1 引 言

高等数学、线性代数(含解析几何)和概率论与数理统计是理工科专业学生在本科阶段必须学习的重要基础课程，也是理工科专业学生知识结构的重要组成部分. 因此，这三门课程的教学不但要为学生提供专门的数学知识和数学工具，而且还要培养学生自主学习、自主创新、自主应用能力.要实现这样的教学目标，就必须做到教学内容要“吐故纳新”，教学设计要富有启发性.教师要用现代数学的观点、思想和方法重新审视传统的教学内容，在讲授传统教学内容时，要渗透现代数学思想，要构建启发学生创新思维的教学设计，教学过程不但要突出数学思想方法的传授，更要加强培养学生的数学思维创新.

随着信息技术的发展，矩阵理论与方法的应用越来越广泛，线性代数课程教学内容的改革和创新的教学设计自然也越来越重要，因此，线性代数课程的教学不仅仅是教会学生简单的矩阵运算，而应该是教会学生如何活用矩阵概念，如何深入理解矩阵运算的内涵.本文通过线性代数课程教学中克拉姆法则的教学设计来分享如何培养学生的科学思维和科学创新能力.

2 克拉姆法则

普通高等学校理工科专业的线性代数课程一般都会讲求解线性代数方程组的克拉姆法则[1]，它也是行列式在线性代数方程组求解方面的一个重要应用.具体内容可描述如下：对于含有n个变量x1， x2，…，xn的线性代数方程组

(1)

若系数行列式D=|aij|≠0，则方程组(1)有唯一解其中Di是将系数行列式D中的第i列用方程组(1)的常数列(b1，b2，…，bn)T代替后的n阶行列式.

这就是大家熟知的求解线性代数方程组的克拉姆法则的主要内容.因为在方程组(1)有唯一解的情况下，它给出了形式简单的求解公式，所以往往受到学习者的青睐，教师在讲授此法则时也难免赞其形式美.但是，该法则证明过程未必引起众多学习者的兴趣，甚至许多学习者只记住了该结论，而没有用心去理解该法则的证明过程，更不可能去创新该法则其他形式的证明过程以及考虑该法则在几何上如何解释.

3 克拉姆法则与矩阵分块

事实上，若记A=(aij)n×n，x=(x1，x2，…，xn)T，b=(b1，b2，…，bn)T，则线性代数方程组(1)可表示为矩阵形式Ax=b，其中，A称为系数矩阵，x称为未知量矩阵，b称为常数矩阵.本文不赘述方程组Ax=b是否有解，以及有解时有唯一解还是有无穷多解的相关条件和性质，而仅在方程组(1)有唯一解的情况下，通过利用矩阵分块的方法，构造克拉姆法则的一种证明过程，分享在讲授矩阵分块时，如何诱导学生科学运用矩阵分块思想，引导学生深入理解矩阵乘法和分块矩阵乘法，达到培养学生思维创新的目的.

毕淑敏在《提醒幸福》里说过：我们从小就习惯了在提醒中过日子，提醒注意跌倒、提醒注意路滑、提醒受骗上当、提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却从不提醒我们幸福。现实生活中，我们的物质生活越来越富裕，社会福利越来越好，可是幸福却常常被人遗忘。回顾这一年来自己所经历的一切，真实地感受到幸福也需要被提醒。

其中ai=(a1i，a2i，a3i)T， i=1，2，3， b =(b1，b2，b3)T.在三维几何空间中，a1， a2， a3分别表示三个向量.当方程组(5)有唯一解时，三个向量a1， a2， a3线性无关，在几何上表现为不共面.为了便于几何直观理解，我们约定方程组(5)有唯一解，且解的每一分量都非零.在此条件下，向量组x1a1，x2a2，x3a3也是线性无关的.

不妨对系数矩阵A=(aij)n×n施行列分块

A=(aij)n×n=(a1，a2，…，an)，

其中ai=(a1i，a2i，…，ani)T， i=1，2，…，n.这样，方程组(1)可表示为如下形式

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

相同地，对n阶单位阵E施行一样的列分块

E=(e1，e2，…，en)，

其中ei， i=1，2，…，n是单位阵E的第i列.此时，利用矩阵分块运算的性质，下面的推理过程是显然的：

An×nEn×n=An×n ⟹ A(e1，e2，…，en)=(a1，a2，…，an)

⟹ (Ae1，Ae2，…，Aen)=(a1，a2，…，an)

(2)

⟹ Aei=ai， i=1，2，…，n.

