数学思维与文化论文范文大全高中
数学作为一种文化现象,早已是人们的常识。历史地看,古希腊和文艺复兴时期的文化名人,往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来,爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(LAWhite)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(MKline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。认识和实施数学文化教育进入21世纪之后,数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂,渗入实际数学教学,努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染,产生文化共鸣,体会数学的文化品位,体察社会文化和数学文化之间的互动。那么,如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢?笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。认识数学文化的民族性和世界性每个民族都有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是,它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治(广大奴隶不能享受这种民主)。男性奴隶主的全体大会选举执政官,对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主,往往需要用理由说服对方,使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理,也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”,规定一些名词的意义,然后把要陈述的命题,称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气,但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治,而是实行君王统治制度。春秋战国时期,也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家,主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此,中国的古代数学,多半以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此,从文化意义上看,中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”,存在的形式则是官方的文书。古希腊的文化时尚,是追求精神上享受,以获得对大自然的理解为最高目标。因此,“对顶角相等”这样的命题,在《几何原本》里列入命题15,借助公理3(等量减等量,其差相等)给予证明。在中国的数学文化里,不可能给这样的直观命题留下位置。 同样,中国数学强调实用的管理数学,却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法,以及杨辉(贾宪)三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题,也只能在中国诞生,而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统,同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造,包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候,我们作为地球村的村民,一定要溶入世界数学文化,将民族性和世界性有机地结合起来。揭示数学文化内涵,走出数学孤立主义的阴影数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界,常常有“数学=逻辑”的观念。据调查,学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”,或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1],“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说,一个充满活力的数学美女,只剩下一副X光照片上的骨架了!数学的内涵,包括用数学的观点观察现实,构造数学模型,学习数学的语言、图表、符号表示,进行数学交流。通过理性思维,培养严谨素质,追求创新精神,欣赏数学之美。半个多世纪以前,著名数学家柯朗(RCourant)在名著《数学是什么》的序言中这样写道:“今天,数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势,而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造,其目的是要真正理解数学是一个有机整体,是科学思考与行动的基础。” 2002年8月20日,丘成桐接受《东方时空》的采访时说:“我把《史记》当作歌剧来欣赏”,“由于我重视历史,而历史是宏观的,所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点,和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。 《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》,其中提到:“这使我明白了:数学本身很美,然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题,不是去完善许多数学方法,我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲,我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’,而不是制刀的‘刀匠’,更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。和所有文化现象一样,数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化,一方面拒人于千里之外,使人望数学而生畏;另一方面,又孤芳自赏,自言自语,令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学,原本是青少年喜爱的学科,却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化,会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化,数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。多侧面地开展数学文化研究谈到数学文化,往往会联想到数学史。确实,宏观地观察数学,从历史上考察数学的进步,确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是,除了这种宏观的历史考察之外,还应该有微观的一面,即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角,力求多侧面地展现数学文化。 数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说,中学课程里有“对称”,文学中则有“对仗”。对称是一种变换,变过去了却有些性质保持不变。轴对称,即是依对称轴对折,图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么?无非是上联变成下联,但是字词句的某些特性不变。王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”。这里,明月对清泉,都是自然景物,没有变。形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质,在文化中、文学中、数学中,都广泛存在着。数学中的“对偶理论”,拓扑学的变与不变,都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出:“孤帆远影碧空尽”,正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云:“前不见古人,后不见来者,念天地之悠悠,独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来,时间是两头无限的,以他自己为原点,恰可比喻为一条直线。天是平面,地是平面,人类生活在这悠远而空旷的时空里,不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。 数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式,就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀,“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”,在中国语言里比喻“有绝对把握”,但是,这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外,“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系(计算复杂性问题),正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。 数学的宏观和微观认识。宏观和微观是从物理学借用过来的,后来变成一种常识性的名词。以函数为例,初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分,其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说,实际上是宏观观察,主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处,函数值在这一段,还是下一段,差一点都不行。政治上有全局和局部,物理上有牛顿力学与量子力学,电影中有全景和细部,国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画,其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢? 数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ?”是不是和谐美?二次方程的求根公式美不美?这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐,立体几何课总得说说绘画,如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔(MCEscher)的画、计算机画出的分形图,也是数学美的表现。总之,数学文化离不开数学史,但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时,数学就会更加平易近人,数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
