1 引 言

过渡曲线在CAD和CAGD中具有很重要的地位，可以应用在很多工业领域，如道路轨道路径设计.一般地，在设计过程中，会考虑曲线的光滑程度，因为一条光滑度很高的曲线不仅可以从外观上给使用者视觉上的享受，而且会满足许多功能方面的需求.而曲线的光滑性和曲率单调性又有着密切联系.

1989年，Farin和Sapidis[1]给出了一个光滑曲线的定义：如果一条平面曲线含有相对较小的曲率单调的曲线段，则该条曲线是光滑的.由于一些螺线的曲率是关于自身弧长的线性函数，如欧拉螺线、考纽螺线、回旋线等，所以，先前有很多学者用它们来设计光滑过渡曲线[2].但这些螺线，都含有超越函数的积分，不便于计算，所以后来许多学者开始考虑运用多项式参数曲线来代替传统螺线设计光滑过渡曲线.最早，Walton和Meek模仿回旋线，构造了一条起始点曲率为零且曲率单调递增变化的三次Bézier螺线[3]，很好的解决了回旋线作为过渡曲线在轨道路径设计中的缺陷，随后，他们又构造了一条五次PH螺线[4]，也取得很好的效果.另外，类Bézier曲线是Bézier曲线的推广，它几乎完全保留Bézier曲线所有的优点，甚至在某些方面比Bézier曲线更有优势.一方面，它有形状参数，可以不用调整控制多边形的顶点，就能达到调节自身形状的目的.另一方面，它可以克服Bézier曲线不能精确表示圆锥等曲线的弊端，这类曲线主要是一些非多项式基函数的类Bézier曲线，诸如C-Bézier曲线、H-Bézier曲线和T-Bézier曲线等.基于此，近些年来，用类Bézier曲线设计过渡曲线也慢慢得到推广应用.比如，2008年，Azhar等人利用一条三次类Bézier曲线(Alternative曲线)提出了一种在两圆间构造一条过渡曲线的方法[5].2010年和2014年，蔡华辉等人前后提出了C-Bézier螺线[6]和H-Bézier螺线[7]的构造方法，并用它来作为道路设计中过渡曲线的设计工具，取得良好的效果.

第一是网络。物流最容易被感知到的就是网络体系。一个物流公司好不好，关键看网络体系如何。截止2017年底，新邦加盟网点近1700家，在国内零担竞争力中排在前20名，市场认可度高。夏辉、DHL这样在国际都具有很强国际竞争力的公司更不必说。

三次T-Bézier是由韩旭里2004年提出的[8]，其上展示了许多优点，比如它能够精确表示椭圆等二次曲线、它可以比三次B样条曲线更能接近控制多边形等.随后，韩西安等[9]对其进行了形状分析，给出了曲线上含有奇点、拐点和曲线为局部凸或全局凸的充分必要条件.2005年，杨联强等[10]通过再引入一个形状参数，对三次T-Bézier曲线进行了改进，达到了整体和局部控制曲线形状的目的.但一直以来关于T-Bézier螺线的构造方法没有给出，针对此种情形，本文对三次T-Bézier螺线的构造方法展开研究，并分别给出了构造两圆弧间S型和C型过渡曲线的详细算法.

2 预备知识

2.1 一些表示符号

定义2.1.1 平面上点和向量可写为

在此基础上，秸秆覆盖还可以更好的提升土壤中的有机质以及腐殖质的含量，既可以增加土壤团粒结构比重，同时也可以增加土壤中动物以及微生物的数量和活性，从而对耕层土壤的结构进行一定的改善。经过试验发现，覆盖秸秆4500kg/hm2的土壤表土层（0-10cm）土壤容重为 1.29g/cm3，而覆盖秸6000kg/hm2的土壤表土层容重仅为1.23g/cm3，这也证明了秸秆覆盖对于土壤物理结构具有良好的改善作用。

有点后悔点了炒面，应该吃凉拌面，典型的吃着碗里看着锅里。除了炒面、凉拌面，还有炒面皮、炒年糕，灌汤臭豆腐，小笼包、虾籽面、烧饼、混沌、肉丁烧麦……太多的小吃，可一星期不重样。

P=(px，py)， Q=(qx，qy) .