综观上述过程，我们根据矩阵乘法和矩阵分块运算的特点，采用对比方法，构造了一种简单的克拉姆法则证明过程.这样的教学设计利于培养学生不拘常规、大胆地进行思维创新的意识和能力.

我们的学习可以分为高效学习和低效学习两种。用尽量少的时间获得较高的学习效益的学习就是高效的学习，用大量的时间获得较低的学习效益的学习就是低效的学习。预习工作可以为我们节省大量的时间，从而实现效高效的学习。

(Ae1，Ae2，…，Aei-1，Ax，Aei+1，…，Aen)=(a1，a2，…，ai-1，b，ai+1，…，an).

(3)

利用矩阵分块乘法性质，(3)式亦与下式等价

A(e1，e2，…，ei-1，x，ei+1，…，en)=(a1，a2，…，ai-1，b，ai+1，…，an).

(4)

注意到矩阵(e1，e2，…，ei-1，x，ei+1，…，en)和(a1，a2，…，ai-1，b，ai+1，…，an)均为n阶方阵，且很容易验证

2014年，为加快推进镇域经济和新型城镇化建设，广西又出台了《广西百镇建设示范工程实施方案》，按照“缺什么、补什么”的原则，在培育主导产业，发展工业、边贸、旅游和文化等方面制定了一系列的优惠政策和支持政策，进一步优化了广西特色城镇发展的政策环境。

这样，在D=|A|≠0的条件假设下，自然就有至此，完成了克拉姆法则的证明.

|(e1，e2，…，ei-1，x，ei+1，…，en)|=xi， |(a1，a2，…，ai-1，b，ai+1，…，an)|=Di.

而

|A| |(e1，e2，…，ei-1，x，ei+1，…，en)| = |(a1，a2，…，ai-1，b，ai+1，…，an)| ⟹ |A|xi=Di.

斑潜蝇主要危害西葫芦叶片，在叶片内幼虫蛀食造成弯曲的隧道，破坏叶绿素和叶肉细胞，严重时叶片枯死甚至成片植株死亡。

利用条件Ax=b替换等式(2)左右两端的第i个分量可得

4 克拉姆法则的几何解释

再利用混合积、行列式的性质可得

x1a1+x2a2+x3a3=b，

(5)

运用洼田氏饮水实验以及吞咽困难分计量表对患者的吞咽困难情况进行评估。饮水试验标准:治愈,饮水试验评估为Ⅰ级,吞咽无障碍;有效,饮水试验评估为Ⅱ级,吞咽障碍有获得改善;无效,患者吞咽存在困难,饮水试验评估为Ⅲ级。

解释一 分别对等式x1a1+x2a2+x3a3=b的左右两端，先同a2做向量积，再同a3做数量积，就得两个相等的混合积

(x1a1+x2a2+x3a3，a2， a3)=(b， a2， a3)，

为了培养学生从几何直观去理解代数，从代数推理去认识几何的思维品质，本文同大家分享特殊条件下克拉姆法则的几种几何解释.基于矩阵分块的思想，当n=3时，线性方程组(1)也可以写成如下形式

|x1a1+x2a2+x3a3a2a3|=|ba2a3|，

此时，根据方阵乘积的行列式性质就有

|x1a1+x2a2+x3a3a2a3| =|x1a1a2 a3|+|x2a2a2a3|+|x3a3a2a3|

=x1|a1a2a3|，

自然就有同理可得：

解释二 观察方程组(5)解的形式

图1

图2

不难发现：分母上的行列式|a1 a2 a3|可以理解为向量组a1， a2， a3的混合积，是以向量组a1， a2， a3为相邻棱的平行六面体的体积；x1(x2，x3可以类似理解)分子上的行列式|b a2 a3|可以理解为向量组b， a2， a3的混合积，是以向量组b， a2， a3为相邻棱的平行六面体的体积(思考：在上述条件约束下，向量组b， a2， a3的线性相关性)，而且，这两个平行六面体可以理解为具有相同的底面，底面积为‖ a2×a3‖，如图1所示.