巧用现代教育技术,让生活走进数学课堂 单位:北滘镇水口小学作者:黄庆莲联系电话:26657359 巧用现代教育技术,让生活走进数学课堂摘要:数学源于生活,应用于生活,新教学理念要求教师注重渗透生活中处处有数学的观念,鼓励学生学以致用。因此文章结合教材内容和生活实际,运用多媒体教学,将信息技术融合到小学数学教学中来,同时使教师拓展知识视野,改变传统的学科科学内容,使教材“活”起来。关键字:多媒体 数学 生活《数学课程标准》明确指出:“要重视从学生的生活实践经验中学习数学和理解数学”,指出“要重视从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事情中提供观察和操作的机会,使他们感受到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感。”这一要求揭示了数学与实际生活的关系。所以数学教学内容应力求从学生熟悉的生活情境出发设计数学问题,让学生真正体验数学与生活的关系,提高解决实际问题的能力。数学源于生活,应用于生活,新教学理念要求教师注重渗透生活中处处有数学的观念,鼓励学生学以致用。因此,结合运用多媒体教学,将信息技术融合到小学数学教学中来,充分运用各种信息资源,引入时代活水,使学生的学习内容更贴近生活和现代科技,同时也可以使教师拓展知识视野,改变传统的学科科学内容,使教材“活”起来。在课堂教学中,如何让生活走进数学课堂,实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”。我认为应从下面几方面着手:第一、运用多媒体技术让数学与生活紧密联系起来《数学课程标准》所提出“有价值”的数学应该与学生的现实生活密切联系的;应该充分考虑数学发展中人类的活动轨迹,贴近学生熟悉的现实生活。这样的数学课程对他们才有吸引力,才使他们产生兴趣,才有益于学生理解数学。才是“人人要学的数学”。传统的小学数学教学很大程度上把学生所学知识与实践能力及从生活中去发现数学的能力。生活是数学的归宿,也就是数学必须服务于生活,发展于生活。《数学课程标准》里提到实现“人人获得必须的数学”有多种途径,最基本的是从学生自己熟悉的生活背景中发现数学、掌握数学和运用数学,在此过程中体验数学与周围世界的联系,以及数学在社会生活中的作用和意义,感受成功,增进自信。在数学教学实践中,作为教师要善于从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发,充分运用多媒体教学,运用生活经验,让学生自主发现问题,给予观察、操作、实践探索的机会,使学生体会到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,这就要求我们把数学与生活紧密联系起来,不但要把生活引进课堂,而且让学生带着数学走进生活,去理解生活中的数学,去体会数学的价值。第二、利用多媒体创设生活情境,让学生在具体生动的生活情境中学习苏霍姆林斯基指出,教师在教学中如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态,而只是不动情感的脑力劳动,就会带来疲倦。因此,我们的教学应营造一种轻松愉快的情境,使学生乐此不疲地致力于学习内容。数学离不开生活,生活中处处有数学。在课堂教学中,以教材为蓝本,利用计算机教学软件的集直观性、多变性、知识性、趣味性于一体等特点,为学生提供生动逼真的教学情境,让学生在具体生动的生活情境中学习,从而激发学生学习数学的兴趣,充分调动学生学习的积极性和主动性,诱导学生积极思维,使其产生内在学习动机,并主动参与教学活动。心理研究表明:当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近,学生自觉接纳知识的程度就越高。从学生熟悉的生活背景、轻松和谐的课堂氛围入手,让学生置身于日常生活中来学习知识,让知识和日常生活交融。这样既激发了学生的求知欲,又让学生感到数学无处不在,体会到知识来源于生活,进而乐此不彼地学习。创设生活角色情境,就是让学生在学中体验生活角色的一种教学方法,对于活跃课堂气氛,提高学生学习兴趣,激发学生想象力、创造力、表现力都起着不可预估的作用。所以在日常教学中,应创设这样的情境,创设与学生生活环境、知识背景密切相关的,又是学生感兴趣的学习情境,使学生感觉到在课堂上学习就象在日常生活中遇到了数学问题一样,从而激发学生学习的兴趣,充分调动学生学习的积极性。如在“买文具”的教学中,可以运用多媒体创设这样的情境:售货员阿姨粗心地把笔记本标价牌上的小数点位置写错了,3.5元写成了0.35元,会造成什么后果? 利用这个情境,激活学生先前的生活经验,引导学生观察“橱窗”里陈列着的文具,让同桌互相说一说每一种文具的单价是几元几角几分。通过同伴之间的交流,促进每个学生去感受和理解每个文具标价牌上小数所表示的意义。又如教学“平移和旋转”,首先结合生活中具体的实例,如“缆车沿笔直的索道滑行、国旗沿着旗杆徐徐上升、直升飞机起飞时的螺旋桨运动、小风车迎风旋转等来感知平移和旋转现象。把抽象的相关的各种数学术语让学生迅速理解,既活跃了课堂气氛,又高效地完成了教学任务。第三、联系生活中的实际问题,运用多媒体教学,激起学生自主探究的欲望新课程强调人人学有价值的数学,人人学有用的数学。因此,数学学习必须加强与生活实际的联系,让学生感受到生活中处处有数学。数学只有回到生活中,才会显示其价值和魅力,学生只有回到生活中运用数学,才能真实地显现其数学学习水平。过去的数学教学往往比较重视解答现有的数学问题,即课本上已经经过处理的问题。学生只要按照学会的解题方法,一步一步去解决就可以了,不需要把所理解的数学问题内化到生活中去,解决现实中的各种问题。新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活中的现象,自主地解决生活中的实际问题。数学学习是与“现实”生活密切相关的,学生从现实中学习数学,再把学到的数学应用到现实中去,这样就可以通过自己的认知活动,实现数学观念的构建,促进知识结构的优化。因此,我们的数学教学应当注重理论联系实际,使问题生活化,尽可能地引入更多的具有真实意义的问题,使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学,并培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。比如:“买文具”、“整理书”、“铺地面”、“统计”等。这些都是生活中的数学问题,初步学会运用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题;形成勇于探索、勇于创新的科学精神;获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实和必要的应用技能。使学生在学习数学的同时体会到学有用的数学、生活中的数学。又如:生活中处处都要用到估算,要求学生估算一下卧室的面积是多少,估算一下学校操场的长和宽各是多少,鼓励学生节约用电,让学生估算一下如果一个学生一个月节约五度电,那么十个同学一个月节约几度电?全校同学呢。在教学中引导学生寻找生活中的数学问题,既可以积累知识,让学生通过如此切身的问题感受到数学的价值所在,更是培养学生探索意识和应用意识的最佳途径。而且这样也是把枯燥的知识变成了学生感兴趣的活生生的题目,使学生积极主动地投入到学习生活中,让学生发现数学就在自己身边,从而提高学生用数学思想来看待问题的能力。四、运用多媒体教学使学生获得广泛的实践活动经验为了使学生在学习数学知识的同时,能初步接触和逐渐掌握课堂中所学到的数学知识,不断增强数学意识,就必须在数学教学过程中加强实践活动,使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题,认识现实中的问题和数学问题之间的联系和区别。让学生通过动手操作学习数学,自己主动地发现一些数学问题的解题方法或得出有关结论,教师要运用多媒体教学创设一定的情境引导并参与到学生的动手操作中去。例如:三年级下册教材除了安排了“森林旅游”、“旅游中的数学”、和“体育中的数学”3个较大的实践活动个,还在正文或练习中提供了如下的实践活动:到商店调查3种商品的价格,并做好记录;找找生活中的小数,并与同伴说说;调查自己家两个月水电费开支情况,并记录下来,通过分析数据把你的感受与同伴说一说;收集一些对称图形、图案和照片在班里展览等。让学生经历以上一系列的观察、操作、制作、调查、推理等实践活动,在合作与交流的过程中,获得良好的情感体验;获得并积累更多的数学活动的初步经验,能够运用所学知识和方法解决简单问题;感受数学在日常生活中的作用。这样让学生养成留心观察周围事物,有意识地用数学的观点去认识周围事物的习惯,并自觉把所学习的知识与现实中的事物建立联系。总之,现代教育技术呼唤着数学课堂的生命活力,恰当地选准多媒体与数学课堂教学的最佳结合点,适时适量的运用多媒体,不仅能充分调动学生的积极性,激发学生的求知欲,活跃学生的思维,拓展学生的想象力,而且能让学生通过信息技术,感受到数学与实际紧密联系。让生活与数学教学相衔接,让学生从生活中寻找数学素材,感受生活中处处有数学,教学中教师应结合生活实际,抓住典型事例,教给思考方法,让学生真正体会到数学学习的趣味性和实用性,使学生发现生活数学,喜欢数学,这样教学既便于教师的组织教学,也利于学生的操作探索。也只有做到数学与生活结合起来,才能彻底贯彻这一点,让数学学习真正地“活”起来,努力构建生活数学体系。 参考文献:《数学课程标准》
数学思维与文化论文范文大全初中
数学文化 人类共同的精神财富——数学,数学是人类智慧的结晶,它表达了人类思维中生动活泼的意念,表达了人类对客观世界深入细致的思考,以及人类追求完美和谐的愿望。 早在古希腊时代,哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说:“几何学可以将灵魂引向真理,并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真,也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己,使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时,也认识人类自己。在这个认识过程中,数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的,它是现代科学技术的语言和工具,它的成果为众多学科所共识,积极推动着这些学科理论的建立和深化,它的思维方式和方法渗透到各学科,为这些学科的发展增添了活力。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念,作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰,推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊,整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然,任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨,但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此,数学方法成为人们一种典范的认识方法,帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来,人类的思想发生了巨大变化,人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中,数学思想和方法却一直延续发展了几千年,表现出了强大的生命力。数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内,人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律,以此来描述物体多种多样的运动,解释各种现象,同时借助于数学探求事物的机理,预测事物未来的发展变化,探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算,在数学思想方法的启发和帮助下,解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信,世界的合理性可以用数学来描述。数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式,而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论,记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机,危机似乎动摇了数学的基础,而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础,使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中,也形成了像数理逻辑这样的数学新分支,推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性,这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样,其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维,影响一个民族文化进步。解析几何和微积分的创立,使变量成为数学的研究对象。数学思想、内容、方法上的革新,使数学的面貌焕然一新。而数学研究运动、变化的思想和方法,以及数学所取得的进展,对打破科学研究中形而上学的枷锁,把辩证法引入到科学的思维中,起到了推波助澜的作用。今天,恐怕没有一个有文化的人不懂得“增长速度”,“变化率”的含义,人们己经习惯从运动和变化的观点来研究事物。数学促进了几乎所有学科的发展,直接或间接地影响了每一个有文化的人的思维。影响人类的精神生活,提高和丰富了人类的整个精神文明水平。(2)数学对人的文化素养影响面对飞跃发展的科学技术,人必须具备必要的数学知识和技能,以训练心智、陶冶情操,更好的理解周围的世界,从而更客观的认识人类社会。例如“今年前六个月的居民存款比去年同期增速下降1个百分点。”“今天降水概率是50%”。“信息高速公路”、“数字信息”等他们的含义都是什么?数学对人的文化素质的影响,至少表现在如下几个方面:有利于培养严谨的思维方式。尽管大多数人将来不会成为数学家,但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。同时,数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。如圆是一个完美的图形,可用方程来表示,我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质,进一步还可以用方程来表示球,那么我们为什么不考虑下列方程以及。仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间,从有形进入了无形,从现实进入了虚拟世界。有利于培养人的创新精神。数学是人类理性文明高度发展的结晶,又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展,都需要研究新问题,根据实际情况做出恰如其分的分析,并由此找到解决问题的途径。这就体现出人的巨大创造力。有利于培养科学的审美观。人对美的理解各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等相联系。而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异一,数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。二,数学:一种思想方法数学是研究量的科学。它研究客观对象量的变化、关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。这些表现方式主要有:提供数量分析和计算工具;提供推理工具;建立数学模型。任何一种数学方法的具体运用,首先必须将研究对象数量化,进行数量分析、测量和计算。毛泽东同志曾指出:“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面,要有基本的数量的分析。任何质量都表现为一定的数量,没有数量也就没有质量。”(注:《毛泽东选集》第4卷第1443页,人民出版社1990年版。)例如太阳系第八大行星——海王星的发现,就是由亚当斯(J C Adams)和勒维烈(U J Leverrier)运用万有引力定律,通过复杂的数量分析和计算,在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。数学作为推理工具的作用是巨大的。特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界,推理更有其独到的功效,例如正电子的预言,就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。值得指出的是,数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法,已经成为应用数学最本质的思想方法之一。模型这一概念在数学上已变得如此重要,以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。怀特海(A N Whitehead )认为:“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持;文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)并进一步指出:“数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)物理学家博尔茨曼(LE Boltzmann)认为:“模型,无论是物理的还是数学的,无论是几何的还是统计的,已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”这一观点目前不仅流行于自然科学界,还遍布于社会科学界。为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型,是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。在欧洲,在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动,雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。在美国,社会科学自夸有更坚实、定量的东西,这通常也是用数学模型来表示的。从模型的观点看,数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”,那么,数学概念的本质也在发生嬗变。数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系,其涵盖的科学对象也必然随之增加。数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标,即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。在某些框架下,利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。数学中有一个分支叫应用数学,主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。如对客观事物的必然现象,人们用确定性模型去描述,而对或然现象,人们建立了随机性模型。模糊数学被用于刻画弗晰现象。而各种突变现象,如地震、洪灾等,则可以由突变理论给出数学模型。三,数学:理性的艺术通常人们认为,艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。两者一个处于高度理性化的巅峰,另一个居于情感世界的中心;一个是科学(自然科学)的典范,另一个是美学构筑的杰作。然而,在种种表面无关甚至完全不同的现象背后,隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。数学与艺术确实有许多相通和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语言来表达内容。难怪有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。事实上,由于数学(特别是现代数学)的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”,因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。对此,我们还可做出如下进一步的分析。艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物,是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具,有着不同的方式,但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果,都是在其自身价值的弘扬中,不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上,审美地掌握世界。艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中,还同时发展并完善着自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有:(1)跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。(2)整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。(3 )简约性。它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩。(4 )象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的感受,而意义则在于把注意力引向思维,升迁为理念,成为表现人类内心意图的方式。(5)形式化。在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值,这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来,其共同的特点有:(1)自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的;艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。(2)超越性。它们可以超越时空,显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中,现实被扩张、被延伸。人被重新塑造,赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。(3)非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。(4)多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下,艺术与数学的价值也开始发生嬗变,出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。在人类思维的全谱系中,艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。特别是真正的艺术品和数学创造,一般都不是某种单一思维形式的产物,而是多种思维形式综合作用的结果。人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔,并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体,呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的,而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时,艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材四,数学韵味——数学的美说到数学美,人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割;雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何;数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……数学美可以分为形式美和内在美。数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美,数学中的对称美反映的是自然界的和谐性,在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美,数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。数学的内在美有数学的和谐美,数量的和谐,空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美,严谨美是数学独特的内在美,我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密,数学定义准确揭示概念的本质属性,数学结构系统的协调完备等等。总之,数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的,数学是一个五彩缤纷的美的世界。美(有限美、神秘美等)会给学生以美的熏陶。数学所揭示的规律会加深学生对美的理解,而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。数学精神是一种理性精神,对完善人的精神品格有着不可估量的作用,主要体现在严谨求实、理智自率、直着求真、开拓创新等方面,通过解题实践既巩固了知识,培养了能力,同时也发展了坚持公正、终于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质,这都是造就人不断追求进取的品质所必备的前提。
