【例2】（2011全国大纲17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，己知A-C=90∘，a+c= b，求C。

【思路分析】解三角形，即由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（至少有一个是边）求其他未知元素的问题（广义地，这里所说的元素还可以是包括三角形的高线、中线、角平分线以及内切圆半径，外接圆半径，面积等等）。解此类三角形的问题，若无法直接通过正弦或余弦定理，解得三角形。可假设三角形的六个基本元素为未知量，通过题中所给的条件，根据正弦定理、余弦定理，面积公式，列出方程，利用方程的思想，把解三角形的问题，转化为解

高三是学生知识能力提升最快的时段，而数学复习离不开解题。因此，有些教师高三的复习课便进入一个怪圈——认为讲的题目越多越好，追求多而全，而不是少而精。要打破这个怪圈，就需要教师从优化整合课堂内容做起。［1］笔者重组近7年的全国卷高考试题中的解三角形的解答题，设计“解方程法解三角形”的高三二轮微专题复习课，现结合此课的教学设计，谈谈如何从多题一解的角度，归纳一类问题的通性通法，探究这类问题的命制规律。

一、抛砖引玉——解单个三角形的问题

方程组的问题。

【设计意图】微专题的例题选择应该是具有基础性、科学性、针对性、典型性和探究性、本题属于基础题，难度不大，学生容易入手，通过该题组，复习如何利用正余弦定理，解三角，并渗透数学的基本思想——方程思想，

列车能量监控模型如图1所示[1]。图1中：ATP系统在D1位置触发了紧急制动，此时列车速度为v1；ATP系统认为在列车牵引失去作用之前，列车切除牵引的时间为(T2-T1)。ATP系统在D2位置时，牵引完全切除，此时列车速度为v2，列车的走行距离为(D2-D1)；ATP系统在T2时，列车牵引完全切除，但列车还需要一个响应时间才能施加紧急制动，在这段时间内列车既没有牵引也没有制动，完全依赖于列车所处的上坡或者下坡情况运行；ATP系统在T3时，列车紧急制动完全施加，此时列车速度为v3，列车所在的位置为D3。

二、拾级而上——解两个三角形的问题

通过设计解两个三角形的问题，培养学生观察、分析问题的技能，在课堂上让学生用自己的话语描述两个题组的异同点，归纳解决此类问题的通性通法。

【例4】（2015全国课标Ⅱ卷理17）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍。

解得AC=1。

教师引导学生：既然这类问题是解方程问题，那么给定这些条件，这样的三角形是否是确定的（有限个解，也看成是三角形的形状被确定，无穷多解则视为三角形不确定）？观察【例1】【例2】，恰巧题中给出了三个独立的条件（即不存在任意两个条件，可以推导出第三个条件），三角形就被确定。合情推理，【例3】【例4】解两个三角形，就需要六个独立的条件，让学生根据条件的个数，对试题展开探究。

【设计意图】波利亚说过：问题是数学的心脏，掌握数学意味着善于解题。学习数学离不开训练，离不开解题。一题多变的目的正是为了培养学生的思维能力，而不是让学生靠机械地记忆模仿来解题，一方面巩固所复习的知识与方法，另一方面，通过练习促进学生解题思想方法的形成。

三、多题一解——通性通法的归纳总结

【思路分析】本题解多个三角形，无法利用正、余弦定理直接解得三角形。考虑根据已知条件假设未知量，构造方程，转化为解方程的问题。而假设的这个量，必须与两个三角形有关。故设∠PBA=α为未知量，利用所有的已知条件与未知量，在△PBA中根据正弦定理，列出一个关于α的方程，利用方程的思想，把解三角形的问题，转化为解方程的问题。

2)数据的种类齐全。煤矿安全生产数据属于多媒体数据，不仅包括实测值、平均值、累计值等结构化数据，而且还包括矿图、图像、视频、音频、应急知识、事故案例等半结构化和非结构化数据，并且此类数据所占比例越来越大。

苏联著名的数学家C·A·亚诺夫斯卡娅说过“解题就是把题归结为已经解过的问题”，通过设计微专题，不是让学生死记硬背解决问题，而是引导学生通过累积一定的解题经验后，自主合理加工形成典型模型和基本模式，以及解决此类问题的思想方法，以便需要时随时调用。

