000 X24 00000 0000000 X31 00000 0000000 X32 0000000 00000 X33 00000 0000000 送水方案为:A水库向乙区供水60千吨,B水库甲区、丁区分别供水50,20千吨,C水库向甲、丙分别供水30,10千吨。引水管理费为25800元,利润为161500-68000-25800=67700元。 二. 货机装运 问题 某架火机油三个货舱:前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限,如下表所示,并且,为了保持飞机的平衡,三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。 前舱 中舱 后舱 重量限制(吨) 15 26 12 体积限制(立方米) 8000 9000 6000 现有四类货物供该伙计本次飞行装运,其有关信息如下表所示,最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运,使货机本次飞行获利最大? 重量(吨) 空间 利润(元每千吨) 货物1 20 480 3500 货物2 18 650 4000 货物3 35 600 3500 货物4 15 390 3000 模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求,我们可以作如下假设: (1) 每种货物可以分割到任意小; (2) 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布; (3) 多种货物可以混装,并保证不留空隙。 模型建立 决策变量:用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量(吨),货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。 决策目标是最大化利润,即 max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43); 约束条件包括以下4个方面: (1)供装载的四种货物的总重量约束,即 x11+x12+x13<=20; x21+x22+x23<=18; x31+x32+x33<=35; x41+x42+x43<=15; (2)三个货舱的重量限制,即 x11+x21+x31+x41<=15; x12+x22+x32+x42<=26; x13+x23+x33+x43<=12; (3)三个货舱的空间限制,即 480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000; 480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000; 480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000; (4)三个货舱装入重量的平衡约束,即 (x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26; (x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12; 模型求解 将以上模型输入LINGO求解,可以得到: Optimal solution found at step: 10 Objective value: 1 Variable Value Reduced Cost X11 5055147 0000000 X12 562500 0000000 X13 286953 0000000 X21 93439 0000000 X22 0000000 843 X23 065611 0000000 X31 0000000 4547474E-12 X32 0000000 654 X33 599359 0000000 X41 0000000 740 X42 00000 0000000 X43 0000000 740 实际上,不妨将所得最优解四舍五入,结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨;货物2装入前舱12吨、后舱6吨;货物3装入后舱2吨;货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。 三. 混合泳接力队的选拔 问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队,参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示,问应如何让选拔队员组成接力队? 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07 仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11 蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23 自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02 问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队,没人一种泳姿,且4人的用字各不相同,是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法,组成接力对的方案共有5!=120中,一一计算并作比较,即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法,随着问题规模的变大,穷举法的计算量将是无法接受的。 可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队,从而建立这个问题的0-1规划模型,借助县城的数学软件求解。 模型的建立与求解 设甲乙丙丁戊分别为队员i=1,2,3,4,5;即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1,2,3,记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij(s),既有 Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5 J=1 66 2 78 70 67 J=2 75 66 67 74 71 J=3 87 66 84 69 83 J=4 58 53 59 2 62 引入0-1变量Xij,若选择队员i参加泳姿j的比赛,记Xij-=1,否则记Xij=根据组成接力队的要求,Xij应该满足两个约束条件: 第一, 没人最多只能入选4中用字之一,记对于i=1,2,3,4,5,应有∑Xij《=1; 第二, 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选,记对于甲,2,3,4,应有∑Xij=1; 当队员i入选泳姿j是,CijXij表示他的成绩,否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij,这就是该题的目标函数。 将题目所给的数据带入这一模型,并输入LINGO: min=66*x11+75*x12+87*x13+6*x14+2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54; SUBJECT TO x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+X53=1; x14+x24+x34+x44+X54=1; @bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54); 得到如下结果 Optimal solution found at step: 12 Objective value: 8000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 0000000 00000 X13 0000000 00000 X14 000000 60000 X21 000000 20000 X22 0000000 00000 X23 0000000 00000 X24 0000000 00000 X31 0000000 00000 X32 000000 00000 X33 0000000 00000 X34 0000000 40000 X41 0000000 00000 X42 0000000 00000 X43 000000 00000 X44 0000000 20000 X51 0000000 00000 X52 0000000 00000 X53 0000000 00000 X54 0000000 00000 即当派选甲乙丙丁4人组陈和积累对,分别参加自由泳、蝶泳、仰泳、蛙泳的比赛。 参考文献 数学模型(第三版) 姜启源著 高等教育出版社
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席位分配是日常生活中经常遇到的问题,对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说,有一个学校要召集开一个代表会议,席位只有20个,三个系总共200人,分别是甲系100,乙系60,丙系如果你是会议的策划人,你要合理的分配会议厅的20个座位,既要保证每个系部都有人参加,最关键的就是要对个公平都公平,保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。
某个水塔站有一个圆筑形蓄水桶,桶底面半径为5M,高为10M,在桶底有一个活动的阀门,当水阀打开时,蓄水桶里的水就沿着连着水阀门的水管往下输水,水管半径为0.2M.设水在进入水管时的流速为V=根号下2GH(H为蓄水捅内水的高度);求在任意一时刻的水面高度和将水放空所需时间.