巧用现代教育技术,让生活走进数学课堂 单位:北滘镇水口小学作者:黄庆莲联系电话:26657359 巧用现代教育技术,让生活走进数学课堂摘要:数学源于生活,应用于生活,新教学理念要求教师注重渗透生活中处处有数学的观念,鼓励学生学以致用。因此文章结合教材内容和生活实际,运用多媒体教学,将信息技术融合到小学数学教学中来,同时使教师拓展知识视野,改变传统的学科科学内容,使教材“活”起来。关键字:多媒体 数学 生活《数学课程标准》明确指出:“要重视从学生的生活实践经验中学习数学和理解数学”,指出“要重视从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事情中提供观察和操作的机会,使他们感受到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感。”这一要求揭示了数学与实际生活的关系。所以数学教学内容应力求从学生熟悉的生活情境出发设计数学问题,让学生真正体验数学与生活的关系,提高解决实际问题的能力。数学源于生活,应用于生活,新教学理念要求教师注重渗透生活中处处有数学的观念,鼓励学生学以致用。因此,结合运用多媒体教学,将信息技术融合到小学数学教学中来,充分运用各种信息资源,引入时代活水,使学生的学习内容更贴近生活和现代科技,同时也可以使教师拓展知识视野,改变传统的学科科学内容,使教材“活”起来。在课堂教学中,如何让生活走进数学课堂,实现“人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展”。我认为应从下面几方面着手:第一、运用多媒体技术让数学与生活紧密联系起来《数学课程标准》所提出“有价值”的数学应该与学生的现实生活密切联系的;应该充分考虑数学发展中人类的活动轨迹,贴近学生熟悉的现实生活。这样的数学课程对他们才有吸引力,才使他们产生兴趣,才有益于学生理解数学。才是“人人要学的数学”。传统的小学数学教学很大程度上把学生所学知识与实践能力及从生活中去发现数学的能力。生活是数学的归宿,也就是数学必须服务于生活,发展于生活。《数学课程标准》里提到实现“人人获得必须的数学”有多种途径,最基本的是从学生自己熟悉的生活背景中发现数学、掌握数学和运用数学,在此过程中体验数学与周围世界的联系,以及数学在社会生活中的作用和意义,感受成功,增进自信。在数学教学实践中,作为教师要善于从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发,充分运用多媒体教学,运用生活经验,让学生自主发现问题,给予观察、操作、实践探索的机会,使学生体会到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,这就要求我们把数学与生活紧密联系起来,不但要把生活引进课堂,而且让学生带着数学走进生活,去理解生活中的数学,去体会数学的价值。第二、利用多媒体创设生活情境,让学生在具体生动的生活情境中学习苏霍姆林斯基指出,教师在教学中如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态,而只是不动情感的脑力劳动,就会带来疲倦。因此,我们的教学应营造一种轻松愉快的情境,使学生乐此不疲地致力于学习内容。数学离不开生活,生活中处处有数学。在课堂教学中,以教材为蓝本,利用计算机教学软件的集直观性、多变性、知识性、趣味性于一体等特点,为学生提供生动逼真的教学情境,让学生在具体生动的生活情境中学习,从而激发学生学习数学的兴趣,充分调动学生学习的积极性和主动性,诱导学生积极思维,使其产生内在学习动机,并主动参与教学活动。心理研究表明:当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近,学生自觉接纳知识的程度就越高。从学生熟悉的生活背景、轻松和谐的课堂氛围入手,让学生置身于日常生活中来学习知识,让知识和日常生活交融。这样既激发了学生的求知欲,又让学生感到数学无处不在,体会到知识来源于生活,进而乐此不彼地学习。创设生活角色情境,就是让学生在学中体验生活角色的一种教学方法,对于活跃课堂气氛,提高学生学习兴趣,激发学生想象力、创造力、表现力都起着不可预估的作用。所以在日常教学中,应创设这样的情境,创设与学生生活环境、知识背景密切相关的,又是学生感兴趣的学习情境,使学生感觉到在课堂上学习就象在日常生活中遇到了数学问题一样,从而激发学生学习的兴趣,充分调动学生学习的积极性。如在“买文具”的教学中,可以运用多媒体创设这样的情境:售货员阿姨粗心地把笔记本标价牌上的小数点位置写错了,3.5元写成了0.35元,会造成什么后果? 利用这个情境,激活学生先前的生活经验,引导学生观察“橱窗”里陈列着的文具,让同桌互相说一说每一种文具的单价是几元几角几分。通过同伴之间的交流,促进每个学生去感受和理解每个文具标价牌上小数所表示的意义。又如教学“平移和旋转”,首先结合生活中具体的实例,如“缆车沿笔直的索道滑行、国旗沿着旗杆徐徐上升、直升飞机起飞时的螺旋桨运动、小风车迎风旋转等来感知平移和旋转现象。把抽象的相关的各种数学术语让学生迅速理解,既活跃了课堂气氛,又高效地完成了教学任务。第三、联系生活中的实际问题,运用多媒体教学,激起学生自主探究的欲望新课程强调人人学有价值的数学,人人学有用的数学。因此,数学学习必须加强与生活实际的联系,让学生感受到生活中处处有数学。数学只有回到生活中,才会显示其价值和魅力,学生只有回到生活中运用数学,才能真实地显现其数学学习水平。过去的数学教学往往比较重视解答现有的数学问题,即课本上已经经过处理的问题。学生只要按照学会的解题方法,一步一步去解决就可以了,不需要把所理解的数学问题内化到生活中去,解决现实中的各种问题。新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题,主动地运用数学知识分析生活中的现象,自主地解决生活中的实际问题。数学学习是与“现实”生活密切相关的,学生从现实中学习数学,再把学到的数学应用到现实中去,这样就可以通过自己的认知活动,实现数学观念的构建,促进知识结构的优化。因此,我们的数学教学应当注重理论联系实际,使问题生活化,尽可能地引入更多的具有真实意义的问题,使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学,并培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。比如:“买文具”、“整理书”、“铺地面”、“统计”等。这些都是生活中的数学问题,初步学会运用数学的思维方式去观察、分析、解决日常生活中的问题;形成勇于探索、勇于创新的科学精神;获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实和必要的应用技能。使学生在学习数学的同时体会到学有用的数学、生活中的数学。又如:生活中处处都要用到估算,要求学生估算一下卧室的面积是多少,估算一下学校操场的长和宽各是多少,鼓励学生节约用电,让学生估算一下如果一个学生一个月节约五度电,那么十个同学一个月节约几度电?全校同学呢。在教学中引导学生寻找生活中的数学问题,既可以积累知识,让学生通过如此切身的问题感受到数学的价值所在,更是培养学生探索意识和应用意识的最佳途径。而且这样也是把枯燥的知识变成了学生感兴趣的活生生的题目,使学生积极主动地投入到学习生活中,让学生发现数学就在自己身边,从而提高学生用数学思想来看待问题的能力。四、运用多媒体教学使学生获得广泛的实践活动经验为了使学生在学习数学知识的同时,能初步接触和逐渐掌握课堂中所学到的数学知识,不断增强数学意识,就必须在数学教学过程中加强实践活动,使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题,认识现实中的问题和数学问题之间的联系和区别。让学生通过动手操作学习数学,自己主动地发现一些数学问题的解题方法或得出有关结论,教师要运用多媒体教学创设一定的情境引导并参与到学生的动手操作中去。例如:三年级下册教材除了安排了“森林旅游”、“旅游中的数学”、和“体育中的数学”3个较大的实践活动个,还在正文或练习中提供了如下的实践活动:到商店调查3种商品的价格,并做好记录;找找生活中的小数,并与同伴说说;调查自己家两个月水电费开支情况,并记录下来,通过分析数据把你的感受与同伴说一说;收集一些对称图形、图案和照片在班里展览等。让学生经历以上一系列的观察、操作、制作、调查、推理等实践活动,在合作与交流的过程中,获得良好的情感体验;获得并积累更多的数学活动的初步经验,能够运用所学知识和方法解决简单问题;感受数学在日常生活中的作用。这样让学生养成留心观察周围事物,有意识地用数学的观点去认识周围事物的习惯,并自觉把所学习的知识与现实中的事物建立联系。总之,现代教育技术呼唤着数学课堂的生命活力,恰当地选准多媒体与数学课堂教学的最佳结合点,适时适量的运用多媒体,不仅能充分调动学生的积极性,激发学生的求知欲,活跃学生的思维,拓展学生的想象力,而且能让学生通过信息技术,感受到数学与实际紧密联系。让生活与数学教学相衔接,让学生从生活中寻找数学素材,感受生活中处处有数学,教学中教师应结合生活实际,抓住典型事例,教给思考方法,让学生真正体会到数学学习的趣味性和实用性,使学生发现生活数学,喜欢数学,这样教学既便于教师的组织教学,也利于学生的操作探索。也只有做到数学与生活结合起来,才能彻底贯彻这一点,让数学学习真正地“活”起来,努力构建生活数学体系。 参考文献:《数学课程标准》
写初中数学思维征文的方法:1、联系实际生活型 这一类型是以学生实际生活中所遇到的数学问题的为载体,此时让学生自己观察,思考,总结,概括,研究其数学知识的本质。 2、对旧知识的新探索型 由于初中学生数学知识局限,对许多知识的来源与拓展无从着手,因此要收集有关资料对旧知识的来源加以考究,丰富自己的数学知识。3、趣味型 这一类型则多以学生感兴趣的数学知识为素材,从很大程度上激起学生的好奇心与求知欲,从而激发学生参与数学小论文写作活动的兴趣,提高学习与小论文的写作效率。4、驳斥型 在学生的学习与生活中过程中会遇到许多不符合数学知识常规的错误观点他们会用数学的知识加以批判与驳斥,然而我们可以对此引导,归纳。5、课本知识的引申型 学生在学习课本知识之后会据课本的知识的结构与自己的经验及收集到的有关资料的提示,对课本的课本知识进行联想思考得出可讨论的问题然后可以进行论述。
数学思维与文化论文题目大全高中
数学类论文感想类的比较好写,巴巴适适论文吧 全博士专业论文辅导团队,提供课程论文、毕业论文、硕士论文、博士论文,数学论文发表、数学教学论文发表
去论文拼凑一个吧 这类的论文比较少,主要是学的人比较少。
浅谈中学数学中的反证法数学选择题的利和弊浅谈计算机辅助数学教学论研究性学习浅谈发展数学思维的学习方法关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法
数学作为一种文化现象,早已是人们的常识。历史地看,古希腊和文艺复兴时期的文化名人,往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来,爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(LAWhite)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(MKline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。认识和实施数学文化教育进入21世纪之后,数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂,渗入实际数学教学,努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染,产生文化共鸣,体会数学的文化品位,体察社会文化和数学文化之间的互动。那么,如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢?笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。认识数学文化的民族性和世界性每个民族都有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是,它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治(广大奴隶不能享受这种民主)。男性奴隶主的全体大会选举执政官,对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主,往往需要用理由说服对方,使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理,也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”,规定一些名词的意义,然后把要陈述的命题,称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气,但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治,而是实行君王统治制度。春秋战国时期,也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家,主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此,中国的古代数学,多半以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此,从文化意义上看,中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”,存在的形式则是官方的文书。古希腊的文化时尚,是追求精神上享受,以获得对大自然的理解为最高目标。因此,“对顶角相等”这样的命题,在《几何原本》里列入命题15,借助公理3(等量减等量,其差相等)给予证明。在中国的数学文化里,不可能给这样的直观命题留下位置。 同样,中国数学强调实用的管理数学,却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法,以及杨辉(贾宪)三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题,也只能在中国诞生,而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统,同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造,包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候,我们作为地球村的村民,一定要溶入世界数学文化,将民族性和世界性有机地结合起来。揭示数学文化内涵,走出数学孤立主义的阴影数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界,常常有“数学=逻辑”的观念。