以及向量的长度可表示为

定义两向量间的运算

护理专任教师临床实践的角色定位既与实习护士不同,也与进修护士有差异。护理专任教师需要在较短的临床实践中,掌握常见疾病的防治与护理,了解临床护理常规以及新进展、新技术等。如果固定安排一位指导老师并与其同步进行每天的护理工作,难以全面学习。如果不固定指导老师,则可能由于不熟悉环境、患者而出现安全问题,进而引起患者维权纠纷,同时也缺乏归属感,直接导致临床实践流于形式,不能深入。

P×Q=pxqy-pyqx=‖P‖‖Q‖sinθ，

P·Q=pxqx+pyqy=‖P‖‖Q‖cosθ，

这里θ表示的是向量P到Q的有向转角，规定逆时针方向为正.

定义2.1.2 一条平面曲线P(t)的有向曲率κ(t)和曲率的导数κ′(t)是

(1)

(2)

这里

(3)

其中规定：如果曲线上的点的曲率中心沿着曲线参数t的递增变化的方向看时，在曲线左侧，则曲率为正；相反，则曲率为负.

2010～2015年，医师人均每日担负诊疗量呈现上升趋势，增长0.3人次，其中，乡镇卫生院，社区卫生服务中心和站分别增长0.39人次、3.53人次和0.92人次；基层医疗卫生机构人均每日担负入院量在2010～2012年呈现上升趋势，2012～2015年保持稳定，截止2015年底，相比2010年，基层医疗卫生机构医师人均担负入院量减少0.05人次，其中，乡镇卫生院增长0.15人次，社区卫生服务中心增长0.16人次，社区卫生服务站减少0.16人次。(见图1-2)

2.2 三次T-Bézier曲线

定义2.2.1 给定平面上一组控制顶点Pi(i=0，1，2，3)∈2，三次T-Bézier曲线表示为

(4)

这里

即使T-Bézier螺线在处的曲率导数为零.

P′(t) =[2(1-sint)(1-λsint)cost+λ(1-sint)2cost](P1-P0)

+2cost sint(P2-P1)+(-1+cost)sint(3λcost-λ-2)(P3-P2)，

(5)

P″(t)= [(9λsint-8λ-4)cos2t+sint(-4λ-2)+4λ+2](P1-P0)

+(2cos2t-2sin2t)(P2-P1)

+[(-1+cost)(9λcos2t+λ cost-4cost-4λ-2)](P3-P2)，

(6)

图1 三次T-Bézier曲线(λ=1)和其控制多边形

如图1所示，设边Pi+1Pi的长度是li，单位方向向量是Ti，则有

Pi+1-Pi=liTi， i=0，1，2，

(7)

及T0到T1和T1到T2的有向转角分别是θ，φ，则有

T0×T1=sin(θ)， T1×T2=sin(φ)， T0×T2=sin(θ+φ)，

(8)

T0·T1=cos(θ)， T1·T2=cos(φ)， T0·T2=cos(θ+φ).

(9)

通过式(1)和式(4-6)可得曲线P(t)在两个端点的曲率值分别是

(10)

3 三次T-Bézier螺线的构造

本文旨在构造起始点曲率为零且曲率单调递增变化的三次T-Bézier螺线，所以需要讨论其曲线自身的曲率单调性，通过式(1-3)知，即要判断式φ(t)>0，但式(3)至少是一个五次多项式，讨论其正负性已十分困难.为了方便讨论，这里我们对三次T-Bézier曲线添加一些约束，首先令

θ=0， l1=(2λ+1)l0.

(11)

同时由式(1-9)及(11)得

由式(7)和(10-12)计算可得

l2=l0cos(φ)，

(12)

其中

再令

(13)

这里表示曲线的终点曲率.

从中可以看出f(0)和f(1)在s∈(0，+∞)都是大于零的.

图2 三次T-Bézier曲线的曲率图

其实，满足式(13)的三次T-Bézier曲线已是所构造的螺线，这里仅给出λ=1的情况下，曲线曲率单调递增的推导过程，其他情况类似可推.

当λ=1时，

l1=3l0， l2=l0cos(φ).

(14)

下推κ′(t)>0，即推g(t)>0.