水资源短缺风险综合评价 摘要 本文首先对北京市的 2001-2009年得水资源短缺状况进行了调查,在综合考虑系统属性等风险过程后,利用层次分析模型对北京市各缺水影响因子的权重进行了定量分析,并基于致险因子承险因子及损害程度等影响因子构建了水资源系统风险的评价指标及模型:该指标体系由 4 层次共 20 个指标构成,能更好的表征风险的产生和构成;该模型包括参数计算与风险分级,能简便计算风险级别的划分。其次,本文在综合考虑水资源呈现能力后得出结论,北京市能应对水资源系统风险,但是仍受约束性风险限制,可通过开源节流,调整产业结构及规划水资源管理来应付然后我们对北京市 2001-2009年水资源总量,地表水资源以及地下水资源量进行了调查。运用 Matlab 处理系统对历年降水量进行了拟合,用 origin 处理系统对万元 GDP 水耗做出了拟合由此得出了缺水量波动性较大的结论。最后本文对所建模型进行了升级及完善,采用灰色模型的建立改进方法,通过对无偏 GM(1,1)模型的求解,得出 2010 年和 2011 年度致险率(RBI)、承险率(RSI)、脆弱性(CI)以及风险(ωDRi)、风险损失(DI)的值,并由此得出结论,北京市未来两年的水资源短缺风险分别为 40%和 50%,正在呈上升趋势,逐年增高,不过基本上还在约束性风险级别内,为此建议管理机构还是要约束水资源使用来防范风险,通过推荐高效水资源系统管理,促进水资源优化配置进程等途径来促进水资源系统恢复,有效地减弱风险发生及潜在损害。 关键词: 层次分析法 水资源短缺风险 多元回归 拟合 无偏 GM(1,1) 2 问题的重述 水资源,是指可供人类直接利用,能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。近年来,我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重,水资源成为焦点话题。水资源系统风险是由于天然来水的波动、地下水持续保障能力不足、供水条件落后以及水资源社会经济承载负担过重等因素综合作用的结果, 对社会、经济、环境存在潜在损害。目前北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一,其人均水资源占有量不足 300m3,为全国人均的 1/8,世界人均的 1/30,属重度缺水地区,北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是,气候变化和经济社会不断发展,水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别,对风险造成的危害等级进行划分,对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害,这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。 根据《北京 2009 统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和我们自己获得的其他资料,讨论得知北京市水资源短缺现在主要的主要原因是水资源供应小于水资源需求的矛盾,而如果想要解决这个问题,就必须要从影响因子来着手,所以问题细分为: 北京市水资源短缺的主要因子是什么? 各因子对于风险程度的贡献是多少? 北京市已经到什么样的风险程度了? 针对于主要因子我们怎样应对才能降低风险,从而做到有效调控? 北京是未来几年又将面临什么程度的水资源短缺风险,又该如何应对呢? 最后,通过建模等一系列过程进行分析检验并得出结论,且向北京市主管部门写一份建议报告。 问题的分析 北京水资源人均占有量在世界各国首都中排名百位之后。自上世纪七十年代以来,随着人口的大量增加和经济的发展,缺水成为北京面临的严重问题之一,近几年每年缺水均在 4 亿立方米左右。地下水资源开采量逐年剧增,尽管目前对地下水开采进行了限制,地下水位有所上升,但仍处于超采状态。地下水的超采会形成漏斗区,到目前为止,已经形成以朝阳区为中心,西到石景山、东至顺义、南至南苑、北到昌平约 1600 平方公里的漏斗区,引起地面沉降。由于水位不断下降,致使井越打越深,形成恶性循环。为应对这种情况,多年来,北京通过各种方式保证供水安全,除了通过调整产业结构加大节水力度,多次提高水价,强力推行农业、工业和城市节水,关、停、转移高耗水企业外,还独创了地表水、地下水、再生水、过境水、雨洪水和外调水的六水联调模式,对水资源进行合理调配,以此提高城市的供水能力。尽管方法尽施,可是但是究竟是什么导致了北京市的如此现状呢,有没有什么原因呢,该怎样解决呢,经过本小组成员的查找资料和激烈的讨论,我们认为从水资源系统结构来看, 风险来源于系统属性和过程对潜在危害的抵抗乏力。系统本身的输入主体短缺、过程波动及输出脆弱程度是导致系统风险产生的重要原因, 他们是水资源系统风险的致险因子; 水资源系统对致险因子进行反馈, 引导系统对潜在风险进行抵抗从而削减风险产生及危害, 我们将这一种反 3 馈及抵抗性质称为承险能力; 系统在致险与承险因子相互作用下, 当致险压力大于承险能力时, 风险就产生了。所以风险因子分为致险因子和承险因子,然后致险因子和承险因子又会细分为很多条。不同的因子给风险所能带来的贡献的大小是不一样的,这个可以通过建模的方式利用 Excel 或者 Matlab,origin 软件进行运算得出,之后通过制定一个风险等级将北京市的现状表现出来,并对作出巨大贡献的因子进行合理的调控。至于北京市水资源短缺未来两年的预测,我们可以用回归的思想,再用灰色理论进一步改进,即可对北京市进行预测了。 模型的假设与符号说明 假设 1:收集的北京市水资源各个数据都实际数值相差不大; 假设 2:各个影响因素不会因突发事件发生突变; 假设 3:建模收集数据真实可靠; 假设 4:建模中涉及主观分析的结论基本与事实相符; aij ——1—9 标度理论得出的第i 项较第 j 项的相对重要值 μij ——测度判断值 ωD ——准则层 D 下的相对权向量 CI —— 脆弱性 ωSi ——系统风险的发生及传递对系统损害率在相关评价指标体系上的指标权重 的重分配值 Pi——风险潜在发生概率 Ri——系统风险因子的指标值 DI——风险损失 RBI ——致险率 RSI——承险率 ωDRi——风险 b——回归系数; bint——回归系数的区间估计; r——残差; rint ——置信区间; stats——用于检验回归模型的统计量,有三个数值:相关系数r2、F值、与F对 应的概率 p。其中相关系数r2 越接近 1,说明回归方程越显著; F > F1-α(k,n-k-1)时拒绝 H0,F 越大,说明回归方程越显著;与 F对应的概率 p α < 时拒绝H0,回归模型成立。 α ——显著性水平,一般为 05或 01,本论文中为 模型建立与求解 1 针对于问题 1: 我们对北京市全年水资源总量与全年供水(用水)总量进行了调查和比较如表 1 所示。 4 表1[7]-[9] 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009全年水资源总量 2 1 4 4 2 5 8 2 8全年供水(用水)总量 9 6 8 6 5 3 8 1 5北京市全年水资源总量与全年供水(用水)总量的比较4 2 5 9 6 8 6 5 3 1 02001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009全年水资源总量全年供水(用水)总量亿立方米 利用 Origin 软件处理的三位直观图如图 1。 图1 5 如图所示北京市全年供水总量均高于水资源总量,由于 2008 年北京市举办奥运会,为了保证北京市水资源能够及时供应,所以产生了供水量与水资源总量相差不大的局面。其余年份数据反映北京市各年均呈缺水事态。 我们通过具体的系统属性,系统潜在损害指标来对系统表征层进行表征。通过对水文水资源循环机理的研究,充分考虑水资源系统风险产生和传递机制,经过层层挑选,从而得到一下 20 个评价指标(如图 2)[1]。 图 2 水资源系统风险评价指标体系图 6 说明: A 代表目标层,即水资源系统风险评价要达到的目标, 即水资源系统风险求算。 B 代表风险属性层,即表征潜在危害排除系统承险能力而产生和传递的过程。风险属性层有短缺性、波动性、脆弱性及承险性。系统承险能力通过水资源系统的承险性来表征 C 代表风险属性系统表征层,即水资源系统面临风险的综合表征层, 但不能明确地表征系统的风险, 因此需要通过系统潜在风险损害可能及损害程度来细化表征。本指标系统将风险属性层通过12个指标来体现。 