四、追本溯源——关于条件个数的思考

【思路分析】本题无法利用正、余弦定理直接解得三角形。两个三角形中有两个角是互补的，且由（1）可知AB=2AC，故通过设边长AC与∠ADB为未知量，利用所有的已知条件与未知量，在△ABD与△ACD中根据余弦定理，列出两个方程（关于两个未知量AC与∠ADB），利用方程的思想，把解三角形的问题，转化为解方程（组）的问题。

推荐理由:《美女与野兽》和《拉封丹寓言》是新蕾出版社2018年推出的“经典名著纸偶剧场”系列图书，开创了“折纸+故事”的图书形式。灵动的折纸形象，赋予了传统故事新生命，孩子们能在阅读经典的同时，获得更强的动手能力、协调能力、思维能力，培养耐心专注的品质。图书还附有折纸教学视频，能让读者从中享受阅读和折纸的乐趣。

学生阅读例题，发现【例4】中仅有：若AD=1，（在教学过程中，学生提出∠BAD=∠DAC即AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍这两个条件，但这两个条件与BD=2DC= 2，AB=2AC是相互不独立的。正是把AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍，这复杂的条件转化为BD=2DC= 2，AB=2AC这以两个简单的条件，才能简化解题）——四个条件；而【例3】中仅有：∠ABC=90°，AB= 3，BC=1，∠BPC=90°，∠APB=150°——五个条件，并不符合六个条件。但学生就迅速的发现【例3】中，有一个隐藏条件：PB是△ABP与△BCP的公共边，相当于两个三角形有两条边相等。故【例3】中有关两个三角形的六个独立条件，三角形被确定。【例4】中，还有两个隐藏条件：①AD是△ABD与△ADC的公共边，这个条件相当于两个条件；②D是BC边上的点，相当于∠ADB与∠ADC互补。故【例4】中有关于两个三角形的六个独立条件，三角形被确定。

基于对以上高考试题的研究，不难发现，命制解两个相邻的确定三角形的题目，都是先给出两个确定的三角形，将有关这两个三角形的相互独立的条件个数，减少到六个。这六个条件中，可以是隐藏条件，比如公共边、成倍数关系的边、相等或互补的两个角等。笔者在课堂中，做出大胆的尝试，把出题的权利交给学生，让学生在课堂中，命制属于自己“私人订制”的高考解三角形试题。

【设计意图】通过多题一解，引导学生观察并发现此类问题中的条件的个数与解三角形的关系，发现题目中的公共边或者公共角，虽然只是一个条件，但是可以多次使用，还必须挖掘隐藏条件（例如【例4】中∠ADB与∠ADC互补），使得题目中条件的个数达到符合条件的个数。追本溯源这一环节的设计，为解决这类题目提供一种方法，为命制这类题目指明一个方向。

步骤3：计算各洪水场次的评价指标：纳什效率系数(NSE)、洪峰误差百分比以及洪峰出现的时差，如果符合精度要求则结束，如果不符合要求则根据原始值与预测值得到新的误差序列再一次建立ARIMA模型来对误差进行修正；

五、同类变式——内化通性通法

【变式1】（2014全国课标2卷文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2，求C和BD。

【思路分析】A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2，加上隐藏条件——BD是△ABD与△BDC的公共边，相当于两个三角形有两条边相等，共有六个条件，两个三角形被确定。本题解△ABD、△CBD两个三角形，设边BD、角C为未知量，利用余弦定理构造出两个方程（含有两个未知量BD与C），解得三角形。

图5表示采用上平砧及下平板，开始整形拔长，压下量设定为100mm。图6为整形结束，此时测定宽度最大点为2165mm，最小点2065mm，高度尺寸为265mm。

【变式2】（2010全国课标卷文16）在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°。若AC= AB，则BD=___________。

【思路分析】BC=3BD，AD= ，∠ADB=135°。若AC= AB，加上隐藏条件——AD是△ABD与△ADC的公共边，D是BC边上的点，相当于∠ADB与∠ADC互补，共有六个条件，两个三角形被确定。设BD，AB为未知量，利用余弦定理构造出两个方程（含有两个未知量BD与AB），解得三角形。

【设计意图】通过第一个环节的学习，学生对无法直接解的三角形的问题，已经有可以通过列方程（组）解三角这一初步的认识。在学生的最近发展区内，题目设置小坡度、密台阶，循序渐进，有利于学生“步步登高”，从而树立解题的自信心。

六、学生命题——尝试试题的命制

黄河三角洲埕岛海区蕴藏着丰富的油气资源，是胜利油田开发的主力区块。胜利九号平台正在此地紧张施工。虽然忙得顾不上多喝一口水，但泥浆工周敬国仍认真地将含油井段的岩屑回收到专用的回收箱中。