其中

φ1(t)=(-1+cost)g(t)，

g(t)=g0(t)cos2φ+g1(t)sint，

q(t) =(2cost cos2φ(cos2t -2)(-1+cost)2sint+(cos2φ-1)cos6t-4cos2φcos5t

+(5cos2φ+4)cos4t+(-5cos2φ-4)cos2t+4costcos2φ-cos2φ

由式(1-9)计算化简可得

设cos(φ)=u，u∈(0，1)，则g(t)=f(u)=g0(t)u2+g1(t).而推f(u)>0，即推f(0)和f(1)大于零.显然

(15)

令以及

但大阪总领馆的全力救助，在国内互联网上引发的却是令人意想不到的后果：当部分自媒不负责任地渲染“中国大巴开进机场接人”“中国游客优先上车”等失实细节后，大阪总领馆很快深陷持续质疑。

3.家庭变成腐败的助推器。家庭是预防抵制腐败的重要阵地，腐败是影响家庭幸福的隐形杀手。从近年发生的国企“一把手”腐败案件来看，在“一把手”的职务升迁过程中，其家庭没有起到应有的助廉防线作用，反而变成了“一把手”违纪违法的助推器。如有的国企“一把手”利用企业资源平台，为家人经商办企业提供便利，从中谋取巨额利益；有的“一把手”配偶、子女等家人为行贿人谋取不法利益牵线搭桥，并从中收受巨额钱财；还有的“一把手”在被调查期间，其家人不仅没有积极提供协助，反而暗中大量转移涉案资金，毁灭证据，企图帮被调查人掩盖违纪违法事实。

将如上变换式代入式(15)，得

此时可以看出当λ确定后，满足式(13)的三次T-Bézier曲线的自由度为5，分别为：P0或P3的两个坐标，T0，κ和φ.现给出当时，λ分别取实线(点线)和1(虚线)三次T-Bézier曲线的曲率图.(图2)

我们的群众路线，不是满足于那个热热闹闹，主要的是要做经常的、细致的工作，做人的工作。这是一点一滴的工作，这样的工作积累起来，才有我们伟大的成绩。所以，我们要搞得深入一些。我们党的历史，我们党的传统，有热闹的形式，但是归根到底，我们是实事求是地做深入的工作。……最容易的工作是开大会，发个一般号召，敲锣打鼓，搞得热热闹闹，那个工作究竟见多少效？

故可得下述定理.

对h0(φ)和h1(φ)求导可得

定理1 设形如式(4)的三次T-Bézier曲线P(t) (λ=1)的首末端点的单位切向量分别为T0，T1，终点处的曲率为κ，T0到T1的有向转角为φ，且若控制顶点P0，P1，P2，P3满足

则这条三次T-Bézier曲线为起始点曲率为零且曲率单调增加的螺线.

下面用这条T-Bézier螺线在两圆作S型和C型过渡， 并给出具体的算法.

现给定两圆心分别为C0和C1，半径分别为r0和r1的两圆Ω0和Ω1，假设

C1-C0=(cx，cy)

(16)

以及两圆间的圆心距为d，接下来我们用一对T-Bézier螺线P0(t)和P1(t)来构造两圆间过渡曲线.

4 两圆间S型T-Bézier过渡曲线

如图3所示，P(0)=P0(0)=P1(0)为两T-Bézier螺线的公共端点，点和分别为两螺线和两圆的接触点，T为公共端点P(0)处的单位切向量，N为此处的单位法向量.T0和T1为两曲线在圆弧上和处的单位切向量， 单位法向量分别为N0和N1.向量T到T1和-T到T0的夹角都为φ.

(17)

图3 两圆间的一对S型T-Bézier螺线过渡

同时由几何关系式得

T1=cosφT+sinφN，

(18)

T0=-cosφT-sinφN，

(19)

(20)

(21)

通过式(17-21)，化简可得

(C1-C0)·N=(r1+r0)h1(φ)，

(22)

(C1-C0)·T=(r1+r0)h0(φ)，

(23)

由定理1可得

增值税费用的发生导致相关资产的减少或负债的增加，所以，增值税费用=当期发生的应交增值税+递延增值税负债的增加-递延增值税资产的减少。

其中

所以可得

现令

(24)

I’ve been here since the end of June.自6月末以来我就一直待在这儿。

不难发现h0(φ)，h1(φ)，h′0(φ)以及h′1(φ)在都是大于零的， 所以和在 进而p(φ)也是单调递增的.