D 代表评价指标层,即通过具体的系统属性、系统潜在损害指标来对系统表征层进行表征。通过对水文水资源循环机理的研究, 充分考虑水资源系统风险产生和传递机制, 经过层层挑选, 从而得到以下20个评价指标。 这些指标不但从水量、水质方面对水资源系统风险进行了表征, 还兼顾了社会、经济、生态环境的效应, 并综合考虑了人对风险的积极适应以及人的应急性处理等主观能动的作用。 我们认为从水资源系统结构来看, 风险来源于系统属性和过程对潜在危害的抵抗乏力。Kaplans 等从定量角度对风险进行了定义[2],系统本身的输入主体短缺、过程波动及输出脆弱程度是导致系统风险产生的重要原因, 他们是水资源系统风险的致险因子; 水资源系统对致险因子进行反馈, 引导系统对潜在风险进行抵抗从而削减风险产生及危害, 我们将这一种反馈及抵抗性质称为承险能力; 系统在致险与承险因子相互作用下, 当致险压力大于承险能力时, 风险就产生了。水资源系统风险的要素还包括损害程度, 致险压力、承险能力及损害程度,综合作用下的风险过程, 如图 3 所示[1]。 图3 水资源系统风险过程及属性表征 7 系统风险因子(如图2所示)可归结为致险因子和承险因子, 前者是指引起系统变化的因子, 包括系统结构的变化和外界干扰, 致使风险发生的概率为致险率; 而后者是指系统充分反馈或在历史事故后自我调节、自我适应而达到的能够应对危害的要素, 系统对风险削减能力为承险率。下面对致险因子以及承险因子进行展开讨论。 水资源系统致险因子: ① 短缺性: 指水资源系统在自身运行过程中输入主体容易受到损害的性质, 表征系统输入主体抵抗风险的不完备性。短缺性体现在系统运行的供需不满足性以及系统已经受到损害的程度。具体来看, 水资源系统的短缺性体现在使用短缺性、蓄水短缺性和环境短缺性三个方面, 即水资源缺水率、地下水超采和水体污染造成损害性。 ② 波动性: 相对于水资源系统多年正常运作的稳定程度, 波动性是指水资源系统因为系统波动或要素波动造成的系统不平衡运作的性质。系统波动性来源于系统多年的不平衡性和系统输入输出的变动性。波动可以用平均状态和极值差异来表征, 同时系统输入输出的稳定性也非常重要, 因此, 水资源系统波动性由多年波动、极值波动和水源波动来表征。 ③ 脆弱性: 表征系统面临风险的潜在损害度, 即系统潜在输出抵抗风险的脆弱程度。 脆弱性指标能够衡量因风险产生而引起的损害程度, 体现在水资源- 社会经济耦合系统中, 主要是引起社会、经济、生态应对风险能力的下降。社会损失体现在人均潜在利用能力的损失, 经济损失表征对生产活动造成的损害, 而生态损害体现在生态环境的破坏上。 水资源系统承险因子: 水资源系统本身是一个动态的开放系统, 能通过自身的反馈调节来应对风险, 系统本身形成了一套承担风险发生和阻止风险破坏的承险因子体系。水资源系统本身的资源禀赋、系统内部对风险事件形成的适应性以及风险发生时通过人为调度的应急性, 都是系统应对风险的有力保障, 是水资源系统承险因子。资源禀赋体现在水资源系统本身具有的资源条件, 如水资源保障度、水资源再生条件等; 适应性指人类在长时期的生产活动中形成的应对风险的措施、方法手段等, 包括节水措施及节水意识的形成, 以及水资源优化管理及效率提高等方面的尝试; 而应急性是人类形成的专门应对风险发生的应急管理调度措施的能力[1]。 综上所述,我们判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子包含致险因子和承险因子, 水资源系统的致险因子体现在使用,蓄水和环境三个方面, 即水资源缺水率、地下水超采和水体污染造成损害性。承险因子体现在系统本身的资源禀赋、系统内部对风险事件形成的适应性以及风险发生时通过人为调度的应急性。 2 针对于问题二: 我们认为,为了区分缺水的主要影响因素,且有针对性地对北京市进行规划和治理,我们采用层次分析模型进行了定量分析。 层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)是一种定量与定性相结合的决策方法。层次分析模型(Analytic HierarchiealModel,AHM)是AHP的简化和改进。相对来说,AHP对一致性的要求较高些。AHM的核心环节是将AHP方法中的比例标度判断矩阵(aij)n*n转换为测度判断矩阵(μij)n*n。转换公式为 : 8 式中:aij是按照1—9标度理论得出的第i项较第j项的相对重要值;一般取β=2。AHM法确定权重的主要步骤如下: ① 根据 1~9 标度理论构造两两比较矩阵,即判断矩阵A=(μij)n*n ② 根据转换公式,构造 AHM的测度判断矩阵,并逐行检验一致性。 ③ 属性AHM 复制法:对于n个指标 Dj(j=1,2,…n),比较其相对重要性并确定每个指标权重,可通过构造相对属性测度判断矩阵来实现。令μij 表示第 i 个指标相对于第 j 个指标的重要性;μji 表示第 j 个指标相对于第 i 个指标的重要性 μii表示第 i 个指标自身的比较。按属性数学的要求,规定:μii=0,μij+μji=构造如下AHM 模型。其中间的 n*n 个元素μij 构成相对属性测度评判矩阵(μij)n*n。 ④ 将测度判断矩阵的每一列正规化: ⑤ 求出判断矩阵的每一行各元素之和: ⑥ 对应向量的正规化: 则ωi即为该层次各因素对上一层某要素的相对权重。在具体应用时,在某准则D下元素间的相对权向量表示为: D ω =( 1fω , 2fω ,…, fn ω ) 其中[1]: 9 风险的传递遵循系统科学的传递原则[3]:并联系统的传递函数为两个子系统传递函数之和, 即 ωs= ωs1 ﹢ωs2 式中ωs1,ωs2分别为子系统1,2。 我们结合风险函数即上式,依据评价指标体系本文将建立基于系统属性及传递的致险率(RBI)、承险率(RSI)、脆弱性(CI)及风险损害(DI)的水资源系统风险评价参数。 Tobin和Montz提出利用风险概率(Pi)与系统脆弱性的乘积来度量风险, 本文模型构建中发现这一风险结果是对风险损害的重要体现, 由此沿用这一方法, 通过构建综合风险损害参数DI表示风险, 如下式所示: 通过指标体系, 将体现系统面临致险因子和承险因子对系统作用程度的致险率(RBI ) 及承险率(RSI)分别计算如下: 141Di iiRBI R ω==∑ 2015Di iiRSI R ω==∑ 经计算得出系统风险因子的指标值Ri (见表2),系统风险因子对于系统的贡献大小,即对系统风险权重ωD(见表3)。 表2 2001—2009北京市水资源系统风险指标值(Ri) 指标 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10Ri 0000 3500 1175 0000 4929 0000 1917 6923 7300 4857指标 D11 D12 D13 D14 D15 D16 D17 D18 D19 D20Ri 1039 0493 7586 4020 6684 2131 1086 8700 2354 3000 水资源系统风险评价指标体系中, 水资源系统脆弱性因子既代表对引起风险发生的致险因子, 又反映了水资源系统损害程度, 由此, 在表征损害程度属性时, 需要构建区别于致险率表征的损害性表征参数, 即脆弱性(CI), 指标权重(ωS)区别于致险承险体系的指标权重 ωD。 10 149Si iiCI R ω==∑ 式中: ωSi 表示系统风险的发生及传递对系统损害率在相关评价指标体系上的指标权重的重分配值(见表3的ωS)。 表3 北京市水资源系统风险评价指标权值 指标 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10ωD 2440 6609 1567 0267 0457 0770 0164 0710 0468 0300ωS 2606 0963指标 D11 D12 D13 D14 D15 D16 D17 D18 D19 D20ωD 1090 1690 0130 0890 3880 1935 2576 0515 0910 0191ωS 2541 0958 0715 2214 在对风险的计算中, 采用风险潜在发生概率(Pi)与脆弱性(CI)的乘积的算数平方根ωDRi(风险指数)来表征风险[1]: 000DiDI DIRDIω > = ≤ 结合北京市水资源系统状况, 得到北京市水资源系统风险评价指标的2001- 2009年指标值, 从而利用上式,借助Excel软件得到北京市水资源系统的致险率(RBI )、承险率(RSI)、脆弱性(CI)、风险(ωDRi)、风险损失(DI )分别为63% 、05%、46% 、3%、46% 。 参考美国军用标准(MIL-STD-882)[4]中提供的定性分析方法,根据本文风险定义及风险属性,充分考虑系统的致险因子与承险能力的相互关系,将水资源系统风险划分为5级,表征不同的风险级别,见表