据调查,学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”,或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1],“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说,一个充满活力的数学美女,只剩下一副X光照片上的骨架了!数学的内涵,包括用数学的观点观察现实,构造数学模型,学习数学的语言、图表、符号表示,进行数学交流。通过理性思维,培养严谨素质,追求创新精神,欣赏数学之美。半个多世纪以前,著名数学家柯朗(RCourant)在名著《数学是什么》的序言中这样写道:“今天,数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势,而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造,其目的是要真正理解数学是一个有机整体,是科学思考与行动的基础。” 2002年8月20日,丘成桐接受《东方时空》的采访时说:“我把《史记》当作歌剧来欣赏”,“由于我重视历史,而历史是宏观的,所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点,和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。 《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》,其中提到:“这使我明白了:数学本身很美,然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题,不是去完善许多数学方法,我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲,我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’,而不是制刀的‘刀匠’,更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。和所有文化现象一样,数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化,一方面拒人于千里之外,使人望数学而生畏;另一方面,又孤芳自赏,自言自语,令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学,原本是青少年喜爱的学科,却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化,会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化,数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。多侧面地开展数学文化研究谈到数学文化,往往会联想到数学史。确实,宏观地观察数学,从历史上考察数学的进步,确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是,除了这种宏观的历史考察之外,还应该有微观的一面,即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角,力求多侧面地展现数学文化。 数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说,中学课程里有“对称”,文学中则有“对仗”。对称是一种变换,变过去了却有些性质保持不变。轴对称,即是依对称轴对折,图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么?无非是上联变成下联,但是字词句的某些特性不变。王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”。这里,明月对清泉,都是自然景物,没有变。形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质,在文化中、文学中、数学中,都广泛存在着。数学中的“对偶理论”,拓扑学的变与不变,都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出:“孤帆远影碧空尽”,正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云:“前不见古人,后不见来者,念天地之悠悠,独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来,时间是两头无限的,以他自己为原点,恰可比喻为一条直线。天是平面,地是平面,人类生活在这悠远而空旷的时空里,不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。 数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式,就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀,“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”,在中国语言里比喻“有绝对把握”,但是,这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外,“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系(计算复杂性问题),正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。 数学的宏观和微观认识。宏观和微观是从物理学借用过来的,后来变成一种常识性的名词。以函数为例,初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分,其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说,实际上是宏观观察,主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处,函数值在这一段,还是下一段,差一点都不行。政治上有全局和局部,物理上有牛顿力学与量子力学,电影中有全景和细部,国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画,其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢? 数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ?”是不是和谐美?二次方程的求根公式美不美?这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐,立体几何课总得说说绘画,如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔(MCEscher)的画、计算机画出的分形图,也是数学美的表现。总之,数学文化离不开数学史,但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时,数学就会更加平易近人,数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
数学思维与文化论文范文大全
数学的文化价值 一、数学是哲学思考的重要基础 数学在科学、文化中的地位,也使得它成为哲学思考的重要基础。历史上哲学领域内许多重要论争,常常牵涉到有关对数学的一些根本问题的认识。我们思考这些问题,有助于正确认识数学,正确理解哲学中有关的争论。 (一)数学——-根源于实践 数学的外在表现,或多或少人的智力活动相联系。因此在数学和实践的关系上,历来有人主张数学是“人的精神的自由创造”,否定数学来源于实践其实,数学的一切发展都不同程度地归结为实际的需要。从我国殷代的甲骨文中,就可以看到那时我们的祖先已经会使用十进制计数方法他们为适应农业的需要,将“十干”和“十二支”配成六十甲子,用以记年、月、日,几千年的历史说明这种日历的计算方法是有效的。同样,由于商业和债务的计算,古代的巴比伦人己经有了乘法表、倒数表,并积累了许多属于初等代数范畴的资料。在埃及,由于尼罗河泛滥后重新测量土地的需要,积累了大量计算面积的几何知识。后来随着社会生产的发展,特别是为适应农业耕种与航海需要而产生的天文测量,逐渐形成了初等数学,包括当今我们在中学里学习到的大部分数学知识。再后来由于蒸汽机等机械的发明而引起的工业革命,需要对运动特别是变速运动作更精细的研究,以及大量力学问题出现,促使微积分在长期的酝酿后应运而生。20世纪以来近代科学技术的飞速发展,使数学进入一个空前繁荣时期。在这个时期数学出现了许多新的分支:计算数学,信息论,控制论,分形几何等等。总之,实践的需要是数学发展的最根本的推动力。 数学的抽象性往往被人所误解。有些人认为数学的公理、公设、定理仅仅是数学家头脑思维的产物。数学家靠一张纸、一支笔工作,和实际没有什么联系。 其实,即使就最早以公理化体系面世的欧的几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发展的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的各式,却仍然包含着数学理论的核心。当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他伯头脑中也一定联系到几何作图和直观现象。一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引。可以这么说,脱离了实践,数学就会成为无源之水,无本之木。 其实,即使就最早以公理化体系面世的欧几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发现的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的程式,却仍然包含着数学理论的核心。当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他的头脑中也一定联系到几何作图和直观现象。一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受过严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引。可以这么说,脱离了实践,数学就会变成无源之水,无本之木。 但是,数学理性思维的特点,使它不会满足于仅研究现实的数量关系和空间形式,它还努力探索一切可能的数量关系和空间形式。在古希腊时期,数学家就超越了在现实有限尺度精度内度量线段的方法,觉察到了无公度量线段的存在,即无理数的存在。这其实是数学中最困难的概念之一—连续性、无限性的问题。直到两千年以后,同样的问题导致极限理论的深入研究,大大地推动了数学的发展。试想今天如果还没有实数的概念,我们将面临怎样的处境。这时人们无法度量正方形对角线的长度,也不会解一元二次方程:至于极限理论与微积分学更不可能建立即使人们可以像牛顿那样应用微积分,但是在判断结论的真实性时会感到无所适从。在这种状况下,科学技术还能走多远呢?又如在欧几里德几何产生时,人们就对其中一个公设的独立性产生怀疑。到19世纪上半叶,数学家改变这个公设,得到了另一种可能的几何一一非欧几里德几何。这种几何的创立者表现了极大的勇气,因为这种几何得出的结论从“常理”来说是非常“荒唐”的。例如“三角形的面积不会超过某一个正数”。现实世界似乎没有这种几何的容身之地。但是过了近一百年,在物理学家爱因斯坦发现的相对论中,非欧几里德几何却是最合适的几何。再如,20世纪30年代哥德尔得到了数学结论不可判别性的结果,其中的某些概念非常抽象,近几十年却在算法语言的分析中找到了应用。实际上,许多数学在一些领域或一些问题中的应用,一旦实践推动了数学,数学本身就会不可避免地获得了一种动力,使之有可能超出直接应用的界限。而数学的这种发展,最终也会回到实践中去。 总之,我们应该大力提倡研究和当前实际应用有直接联系的数学课题,特别是现实经济建设中的数学问题。但是我们也应该在纯粹科学和应用科学之间建立有机的联系,建立抽象的共性和丰富多彩的个性之间的平衡,以此来推动整个科学协调地发展。 (二)数学—充满了辩证法由于数学严密性的特点,很少有人怀疑数学结论的正确性。相反,数学的结论往往成为真理的一种典范。例如人们常常用“像一加一等于二那么确定”来表示结论不容置疑。在我们的中小学的教学中,数学更是只准模仿、演练、背诵。数学真的是万古不变的绝对真理吗? 事实上,数学结论的真理性是相对的即使像1+1=2这样简单的公式,也有它不成立的地方。例如在布尔代数中,1+1=0!而布尔代数在电子线路中有广泛的应用。欧几里德几何在我们的日常生活中总是正确的,但在研究天体某些问题或速度很快的粒子运动时非欧几何却是适宜的。数学其实是非常多样化的,它的研究范围也随着新问题的出现而不断扩大。如同一切科学一样,数学家们如果死守着前辈的思想、方法、结论不放,数学科学就不会进步。把数学的严密性和公理化体系看作一种“教条”是错误的,更不能像封建时代的文人对待孔夫子说的话:“真理”已经包含在圣人说过的话里,后人只能对其作诠释。