听后，加强课后辅助练习与课本练习的关联性，课后辅助练习应避免随意性和偶然性，教师应该加强听力材料整合，选材注重计划性，一周或一个月一个主题，不应该泛泛而听。教师一堂课准备话题相似的两份听力素材，课上听完一份，课后布置学生用相同的方法拿另一份素材进行训练，逐步提高学生自主学习的能力。

【改编1】△ABC中，D是BC上的点，△ABD面积是△ADC面积的2倍。若AD=1，AB=2，cosC=求DC的长。

这个题组较上一个题组的差异在于【例1】【例2】只是解一个三角形，只需要通过三个条件，列出三个简单的方程，就可以直接解出三角形。而【例3】【例4】需要解两个三角形，直接通过已知条件，无法列出简单的方程，解三角形。而是通过假设边长或角度为未知量，寻找已知量与未知量的关系，挖掘隐藏的条件或关系，通过正弦定理、余弦定理等，建立关于未知量的方程（组），解决问题。

【分析】给出确定的△ABD与△ADC（即【例4】中的原始图形），再精简至六个条件。

【改编 2】在 △ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，P 为 △ABC 内一点，∠BPC=90°，AP=1，求tan∠PBA。

【分析】如图2，给出确定的△ABP与△PBC（长度如图所示），再精简至六个条件。

【改编3】四边形ABCD中，∠ABC=∠CAD=30°，∠BCD=90°，AB=3DC=3，求AC的长。

在“互联网+教育”背景下，双语数学教师与全国各地的双语工作者沟通更为便捷，无论是语言上的问题还是数学知识问题都能共同商讨，是双语数学教师提升自身能力的有效途径。数学素养的提升需要数学教师不断学习与积累有关数学经验。在没有年龄限制的信息化网络平台上，教师可以“不耻下问”，抛出一个简单的问题，也能得到不同的见解，不仅能提高数学素养，也能开拓思维。“互联网+”提高了少数民族基础数学教师的质量，从而提升了少数民族基础数学教育的质量。

【分析】如图3，给出确定的△ABD与△ADC（长度如图所示），再精简至六个条件。

【设计意图】通过追本溯源，研究此类问题的命制规律，弄清问题的本质，一方面对教师解题与编题有帮助，提升了教师的教学水平；另一方面对学生而言，在课堂上，组织学生们命制试题，有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为“再创造”过程，这正是《普通高中数学课程标准（2003实验版）》所倡导的。而站在解题的制高点编题上，得出解题的一般规律，还能促进数学优等生的培养。

图2

图3

七、教后反思——力求“解一题通一类”

通过微专题复习课，让学生知其然，知道如何解决这一类解三角题；让学生知其所以然，感悟方程的思想，构造有关未知数的方程（组），解一个或多个三角形，掌握解决这类问题的通性通法；知何由以知其所以然，条件是如何给出的？给出多少个条件，就能解出三角形？就能确定三角形？这正是数学教育家傅种孙先生为数学解题教学标明的三个递进境界。［2］为了达到这三个境界，在复习过程中，教师要钻研教材与试题，深刻理解教学内容的本质，掌握核心知识和核心思想方法，精心设置问题的变式，通过螺旋式上升，激活学生的数学思维，［3］同时还要引导学生挖掘知识的内在联系，归纳、整理、感悟、反思，浓缩所学知识，形成知识网络，能够自行编制试题，让学生在解题与编题中实现“解一题，通一类”的飞跃。

参考文献：

［1］刘琼.启迪学生思维，聚焦数学思想——以微专题教学“组合数求和”的教学设计为例［J］.数学通讯（下半月刊）,2017（2）:13-16.

《南方都市报》作为国内首屈一指的都市类报纸，以前版面很多，甚至星期四、星期五的报纸会达到100多个版面，印刷厂从下午3点即开始印刷。而近几年，印量和版面都有一定减少，设备虽然满负荷运转，但生产班次由两个班次缩减为单个班次，每日运转时间亦大大缩短，每周一至周五，从夜间11点开始印刷次日的报纸，周六日则从凌晨12点开始即可。

［2］傅种孙.平面几何教本［M］.北京：北京师范大学出版社,1982：2.

［3］赖庆龙.题组引领 变式提升 高效复习——以高三二轮基本不等式复习为例［J］.数学通讯（下半月刊）,2017（5）:13-16.