数学建模论文校园供水系统结构设计
摘要,关键字,问题重述,模型假设,问题分析,模型建立,模型求解,模型检验,模型优化,参考文献,附录
数学建模的话可以参考姜启源和韩中庚的《数学建模》,建模题目的类型这两本书上都有相关模型,论文的一般格式是:摘要、问题的提出、符号说明、问题分析、模型建立、模型求解、模型的评价与推广、参考文献、附录。
摘要随着科学技术的迅速发展,数学建模这个词会越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。众所周知,建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间的一座必不可少的桥梁。本文就是运用了数学建模的有关知识解决了部分生活与生产问题。例如,本文中的第一类是解决自来水供应问题,第二类是数学专业学生选课问题,第三类是饮料厂的生产与检修计划问题,这些都是根据数学建模的知识解决的问题。不仅使问题得到了解决,还进一步优化了数学模型,使数学建模问题变得可实用性!关键词: 数学建模 Lingo软件 模型正文 第一类:自来水供应问题:齐齐哈尔市梅里斯区华丰大街周围共4个居民区:园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号。这四个居民区的自来水供应分别由A、B、C三个自来水公司供应,四个居民区每天需要得到保证的基本生活用水量分别为30,70,10,10千吨,但由于水源紧张,三个自来水公司每天最多只能分别提供50,60,50千吨自来水。由于管道输送等问题,自来水公司从水库向各个居民区送水所需付出的饮水管理费不同(见表1),其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定,各居民区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外,四个居民区都向公司申请了额外用水,分别为每天50,70,20,40千吨。该公司应如何分配用水,才能获利最多?饮水管理费(元/千吨) 园丁一号 政府六号 华丰一号 英雄一号A 160 130 220 170B 140 130 190 150C 190 200 230 /(注意:C自来水公司与丁之间没有输水管道)模型建立:决策变量为A、B、C三个自来水公司(i=1,2,3)分别向园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号四个居民区(j=1,2,3,4)的供水量。设水库i向j区的日供水量为x(ij),由题知x34=MinZ=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;约束条件:x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60; x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x1+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140; x12+x22+x32>=70; x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10; x14+x24<=50;x14+x24>=10; x(ij)>=0; 用lingo软件求解:Min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60;x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x11+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140;x12+x22+x32>=70;x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10;x14+x24<=50;x14+x24>=10;x34=0;x11>=0;x12>=0;x13>=0;x14>=0;x21>=0;x22>=0;x23>=0;x24>=0;x31>=0;x32>=0;x33>=0;运行结果:Global optimal solution found at iteration: 14 Objective value: 00Variable Value Reduced Cost X11 000000 00000 X12 00000 000000 X13 000000 00000 X14 000000 00000 X21 000000 00000 X22 00000 000000 X23 000000 00000 X24 00000 000000 X31 00000 000000 X32 000000 00000 X33 00000 000000 X34 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 00 -000000 2 000000 -0000 3 000000 -0000 4 000000 -0000 5 00000 000000 6 00000 000000 7 00000 000000 8 00000 000000 9 00000 000000 10 000000 -00000 11 00000 000000 12 000000 -00000 13 000000 000000 14 000000 000000 15 00000 000000 16 000000 000000 17 000000 000000 18 000000 000000 19 00000 000000 20 000000 000000 21 00000 000000 22 00000 000000 23 000000 000000 24 00000 000000灵敏度分析:Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X11 0000 0 0 X12 0000 0 0 X13 0000 0 0 X14 0000 0 0 X21 0000 0 0 X22 0000 0 0 X23 0000 0 0 X24 0000 0 0 X31 0000 0 0 X32 0000 0 0 X33 0000 0 0 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 00000 0 0 3 00000 0 0 4 00000 0 0 5 00000 0 0 6 00000 0 0 7 0000 0 0 8 00000 0 0 9 00000 0 0 10 00000 0 0 11 00000 0 0 12 00000 0 0 14 0 0 0 15 0 0 0 16 0 1084396E+17 1084396E+17 17 0 1084396E+17 1084396E+17 18 0 0 0 19 0 0 0 20 0 0 0 21 0 0 0 22 0 0 0 23 0 0 0 24 0 0 0 第二类:数学专业学生选课问题 学校规定,数学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、一门计算机课、一门运筹学课。这些课程的编号、名称、所属类别要求如下表:课程编号 课程名称 所属类别 先修课要求1 微积分 数学 2 数学结构 数学;计算机 计算机编程3 解析几何 数学 4 计算机模拟 计算机;运筹学 计算机编程5 计算机编程 计算机 6 数学实验 运筹学;计算机 微积分;线性代数模型的建立与求解:用xi=1表示选课表中的六门课程(xi=0表示不选,i=1,2…,6)。