哦，女孩子重感情，她一时间不肯答应，肯定是想和我多交往一段时间，考验我对她的爱是否能持之以恒，我在她面前好好表现便是……他暗暗地想着。

又由(24)式得 当(r0+r1)<‖C1-C0‖时， p(0)=(r0+r1)2-‖C1-C0‖2<0.所以当(r0+r1)<‖C1-C0‖时，p(φ)在存在唯一解.

下面给出两圆间S型三次T-Bézier过渡曲线具体算法.

通过运用证伪思维对司法机关所搜集的被害人陈述进行审查,往往能够发现新的破案线索和证据,尤其是有利于发现真正的犯罪实施者。证据的收集与审查判断本身就是互为条件、相辅相成的。被害人陈述有时往往从表面上看是就事论事，但由于它是反映案件事实的直接证据，所以在对其个证与他证关系的审查判断中，通常能从对案件的详细叙述中获得新的破案线索或证据。

算法1：

Step1. 通过式(24)，求出φ.

Step2. 由式(16)和式(22-23)求出T和N的值.

Step3. 由式(18-19)求出T0，T1的值.

Step4. 随即求得N0和N1，进而求得圆弧上控制顶点和

Step5. 又通过定理3.1，求得P0，P1和P2.

5 两圆间C型T-Bézier过渡曲线

如图4所示，P(0)=P0(0)=P1(0)为两T-Bézier螺线的公共端点，点和分别为两螺线和两圆的接触点，T为公共端点P(0)处的单位切向量，N为此处的单位法向量.T0和T1为两曲线在圆弧上和处的单位切向量，单位法向量分别为N0和N1.向量T到T1的夹角为φ，而-T到T0的夹角都为-φ.

图4 两圆间一对C型T-Bézier螺线过渡

类似地， 通过计算可知

(25)

又且当(r1-r0)<‖C1-C0‖时，p(0)=(r1-r0)2-‖C1-C0‖2<0.知当(r1-r0)<‖C1-C0‖时，p(φ)在存在唯一解.

通过式(25)求得φ.算法其他步骤与算法1类似，这里略.

作为比较,文献[19]中提取的置信度不小于0.60的最优规则为r1,r4,r6和r7,其中r7虽然置信度为1但其覆盖能力较弱,故在给出的规则覆盖能力度量阈值下舍弃。

6 结 论

本文构造了一条形状参数λ∈(0，1]的三次T-Bézier螺线，并给出了λ=1时，该螺线曲率单调递增的推导过程和利用其构造两圆弧间S型和C型过渡曲线的算法.另外，由于该螺线起始点曲率为零，可以取代回旋线作为轨道路径设计的过渡曲线，具有一定应用价值.

[参 考 文 献]

[1] Farin G ， Sapidis N. Curvature and the fairness of curves and surfaces[J]. IEEE Comput. Graph，Appl.， 1989，9(2)： 52-57.

[2] Walton D J， Meek D S. The use of cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 1989， 25:69-78.

[3] Walton D J， Meek D S. A planar cubic Bézier spiral[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 1996， 72(1):85-100.

[4] Walton D J， Meek D S. A pythagorean hodograph quantic spiral[J]. Computer Aided Design， 1996， 28(12): 943-950.

[5] Azhar A， Jamaludin M A. Constructing G2transition spiral using cubic Bézier-like curve[J]. Computer Graphics and CAD/CAM， 2008(1):041-054.

[6] 蔡华辉，王国瑾.三次C-Bézier螺线的构造及其在道路设计中的应用[J].浙江大学学报(工学版)， 2010，44(1): 68-74.

[7] 蔡华辉，柳炳祥，程燕.三次平面H-Bézier螺线[J].图学学报，2014，35(3):374-378.

[8] Han X L. Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter[J]. Computer Aided Geometric Design， 2004， 21:535-548.

[9] Han X，Huang X L，Ma Y C. Shape analysis of cubic trigonometric curves with a shape parameter[J]. Applied Mathematics and Computation，2010， 217:2527-2533.

[10] 杨联强，邬弘毅.带形状参数的三次三角Bézier曲线[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2005，28(11):1472-1476.