数学发展的历史可以证明,正是数学家特别是年轻数学家的创新精神,敢于向守旧的思想挑战,数学的面貌才得以不断地更新,数学才成长为今天这样一门蓬勃发展、富有朝气的学科。 数学的公理化体系从来也不是不容怀疑、不容变化的“绝对真理”欧几里德的几何体系是最早出现的数学公理化体系,但从一开始就有人怀疑其中的第五公设不是独立的,即该公设可以从公理体系的其他部分推出。两千多年来人们一直在寻找答案,终于在19世纪由此发现了非欧几何。虽然人们长时期受到欧几里德几何的束缚,但是最终人们还是接受了不同的几何公理体系。如果历史上某些数学家多一点敢于向旧体系挑战的革新精神,非欧几何也许还可能早几百年出现 数学公理化体系反映了内部逻辑严密性的要求。在一个学科领域内,当有关的知识积累到一定程度后,理论就会要求把一堆看来散乱的结果以某种体系的形式表现出来。这就需要对己有的事实再认识、再审视、再思索,创造新概念、新方法,尽可能地使理论能包括最一般、最新发现的规律。这实在是一个艰苦的理论创新过程。数学公理化也一样,它表示数学理论已经发展到了一个成熟的阶段,但并不是认识一劳永逸的终结。现有的认识可能被今后更深刻的认识所代替,现有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事实的公理体系所代替。数学就在不断地更新过程中得到发展。 有种看法以为,应用数学就是把熟诵的数学结论套到实际问题上去,以为中小学的教学就是教给学生这些万古不变的教条。其实数学的应用极充满挑战性,一方面不但需要深切地认识实际问题本身,另一方面要求掌握相关数学知识的真谛,更重要的是要求能创造性地把两者结合起来。 就数学的内容来说,数学充满了辩证法。在初等数学发展时期,占统治地位的是形而上学。在该时期的数学家或其他科学家看来,世界由僵硬的、不变的东西组成。与此相适应,那时数学研究的对象是常量,即不变的量。笛卡尔的变数是数学中的转折点,他把初等数学中完全不同的两个领域一一几何和代数结合起来,建立了解析几何这个框架具备了表现运动和变化的特性,辩证法因此进入了数学。在此后不久产生的微积分抛弃了把初等数学的结论作为永恒真理的观点,常常做出相反的判断,提出一些在初等数学的代表人物看来完全不可理解的命题。数学走到了这样一个领域,在那里即使很简单的关系,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们不自觉又不自愿地转变为辩证数学家。在数学研究的对象中,充满了矛盾的对立面:曲线和直线,无限和有限,微分和积分,偶然和必然,无穷大和无穷小,多项式和无穷级数,正因为如此,马克思主义经典作家在有关辩证法的论述中经常提到数学。我们学一点数学,一定会对体会辩证法有所帮助。
去论文拼凑一个吧 这类的论文比较少,主要是学的人比较少。
我有一本书电子版的 《数学的美》吴振奎 写的,次数比较系统介绍数学美。徐利治先生的书也不错 我的毕业论文题目是:数学奇异美现在正在写着呢。不要忘记给我加分
数学思维与文化论文范文高中
数学作为一种文化现象,早已是人们的常识。历史地看,古希腊和文艺复兴时期的文化名人,往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来,爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(LAWhite)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(MKline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。认识和实施数学文化教育进入21世纪之后,数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂,渗入实际数学教学,努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染,产生文化共鸣,体会数学的文化品位,体察社会文化和数学文化之间的互动。那么,如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢?笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。认识数学文化的民族性和世界性每个民族都有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是,它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治(广大奴隶不能享受这种民主)。男性奴隶主的全体大会选举执政官,对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主,往往需要用理由说服对方,使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理,也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”,规定一些名词的意义,然后把要陈述的命题,称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气,但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治,而是实行君王统治制度。春秋战国时期,也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家,主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此,中国的古代数学,多半以“管理数学”的形式出现,目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此,从文化意义上看,中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”,存在的形式则是官方的文书。古希腊的文化时尚,是追求精神上享受,以获得对大自然的理解为最高目标。因此,“对顶角相等”这样的命题,在《几何原本》里列入命题15,借助公理3(等量减等量,其差相等)给予证明。在中国的数学文化里,不可能给这样的直观命题留下位置。 同样,中国数学强调实用的管理数学,却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法,以及杨辉(贾宪)三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题,也只能在中国诞生,而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统,同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造,包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候,我们作为地球村的村民,一定要溶入世界数学文化,将民族性和世界性有机地结合起来。揭示数学文化内涵,走出数学孤立主义的阴影数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界,常常有“数学=逻辑”的观念。据调查,学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”,或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1],“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说,一个充满活力的数学美女,只剩下一副X光照片上的骨架了!数学的内涵,包括用数学的观点观察现实,构造数学模型,学习数学的语言、图表、符号表示,进行数学交流。通过理性思维,培养严谨素质,追求创新精神,欣赏数学之美。半个多世纪以前,著名数学家柯朗(RCourant)在名著《数学是什么》的序言中这样写道:“今天,数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势,而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造,其目的是要真正理解数学是一个有机整体,是科学思考与行动的基础。” 2002年8月20日,丘成桐接受《东方时空》的采访时说:“我把《史记》当作歌剧来欣赏”,“由于我重视历史,而历史是宏观的,所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点,和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。 《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》,其中提到:“这使我明白了:数学本身很美,然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题,不是去完善许多数学方法,我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲,我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’,而不是制刀的‘刀匠’,更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。和所有文化现象一样,数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化,一方面拒人于千里之外,使人望数学而生畏;另一方面,又孤芳自赏,自言自语,令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学,原本是青少年喜爱的学科,却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化,会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化,数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。多侧面地开展数学文化研究谈到数学文化,往往会联想到数学史。确实,宏观地观察数学,从历史上考察数学的进步,确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是,除了这种宏观的历史考察之外,还应该有微观的一面,即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角,力求多侧面地展现数学文化。 数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说,中学课程里有“对称”,文学中则有“对仗”。对称是一种变换,变过去了却有些性质保持不变。轴对称,即是依对称轴对折,图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么?无非是上联变成下联,但是字词句的某些特性不变。王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”。这里,明月对清泉,都是自然景物,没有变。形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质,在文化中、文学中、数学中,都广泛存在着。数学中的“对偶理论”,拓扑学的变与不变,都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出:“孤帆远影碧空尽”,正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云:“前不见古人,后不见来者,念天地之悠悠,独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来,时间是两头无限的,以他自己为原点,恰可比喻为一条直线。天是平面,地是平面,人类生活在这悠远而空旷的时空里,不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。 数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式,就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀,“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”,在中国语言里比喻“有绝对把握”,但是,这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外,“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系(计算复杂性问题),正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。 数学的宏观和微观认识。宏观和微观是从物理学借用过来的,后来变成一种常识性的名词。以函数为例,初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分,其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说,实际上是宏观观察,主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处,函数值在这一段,还是下一段,差一点都不行。政治上有全局和局部,物理上有牛顿力学与量子力学,电影中有全景和细部,国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画,其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢? 数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ?”是不是和谐美?二次方程的求根公式美不美?这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐,立体几何课总得说说绘画,如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔(MCEscher)的画、计算机画出的分形图,也是数学美的表现。总之,数学文化离不开数学史,但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时,数学就会更加平易近人,数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