问题的目标为选课的课程数最少,即:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件为:x1+x2+x3>=2;x2+x4+x5+x6>=1;x4+x6>=1;x4+x2-2*x5<=0;x6-x1<=0;@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 000000Variable Value Reduced Cost X1 000000 000000 X2 000000 000000 X3 000000 000000 X4 000000 000000 X5 000000 000000 X6 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 000000 -000000 2 000000 000000 3 000000 000000 4 000000 000000 5 000000 000000 6 000000 000000第三类:饮料厂的生产与检修计划 某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需要。该厂销售科根据市场预测,已经确定了未来四周该饮料的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本,如下图。每周当饮料满足需求后有剩余时,要支出存贮费,为每周每千箱饮料2千元。如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修,检修将占用当周15千箱的生产能力,但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱,则检修应该放在哪一周,在满足每周市场需求的条件下,使四周的总费用(生产成本与存贮费)最小?周次 需求量(千箱) 生产能力(千箱) 成本(千元/千箱)1 15 30 02 25 40 13 35 45 44 25 20 5合计 100 135 模型建立:未来四周饮料的生产量分别记作x1,x2,x3,x4;记第1,2,3周末的库存量分别为y1,y2,y3;用wt=1表示检修安排在第t周(t=1,2,3,4)。输入形式:min=0*x1+1*x2+4*x3+5*x4+2*(y1+y2+y3);x1-y1=15;x2+y1-y2=25;x3+y2-y3=35;x4+y3=25;x1+15*w1<=30;x2+15*w2-5*w1<=40;x3+15*w3-5*w2-5*w1<=45;x4+15*w4-5*(w1+w2+w3)<=20;w1+w2+w3+w4=1;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;y1>=0;y2>=0;y3>=0;@bin(w1);@bin(w2);@bin(w3);@bin(w4);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 0000Variable Value Reduced Cost X1 00000 000000 X2 00000 000000 X3 00000 000000 X4 00000 000000 Y1 000000 000000 Y2 00000 000000 Y3 000000 1000000 W1 000000 -5000000 W2 000000 500000 W3 000000 000000 W4 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0000 -000000 2 000000 -000000 3 000000 -200000 4 000000 -400000 5 000000 -500000 6 000000 000000 7 000000 1000000 8 00000 000000 9 000000 000000 10 000000 000000 11 00000 000000 12 00000 000000 13 00000 000000 14 00000 000000 15 000000 000000 16 00000 000000 17 000000 000000参考文献【1】 杨启帆,边馥萍。数学建模。浙江大学出版社,1990【2】 谭永基,数学模型,复旦大学出版社,1997【3】 姜启源,数学模型(第二版)。高等教育出版社,1993【4】 姜启源,数学模型(第三版)。高等教育出版社2003
数学建模论文校园供水系统设计案例
一个很典型的数学建模问题,叫做什么“物流配送中心选址问题”,你可以到CNKI里面去搜索相关文献,其实网上也有好多这样的题目,不过由于时间关系,这种题目挺繁的,我就不解了。。。。如果你也想偷懒的话,那我预祝你得到一个好答案哦。。不过我觉得一般数学建模过的人,都能解出这个题,就是一般懒得回。。。
数学建模的话可以参考姜启源和韩中庚的《数学建模》,建模题目的类型这两本书上都有相关模型,论文的一般格式是:摘要、问题的提出、符号说明、问题分析、模型建立、模型求解、模型的评价与推广、参考文献、附录。
孩子,别等了,你也是东华理工的吧,这种行为可不好啊!!!我也在做这个课题啊,写不来是正常的,据内部人士称,此次的题目是没有几个人可以写出的来的(针对大一的啊、、、)
摘要随着科学技术的迅速发展,数学建模这个词会越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。众所周知,建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间的一座必不可少的桥梁。本文就是运用了数学建模的有关知识解决了部分生活与生产问题。例如,本文中的第一类是解决自来水供应问题,第二类是数学专业学生选课问题,第三类是饮料厂的生产与检修计划问题,这些都是根据数学建模的知识解决的问题。不仅使问题得到了解决,还进一步优化了数学模型,使数学建模问题变得可实用性!关键词: 数学建模 Lingo软件 模型正文 第一类:自来水供应问题:齐齐哈尔市梅里斯区华丰大街周围共4个居民区:园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号。这四个居民区的自来水供应分别由A、B、C三个自来水公司供应,四个居民区每天需要得到保证的基本生活用水量分别为30,70,10,10千吨,但由于水源紧张,三个自来水公司每天最多只能分别提供50,60,50千吨自来水。由于管道输送等问题,自来水公司从水库向各个居民区送水所需付出的饮水管理费不同(见表1),其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定,各居民区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外,四个居民区都向公司申请了额外用水,分别为每天50,70,20,40千吨。该公司应如何分配用水,才能获利最多?饮水管理费(元/千吨) 园丁一号 政府六号 华丰一号 英雄一号A 160 130 220 170B 140 130 190 150C 190 200 230 /(注意:C自来水公司与丁之间没有输水管道)模型建立:决策变量为A、B、C三个自来水公司(i=1,2,3)分别向园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号四个居民区(j=1,2,3,4)的供水量。设水库i向j区的日供水量为x(ij),由题知x34=MinZ=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;约束条件:x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60; x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x1+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140; x12+x22+x32>=70; x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10; x14+x24<=50;x14+x24>=10; x(ij)>=0; 用lingo软件求解:Min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60;x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x11+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140;x12+x22+x32>=70;x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10;x14+x24<=50;x14+x24>=10;x34=0;x11>=0;x12>=0;x13>=0;x14>=0;x21>=0;x22>=0;x23>=0;x24>=0;x31>=0;x32>=0;x33>=0;运行结果:Global optimal solution found at iteration: 14 Objective value: 00Variable Value Reduced Cost X11 000000 00000 X12 00000 000000 X13 000000 00000 X14 000000 00000 X21 000000 00000 X22 00000 000000 X23 000000 00000 X24 00000 000000 X31 00000 000000 X32 000000 00000 X33 00000 000000 X34 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 00 -000000 2 000000 -0000 3 000000 -0000 4 000000 -0000 5 00000 000000 6 00000 000000 7 00000 000000 8 00000 000000 9 00000 000000 10 000000 -00000 11 00000 000000 12 000000 -00000 13 000000 000000 14 000000 000000 15 00000 000000 16 000000 000000 17 000000 000000 18 000000 000000 19 00000 000000 20 000000 000000 21 00000 000000 22 00000 000000 23 000000 000000 24 00000 000000灵敏度分析:Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X11 0000 0 0 X12 0000 0 0 X13 0000 0 0 X14 0000 0 0 X21 0000 0 0 X22 0000 0 0 X23 0000 0 0 X24 0000 0 0 X31 0000 0 0 X32 0000 0 0 X33 0000 0 0 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 00000 0 0 3 00000 0 0 4 00000 0 0 5 00000 0 0 6 00000 0 0 7 0000 0 0 8 00000 0 0 9 00000 0 0 10 00000 0 0 11 00000 0 0 12 00000 0 0 14 0 0 0 15 0 0 0 16 0 1084396E+17 1084396E+17 17 0 1084396E+17 1084396E+17 18 0 0 0 19 0 0 0 20 0 0 0 21 0 0 0 22 0 0 0 23 0 0 0 24 0 0 0 第二类:数学专业学生选课问题 学校规定,数学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、一门计算机课、一门运筹学课。这些课程的编号、名称、所属类别要求如下表:课程编号 课程名称 所属类别 先修课要求1 微积分 数学 2 数学结构 数学;计算机 计算机编程3 解析几何 数学 4 计算机模拟 计算机;运筹学 计算机编程5 计算机编程 计算机 6 数学实验 运筹学;计算机 微积分;线性代数模型的建立与求解:用xi=1表示选课表中的六门课程(xi=0表示不选,i=1,2…,6)。问题的目标为选课的课程数最少,即:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件为:x1+x2+x3>=2;x2+x4+x5+x6>=1;x4+x6>=1;x4+x2-2*x5<=0;x6-x1<=0;@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 000000Variable Value Reduced Cost X1 000000 000000 X2 000000 000000 X3 000000 000000 X4 000000 000000 X5 000000 000000 X6 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 000000 -000000 2 000000 000000 3 000000 000000 4 000000 000000 5 000000 000000 6 000000 000000第三类:饮料厂的生产与检修计划 某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需要。该厂销售科根据市场预测,已经确定了未来四周该饮料的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本,如下图。每周当饮料满足需求后有剩余时,要支出存贮费,为每周每千箱饮料2千元。如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修,检修将占用当周15千箱的生产能力,但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱,则检修应该放在哪一周,在满足每周市场需求的条件下,使四周的总费用(生产成本与存贮费)最小?周次 需求量(千箱) 生产能力(千箱) 成本(千元/千箱)1 15 30 02 25 40 13 35 45 44 25 20 5合计 100 135 模型建立:未来四周饮料的生产量分别记作x1,x2,x3,x4;记第1,2,3周末的库存量分别为y1,y2,y3;用wt=1表示检修安排在第t周(t=1,2,3,4)。输入形式:min=0*x1+1*x2+4*x3+5*x4+2*(y1+y2+y3);x1-y1=15;x2+y1-y2=25;x3+y2-y3=35;x4+y3=25;x1+15*w1<=30;x2+15*w2-5*w1<=40;x3+15*w3-5*w2-5*w1<=45;x4+15*w4-5*(w1+w2+w3)<=20;w1+w2+w3+w4=1;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;y1>=0;y2>=0;y3>=0;@bin(w1);@bin(w2);@bin(w3);@bin(w4);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 0000Variable Value Reduced Cost X1 00000 000000 X2 00000 000000 X3 00000 000000 X4 00000 000000 Y1 000000 000000 Y2 00000 000000 Y3 000000 1000000 W1 000000 -5000000 W2 000000 500000 W3 000000 000000 W4 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0000 -000000 2 000000 -000000 3 000000 -200000 4 000000 -400000 5 000000 -500000 6 000000 000000 7 000000 1000000 8 00000 000000 9 000000 000000 10 000000 000000 11 00000 000000 12 00000 000000 13 00000 000000 14 00000 000000 15 000000 000000 16 00000 000000 17 000000 000000参考文献【1】 杨启帆,边馥萍。数学建模。浙江大学出版社,1990【2】 谭永基,数学模型,复旦大学出版社,1997【3】 姜启源,数学模型(第二版)。高等教育出版社,1993【4】 姜启源,数学模型(第三版)。高等教育出版社2003
数学建模论文校园供水系统设计方案
数学建模的话可以参考姜启源和韩中庚的《数学建模》,建模题目的类型这两本书上都有相关模型,论文的一般格式是:摘要、问题的提出、符号说明、问题分析、模型建立、模型求解、模型的评价与推广、参考文献、附录。还有点就是你的会计算软件,很多的题目手算是算不出来的。
1、一小时10%*100、二小时为10%*90以此类推、、、、可得。2、池的容量没给出,如何帮你啊???