数学文化 人类共同的精神财富——数学,数学是人类智慧的结晶,它表达了人类思维中生动活泼的意念,表达了人类对客观世界深入细致的思考,以及人类追求完美和谐的愿望。 早在古希腊时代,哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说:“几何学可以将灵魂引向真理,并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真,也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己,使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时,也认识人类自己。在这个认识过程中,数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的,它是现代科学技术的语言和工具,它的成果为众多学科所共识,积极推动着这些学科理论的建立和深化,它的思维方式和方法渗透到各学科,为这些学科的发展增添了活力。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念,作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰,推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊,整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然,任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨,但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此,数学方法成为人们一种典范的认识方法,帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来,人类的思想发生了巨大变化,人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中,数学思想和方法却一直延续发展了几千年,表现出了强大的生命力。数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内,人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律,以此来描述物体多种多样的运动,解释各种现象,同时借助于数学探求事物的机理,预测事物未来的发展变化,探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算,在数学思想方法的启发和帮助下,解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信,世界的合理性可以用数学来描述。数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式,而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论,记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机,危机似乎动摇了数学的基础,而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础,使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中,也形成了像数理逻辑这样的数学新分支,推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性,这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样,其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维,影响一个民族文化进步。解析几何和微积分的创立,使变量成为数学的研究对象。数学思想、内容、方法上的革新,使数学的面貌焕然一新。而数学研究运动、变化的思想和方法,以及数学所取得的进展,对打破科学研究中形而上学的枷锁,把辩证法引入到科学的思维中,起到了推波助澜的作用。今天,恐怕没有一个有文化的人不懂得“增长速度”,“变化率”的含义,人们己经习惯从运动和变化的观点来研究事物。数学促进了几乎所有学科的发展,直接或间接地影响了每一个有文化的人的思维。影响人类的精神生活,提高和丰富了人类的整个精神文明水平。(2)数学对人的文化素养影响面对飞跃发展的科学技术,人必须具备必要的数学知识和技能,以训练心智、陶冶情操,更好的理解周围的世界,从而更客观的认识人类社会。例如“今年前六个月的居民存款比去年同期增速下降1个百分点。”“今天降水概率是50%”。“信息高速公路”、“数字信息”等他们的含义都是什么?数学对人的文化素质的影响,至少表现在如下几个方面:有利于培养严谨的思维方式。尽管大多数人将来不会成为数学家,但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。同时,数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。如圆是一个完美的图形,可用方程来表示,我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质,进一步还可以用方程来表示球,那么我们为什么不考虑下列方程以及。仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间,从有形进入了无形,从现实进入了虚拟世界。有利于培养人的创新精神。数学是人类理性文明高度发展的结晶,又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展,都需要研究新问题,根据实际情况做出恰如其分的分析,并由此找到解决问题的途径。这就体现出人的巨大创造力。有利于培养科学的审美观。人对美的理解各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等相联系。而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异一,数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。二,数学:一种思想方法数学是研究量的科学。它研究客观对象量的变化、关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。这些表现方式主要有:提供数量分析和计算工具;提供推理工具;建立数学模型。任何一种数学方法的具体运用,首先必须将研究对象数量化,进行数量分析、测量和计算。毛泽东同志曾指出:“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面,要有基本的数量的分析。任何质量都表现为一定的数量,没有数量也就没有质量。”(注:《毛泽东选集》第4卷第1443页,人民出版社1990年版。)例如太阳系第八大行星——海王星的发现,就是由亚当斯(J C Adams)和勒维烈(U J Leverrier)运用万有引力定律,通过复杂的数量分析和计算,在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。数学作为推理工具的作用是巨大的。特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界,推理更有其独到的功效,例如正电子的预言,就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。值得指出的是,数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法,已经成为应用数学最本质的思想方法之一。模型这一概念在数学上已变得如此重要,以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。怀特海(A N Whitehead )认为:“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持;文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)并进一步指出:“数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)物理学家博尔茨曼(LE Boltzmann)认为:“模型,无论是物理的还是数学的,无论是几何的还是统计的,已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”这一观点目前不仅流行于自然科学界,还遍布于社会科学界。为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型,是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。在欧洲,在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动,雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。在美国,社会科学自夸有更坚实、定量的东西,这通常也是用数学模型来表示的。从模型的观点看,数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”,那么,数学概念的本质也在发生嬗变。数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系,其涵盖的科学对象也必然随之增加。数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标,即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。在某些框架下,利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。数学中有一个分支叫应用数学,主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。如对客观事物的必然现象,人们用确定性模型去描述,而对或然现象,人们建立了随机性模型。模糊数学被用于刻画弗晰现象。而各种突变现象,如地震、洪灾等,则可以由突变理论给出数学模型。三,数学:理性的艺术通常人们认为,艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。两者一个处于高度理性化的巅峰,另一个居于情感世界的中心;一个是科学(自然科学)的典范,另一个是美学构筑的杰作。然而,在种种表面无关甚至完全不同的现象背后,隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。数学与艺术确实有许多相通和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语言来表达内容。难怪有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。事实上,由于数学(特别是现代数学)的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”,因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。对此,我们还可做出如下进一步的分析。艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物,是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具,有着不同的方式,但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果,都是在其自身价值的弘扬中,不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上,审美地掌握世界。艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中,还同时发展并完善着自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有:(1)跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。(2)整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。(3 )简约性。它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩。(4 )象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的感受,而意义则在于把注意力引向思维,升迁为理念,成为表现人类内心意图的方式。(5)形式化。在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值,这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来,其共同的特点有:(1)自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的;艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。(2)超越性。它们可以超越时空,显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中,现实被扩张、被延伸。人被重新塑造,赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。(3)非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。(4)多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下,艺术与数学的价值也开始发生嬗变,出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。在人类思维的全谱系中,艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。特别是真正的艺术品和数学创造,一般都不是某种单一思维形式的产物,而是多种思维形式综合作用的结果。人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔,并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体,呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的,而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时,艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材四,数学韵味——数学的美说到数学美,人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割;雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何;数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……数学美可以分为形式美和内在美。数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美,数学中的对称美反映的是自然界的和谐性,在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美,数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。数学的内在美有数学的和谐美,数量的和谐,空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美,严谨美是数学独特的内在美,我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密,数学定义准确揭示概念的本质属性,数学结构系统的协调完备等等。总之,数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的,数学是一个五彩缤纷的美的世界。美(有限美、神秘美等)会给学生以美的熏陶。数学所揭示的规律会加深学生对美的理解,而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。数学精神是一种理性精神,对完善人的精神品格有着不可估量的作用,主要体现在严谨求实、理智自率、直着求真、开拓创新等方面,通过解题实践既巩固了知识,培养了能力,同时也发展了坚持公正、终于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质,这都是造就人不断追求进取的品质所必备的前提。
数学的文化价值 一、数学是哲学思考的重要基础 数学在科学、文化中的地位,也使得它成为哲学思考的重要基础。历史上哲学领域内许多重要论争,常常牵涉到有关对数学的一些根本问题的认识。我们思考这些问题,有助于正确认识数学,正确理解哲学中有关的争论。 (一)数学——-根源于实践 数学的外在表现,或多或少人的智力活动相联系。因此在数学和实践的关系上,历来有人主张数学是“人的精神的自由创造”,否定数学来源于实践其实,数学的一切发展都不同程度地归结为实际的需要。从我国殷代的甲骨文中,就可以看到那时我们的祖先已经会使用十进制计数方法他们为适应农业的需要,将“十干”和“十二支”配成六十甲子,用以记年、月、日,几千年的历史说明这种日历的计算方法是有效的。同样,由于商业和债务的计算,古代的巴比伦人己经有了乘法表、倒数表,并积累了许多属于初等代数范畴的资料。在埃及,由于尼罗河泛滥后重新测量土地的需要,积累了大量计算面积的几何知识。后来随着社会生产的发展,特别是为适应农业耕种与航海需要而产生的天文测量,逐渐形成了初等数学,包括当今我们在中学里学习到的大部分数学知识。再后来由于蒸汽机等机械的发明而引起的工业革命,需要对运动特别是变速运动作更精细的研究,以及大量力学问题出现,促使微积分在长期的酝酿后应运而生。20世纪以来近代科学技术的飞速发展,使数学进入一个空前繁荣时期。在这个时期数学出现了许多新的分支:计算数学,信息论,控制论,分形几何等等。总之,实践的需要是数学发展的最根本的推动力。 数学的抽象性往往被人所误解。有些人认为数学的公理、公设、定理仅仅是数学家头脑思维的产物。数学家靠一张纸、一支笔工作,和实际没有什么联系。 其实,即使就最早以公理化体系面世的欧的几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发展的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的各式,却仍然包含着数学理论的核心。当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他伯头脑中也一定联系到几何作图和直观现象。一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引。可以这么说,脱离了实践,数学就会成为无源之水,无本之木。 其实,即使就最早以公理化体系面世的欧几里德几何而言,实际事物的几何直观和实践中人们发现的现象,尽管不合乎数学家公理化体系的程式,却仍然包含着数学理论的核心。当数学家把建立几何的公理体系当作自己的目标时,他的头脑中也一定联系到几何作图和直观现象。一个人,即使是很有天赋的数学家,能在数学的研究中获得具有科学价值的成果,除了他接受过严格的数学思维训练以外,他在数学理论研究的过程中,必定会在问题的提出、方法的选择、结论的提示等诸多方面自觉或不自觉地受到实践的指引。可以这么说,脱离了实践,数学就会变成无源之水,无本之木。 但是,数学理性思维的特点,使它不会满足于仅研究现实的数量关系和空间形式,它还努力探索一切可能的数量关系和空间形式。在古希腊时期,数学家就超越了在现实有限尺度精度内度量线段的方法,觉察到了无公度量线段的存在,即无理数的存在。这其实是数学中最困难的概念之一—连续性、无限性的问题。直到两千年以后,同样的问题导致极限理论的深入研究,大大地推动了数学的发展。试想今天如果还没有实数的概念,我们将面临怎样的处境。这时人们无法度量正方形对角线的长度,也不会解一元二次方程:至于极限理论与微积分学更不可能建立即使人们可以像牛顿那样应用微积分,但是在判断结论的真实性时会感到无所适从。在这种状况下,科学技术还能走多远呢?又如在欧几里德几何产生时,人们就对其中一个公设的独立性产生怀疑。到19世纪上半叶,数学家改变这个公设,得到了另一种可能的几何一一非欧几里德几何。这种几何的创立者表现了极大的勇气,因为这种几何得出的结论从“常理”来说是非常“荒唐”的。例如“三角形的面积不会超过某一个正数”。现实世界似乎没有这种几何的容身之地。但是过了近一百年,在物理学家爱因斯坦发现的相对论中,非欧几里德几何却是最合适的几何。再如,20世纪30年代哥德尔得到了数学结论不可判别性的结果,其中的某些概念非常抽象,近几十年却在算法语言的分析中找到了应用。实际上,许多数学在一些领域或一些问题中的应用,一旦实践推动了数学,数学本身就会不可避免地获得了一种动力,使之有可能超出直接应用的界限。而数学的这种发展,最终也会回到实践中去。 总之,我们应该大力提倡研究和当前实际应用有直接联系的数学课题,特别是现实经济建设中的数学问题。但是我们也应该在纯粹科学和应用科学之间建立有机的联系,建立抽象的共性和丰富多彩的个性之间的平衡,以此来推动整个科学协调地发展。 (二)数学—充满了辩证法由于数学严密性的特点,很少有人怀疑数学结论的正确性。相反,数学的结论往往成为真理的一种典范。例如人们常常用“像一加一等于二那么确定”来表示结论不容置疑。在我们的中小学的教学中,数学更是只准模仿、演练、背诵。数学真的是万古不变的绝对真理吗? 事实上,数学结论的真理性是相对的即使像1+1=2这样简单的公式,也有它不成立的地方。例如在布尔代数中,1+1=0!而布尔代数在电子线路中有广泛的应用。欧几里德几何在我们的日常生活中总是正确的,但在研究天体某些问题或速度很快的粒子运动时非欧几何却是适宜的。数学其实是非常多样化的,它的研究范围也随着新问题的出现而不断扩大。如同一切科学一样,数学家们如果死守着前辈的思想、方法、结论不放,数学科学就不会进步。把数学的严密性和公理化体系看作一种“教条”是错误的,更不能像封建时代的文人对待孔夫子说的话:“真理”已经包含在圣人说过的话里,后人只能对其作诠释。数学发展的历史可以证明,正是数学家特别是年轻数学家的创新精神,敢于向守旧的思想挑战,数学的面貌才得以不断地更新,数学才成长为今天这样一门蓬勃发展、富有朝气的学科。 数学的公理化体系从来也不是不容怀疑、不容变化的“绝对真理”欧几里德的几何体系是最早出现的数学公理化体系,但从一开始就有人怀疑其中的第五公设不是独立的,即该公设可以从公理体系的其他部分推出。两千多年来人们一直在寻找答案,终于在19世纪由此发现了非欧几何。虽然人们长时期受到欧几里德几何的束缚,但是最终人们还是接受了不同的几何公理体系。如果历史上某些数学家多一点敢于向旧体系挑战的革新精神,非欧几何也许还可能早几百年出现 数学公理化体系反映了内部逻辑严密性的要求。在一个学科领域内,当有关的知识积累到一定程度后,理论就会要求把一堆看来散乱的结果以某种体系的形式表现出来。这就需要对己有的事实再认识、再审视、再思索,创造新概念、新方法,尽可能地使理论能包括最一般、最新发现的规律。这实在是一个艰苦的理论创新过程。数学公理化也一样,它表示数学理论已经发展到了一个成熟的阶段,但并不是认识一劳永逸的终结。现有的认识可能被今后更深刻的认识所代替,现有的公理也可能被今后更一般化、包含更多事实的公理体系所代替。数学就在不断地更新过程中得到发展。 有种看法以为,应用数学就是把熟诵的数学结论套到实际问题上去,以为中小学的教学就是教给学生这些万古不变的教条。其实数学的应用极充满挑战性,一方面不但需要深切地认识实际问题本身,另一方面要求掌握相关数学知识的真谛,更重要的是要求能创造性地把两者结合起来。 就数学的内容来说,数学充满了辩证法。在初等数学发展时期,占统治地位的是形而上学。在该时期的数学家或其他科学家看来,世界由僵硬的、不变的东西组成。与此相适应,那时数学研究的对象是常量,即不变的量。笛卡尔的变数是数学中的转折点,他把初等数学中完全不同的两个领域一一几何和代数结合起来,建立了解析几何这个框架具备了表现运动和变化的特性,辩证法因此进入了数学。在此后不久产生的微积分抛弃了把初等数学的结论作为永恒真理的观点,常常做出相反的判断,提出一些在初等数学的代表人物看来完全不可理解的命题。数学走到了这样一个领域,在那里即使很简单的关系,都采取了完全辩证的形式,迫使数学家们不自觉又不自愿地转变为辩证数学家。在数学研究的对象中,充满了矛盾的对立面:曲线和直线,无限和有限,微分和积分,偶然和必然,无穷大和无穷小,多项式和无穷级数,正因为如此,马克思主义经典作家在有关辩证法的论述中经常提到数学。我们学一点数学,一定会对体会辩证法有所帮助。