摘要随着科学技术的迅速发展,数学建模这个词会越来越多的出现在现代人的生产、工作和社会活动中。众所周知,建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间的一座必不可少的桥梁。本文就是运用了数学建模的有关知识解决了部分生活与生产问题。例如,本文中的第一类是解决自来水供应问题,第二类是数学专业学生选课问题,第三类是饮料厂的生产与检修计划问题,这些都是根据数学建模的知识解决的问题。不仅使问题得到了解决,还进一步优化了数学模型,使数学建模问题变得可实用性!关键词: 数学建模 Lingo软件 模型正文 第一类:自来水供应问题:齐齐哈尔市梅里斯区华丰大街周围共4个居民区:园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号。这四个居民区的自来水供应分别由A、B、C三个自来水公司供应,四个居民区每天需要得到保证的基本生活用水量分别为30,70,10,10千吨,但由于水源紧张,三个自来水公司每天最多只能分别提供50,60,50千吨自来水。由于管道输送等问题,自来水公司从水库向各个居民区送水所需付出的饮水管理费不同(见表1),其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定,各居民区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外,四个居民区都向公司申请了额外用水,分别为每天50,70,20,40千吨。该公司应如何分配用水,才能获利最多?饮水管理费(元/千吨) 园丁一号 政府六号 华丰一号 英雄一号A 160 130 220 170B 140 130 190 150C 190 200 230 /(注意:C自来水公司与丁之间没有输水管道)模型建立:决策变量为A、B、C三个自来水公司(i=1,2,3)分别向园丁一号,政府六号,华丰一号,英雄一号四个居民区(j=1,2,3,4)的供水量。设水库i向j区的日供水量为x(ij),由题知x34=MinZ=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;约束条件:x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60; x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x1+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140; x12+x22+x32>=70; x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10; x14+x24<=50;x14+x24>=10; x(ij)>=0; 用lingo软件求解:Min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;x11+x12+x13+x14=50; x21+x22+x23+x24=60;x31+x32+x33=50; x11+x21+x31<=80; x11+x21+x31>=30; x12+x22+x32<=140;x12+x22+x32>=70;x13+x23+x33<=30; x13+x23+x33>=10;x14+x24<=50;x14+x24>=10;x34=0;x11>=0;x12>=0;x13>=0;x14>=0;x21>=0;x22>=0;x23>=0;x24>=0;x31>=0;x32>=0;x33>=0;运行结果:Global optimal solution found at iteration: 14 Objective value: 00Variable Value Reduced Cost X11 000000 00000 X12 00000 000000 X13 000000 00000 X14 000000 00000 X21 000000 00000 X22 00000 000000 X23 000000 00000 X24 00000 000000 X31 00000 000000 X32 000000 00000 X33 00000 000000 X34 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 00 -000000 2 000000 -0000 3 000000 -0000 4 000000 -0000 5 00000 000000 6 00000 000000 7 00000 000000 8 00000 000000 9 00000 000000 10 000000 -00000 11 00000 000000 12 000000 -00000 13 000000 000000 14 000000 000000 15 00000 000000 16 000000 000000 17 000000 000000 18 000000 000000 19 00000 000000 20 000000 000000 21 00000 000000 22 00000 000000 23 000000 000000 24 00000 000000灵敏度分析:Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X11 0000 0 0 X12 0000 0 0 X13 0000 0 0 X14 0000 0 0 X21 0000 0 0 X22 0000 0 0 X23 0000 0 0 X24 0000 0 0 X31 0000 0 0 X32 0000 0 0 X33 0000 0 0 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 00000 0 0 3 00000 0 0 4 00000 0 0 5 00000 0 0 6 00000 0 0 7 0000 0 0 8 00000 0 0 9 00000 0 0 10 00000 0 0 11 00000 0 0 12 00000 0 0 14 0 0 0 15 0 0 0 16 0 1084396E+17 1084396E+17 17 0 1084396E+17 1084396E+17 18 0 0 0 19 0 0 0 20 0 0 0 21 0 0 0 22 0 0 0 23 0 0 0 24 0 0 0 第二类:数学专业学生选课问题 学校规定,数学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、一门计算机课、一门运筹学课。这些课程的编号、名称、所属类别要求如下表:课程编号 课程名称 所属类别 先修课要求1 微积分 数学 2 数学结构 数学;计算机 计算机编程3 解析几何 数学 4 计算机模拟 计算机;运筹学 计算机编程5 计算机编程 计算机 6 数学实验 运筹学;计算机 微积分;线性代数模型的建立与求解:用xi=1表示选课表中的六门课程(xi=0表示不选,i=1,2…,6)。问题的目标为选课的课程数最少,即:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件为:x1+x2+x3>=2;x2+x4+x5+x6>=1;x4+x6>=1;x4+x2-2*x5<=0;x6-x1<=0;@bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); @bin(x5); @bin(x6);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 000000Variable Value Reduced Cost X1 000000 000000 X2 000000 000000 X3 000000 000000 X4 000000 000000 X5 000000 000000 X6 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 000000 -000000 2 000000 000000 3 000000 000000 4 000000 000000 5 000000 000000 6 000000 000000第三类:饮料厂的生产与检修计划 某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需要。该厂销售科根据市场预测,已经确定了未来四周该饮料的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的生产能力和生产成本,如下图。每周当饮料满足需求后有剩余时,要支出存贮费,为每周每千箱饮料2千元。如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修,检修将占用当周15千箱的生产能力,但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱,则检修应该放在哪一周,在满足每周市场需求的条件下,使四周的总费用(生产成本与存贮费)最小?周次 需求量(千箱) 生产能力(千箱) 成本(千元/千箱)1 15 30 02 25 40 13 35 45 44 25 20 5合计 100 135 模型建立:未来四周饮料的生产量分别记作x1,x2,x3,x4;记第1,2,3周末的库存量分别为y1,y2,y3;用wt=1表示检修安排在第t周(t=1,2,3,4)。输入形式:min=0*x1+1*x2+4*x3+5*x4+2*(y1+y2+y3);x1-y1=15;x2+y1-y2=25;x3+y2-y3=35;x4+y3=25;x1+15*w1<=30;x2+15*w2-5*w1<=40;x3+15*w3-5*w2-5*w1<=45;x4+15*w4-5*(w1+w2+w3)<=20;w1+w2+w3+w4=1;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;y1>=0;y2>=0;y3>=0;@bin(w1);@bin(w2);@bin(w3);@bin(w4);运行结果:Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 0000Variable Value Reduced Cost X1 00000 000000 X2 00000 000000 X3 00000 000000 X4 00000 000000 Y1 000000 000000 Y2 00000 000000 Y3 000000 1000000 W1 000000 -5000000 W2 000000 500000 W3 000000 000000 W4 000000 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0000 -000000 2 000000 -000000 3 000000 -200000 4 000000 -400000 5 000000 -500000 6 000000 000000 7 000000 1000000 8 00000 000000 9 000000 000000 10 000000 000000 11 00000 000000 12 00000 000000 13 00000 000000 14 00000 000000 15 000000 000000 16 00000 000000 17 000000 000000参考文献【1】 杨启帆,边馥萍。数学建模。浙江大学出版社,1990【2】 谭永基,数学模型,复旦大学出版社,1997【3】 姜启源,数学模型(第二版)。高等教育出版社,1993【4】 姜启源,数学模型(第三版)。高等教育出版社2003
数学建模论文 题 目 生活中的数学建模问题 学 院 专业班级 学生姓名 成 绩 年 月 日 摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点,怎样安排输送 方案使利润最大?各种类型的货物装箱,由于受体积、重量等的限制,如何相互搭配装载,使获利最高?若干项任务分给一些候选人来完成,因为每个人的专长不同,他们完成任务的效益就不一样,如何分派使获得的总效益最大?本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。 关键词:获利最多,0-1变量 一. 自来水输送问题 问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区,自来水由A,B,C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80,50,10,20千吨,但由于水源紧张,三个水库每天 只能分别供应60,70,40千吨自来水。由于地理位置的差别,自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同(见下表),其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定,各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外,四个区都向公司申请了额外用水量,分别为10,20,30,50千吨。该公司应如何分配供水量,才能获利更多? 引水管理费(元每千吨) 甲 乙 丙 丁 A 160 130 220 170 B 140 130 190 150 C 190 200 230 ---- 问题分析 分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案,目标是获利最多,而从题目给出的数据看,A,B,C三个水可的供水量170千吨,不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨,因而总能全部卖出并获利,于是自来水公司每天的总收入是950*(60+70+40)=161500元,与送水方案无关。同样,公司每天的其他管理费为400*(60+70+40)=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大,只须是引水管理费最小即可。另外,送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。 模型建立 决策变量为A、B、C、三个水库(i=1,2,3)分别向甲、乙、丙、丁四个小区(j=1,2,3,4)的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道,即X34=0,因此只有11个决策变量。 由上分析,问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少,于是有 min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33; 约束条件有两类:一类是水库的供应量限制,另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利,水库的供应量限制可以表示为 x11+x12+x13+x14=60; x21+x22+x23+x24=70; x31+x32+x33=40; 考虑到歌曲的基本用水量月外用水量,需求量限制可以表示为 80<=x21+x11+x31; 50<=x12+x22+x32; 10<=x13+x23+x33; 20<=x14+x24; x21+x11+x31<=90; x12+x22+x32<=70; x13+x23+x33<=40; x14+x24<=70; 模型求解 将以上式子,输入LINGO求解,得到如下输出: Optimal solution found at step: 10 Objective value: 00 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 00000 0000000 X13 0000000 00000 X14 0000000 00000 X21 00000 0000000 X22 0000000 0000000 X23 0000000 00000 X24 00000 0000000 X31 00000 0000000 X32 0000000 00000 X33 00000 0000000 送水方案为:A水库向乙区供水60千吨,B水库甲区、丁区分别供水50,20千吨,C水库向甲、丙分别供水30,10千吨。引水管理费为25800元,利润为161500-68000-25800=67700元。 二. 货机装运 问题 某架火机油三个货舱:前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限,如下表所示,并且,为了保持飞机的平衡,三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。 前舱 中舱 后舱 重量限制(吨) 15 26 12 体积限制(立方米) 8000 9000 6000 现有四类货物供该伙计本次飞行装运,其有关信息如下表所示,最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运,使货机本次飞行获利最大? 重量(吨) 空间 利润(元每千吨) 货物1 20 480 3500 货物2 18 650 4000 货物3 35 600 3500 货物4 15 390 3000 模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求,我们可以作如下假设: (1) 每种货物可以分割到任意小; (2) 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布; (3) 多种货物可以混装,并保证不留空隙。 模型建立 决策变量:用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量(吨),货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。 决策目标是最大化利润,即 max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43); 约束条件包括以下4个方面: (1)供装载的四种货物的总重量约束,即 x11+x12+x13<=20; x21+x22+x23<=18; x31+x32+x33<=35; x41+x42+x43<=15; (2)三个货舱的重量限制,即 x11+x21+x31+x41<=15; x12+x22+x32+x42<=26; x13+x23+x33+x43<=12; (3)三个货舱的空间限制,即 480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000; 480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000; 480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000; (4)三个货舱装入重量的平衡约束,即 (x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26; (x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12; 模型求解 将以上模型输入LINGO求解,可以得到: Optimal solution found at step: 10 Objective value: 1 Variable Value Reduced Cost X11 5055147 0000000 X12 562500 0000000 X13 286953 0000000 X21 93439 0000000 X22 0000000 843 X23 065611 0000000 X31 0000000 4547474E-12 X32 0000000 654 X33 599359 0000000 X41 0000000 740 X42 00000 0000000 X43 0000000 740 实际上,不妨将所得最优解四舍五入,结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨;货物2装入前舱12吨、后舱6吨;货物3装入后舱2吨;货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。 三. 混合泳接力队的选拔 问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队,参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示,问应如何让选拔队员组成接力队? 甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07 仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11 蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23 自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02 问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队,没人一种泳姿,且4人的用字各不相同,是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法,组成接力对的方案共有5!=120中,一一计算并作比较,即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法,随着问题规模的变大,穷举法的计算量将是无法接受的。 可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队,从而建立这个问题的0-1规划模型,借助县城的数学软件求解。 模型的建立与求解 设甲乙丙丁戊分别为队员i=1,2,3,4,5;即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1,2,3,记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij(s),既有 Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5 J=1 66 2 78 70 67 J=2 75 66 67 74 71 J=3 87 66 84 69 83 J=4 58 53 59 2 62 引入0-1变量Xij,若选择队员i参加泳姿j的比赛,记Xij-=1,否则记Xij=根据组成接力队的要求,Xij应该满足两个约束条件: 第一, 没人最多只能入选4中用字之一,记对于i=1,2,3,4,5,应有∑Xij《=1; 第二, 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选,记对于甲,2,3,4,应有∑Xij=1; 当队员i入选泳姿j是,CijXij表示他的成绩,否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij,这就是该题的目标函数。 将题目所给的数据带入这一模型,并输入LINGO: min=66*x11+75*x12+87*x13+6*x14+2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54; SUBJECT TO x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+X53=1; x14+x24+x34+x44+X54=1; @bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54); 得到如下结果 Optimal solution found at step: 12 Objective value: 8000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0000000 00000 X12 0000000 00000 X13 0000000 00000 X14 000000 60000 X21 000000 20000 X22 0000000 00000 X23 0000000 00000 X24 0000000 00000 X31 0000000 00000 X32 000000 00000 X33 0000000 00000 X34 0000000 40000 X41 0000000 00000 X42 0000000 00000 X43 000000 00000 X44 0000000 20000 X51 0000000 00000 X52 0000000 00000 X53 0000000 00000 X54 0000000 00000 即当派选甲乙丙丁4人组陈和积累对,分别参加自由泳、蝶泳、仰泳、蛙泳的比赛。 参考文献 数学模型(第三版) 姜启源著 高等教育出版社