这样，x1可以理解为以向量组b， a2， a3为相邻棱的平行六面体的体积与以向量组a1， a2， a3为相邻棱的平行六面体的体积之比(用棱向量b代替棱向量a1).

解释三 完全可以从几何上证明：以三向量x1a1，x2a2，x3a3为相邻棱的平行六面体与以b，x2a2，x3a3为相邻棱的平行六面体是同底(底面积为‖ x2a2×x3a3‖)等高(思考：为什么等高？高是多少？)的两个平行六面体，如图2所示.

既然同底等高，自然体积相等，即

12月12日，希望工程“比翼行动”教育信息化公益项目捐赠启动仪式在陕西省宝鸡市凤翔县举行。这是这一公益项目成立以来在全国首次落地实施，计划未来3年向陕西省西安市周至县、宝鸡市凤翔县等11个县（区）共捐赠价值4 200万元的现金及教育信息化设备。

V =(x1a1×x2a2)·x3a3=|x1a1x2a2x3a3|

=x1x2x3|a1 a2 a3|，

下面的图形是从圆的两个性质定理引导学生提出椭圆和双曲线(有心二次曲线)的类似性质问题的示意图(图中M是弦AB中点或曲线上一点,有关斜率存在时).

V =(b×x2a2) ·x3a3=(x2a2×x3a3)·b=|(bx2a2x3a3|

=x2x3|b a2 a3|，

2.1 宿主相关性因素(host related) 宿主相关性因素包括:患者自身状况存在基础疾病，如免疫抑制、慢性阻塞性肺疾病，急性呼吸窘迫综合征等;还包括患者体位、意识水平、插管数量、镇静药物和抗生素药物使用情况等。Torres等［9］研究发现，仰卧位患者的气管分泌物细菌污染程度显著高于半卧位，气管插管降低了呼吸道的屏障防御功能，气管插管使下呼吸道的黏膜纤毛运动减退或消失，口咽部分泌物及定植菌沿气管插管移行，使用镇静药物使意识水平降低，有效咳嗽能力减弱，定植菌移行及误吸促进VAP的发生［10］。

这样，在x1，x2，x3非零的假设下，自然就有

类似地，亦有

老陈哈哈一笑，说我当过侦察兵的，别看我一把年纪了，两三个人还真的不是我的对手呢。老陈蹲了个马步，然后挥出一拳，说怎么样，这一拳，至少有几百斤的力量。然后，他又来了一个白鹤亮翅，由于脚底不稳，身体晃动了一下，我赶忙伸手搀住了他。

读者也可以自己尝试从几何上给出x2 和x3 的解释.

值得一提的是：我们尽管是在特殊情况下给出了克拉姆法则的几种几何解释，但是这种培养学生将几何直观与代数推理相互结合来认识客观规律的思维品质使我们教学所追求的高目标、高要求.至此，许多启发性的思考问题自然而然地就产生了，比如：为什么在文中条件假设下，向量组b，x2a2，x3a3是线性无关的？唯一解x=(x1，x2，x3)T中有零分量时在几何上如何解释？当n=2时，几何上如何解释克拉姆法则？等等.

从国家校企合作政策沿革看，“校企合作”一直是国家政策关注的重大问题。特别是《行动计划》对“优质校”校企合作目标任务的要求，足以说明国家教育政策扶优培强、以点带面的意旨。之所以校企合作要素在国家职业教育政策中占有非常重要的比重，是因为职业教育政策是为实现“中国梦”培养所需职业人才的制度保证。教育顶层设计给予了高中职和“优质校”建设体系完整、任务明确、保障有力的国策支持。

5 结束语

作为离散量教学的载体和数值计算理论基础的线性代数理论为解决工程技术、信息处理领域(图像处理、特征提取、视频清洗、虚拟现实模拟等)中的实际问题提供了准确的数学语言描述和核心的算法基础.因此，要培养满足现代科学技术发展需求的具有创新思维、创新能力的人才，科学重构大学线性代数课程的教学内容是十分必要的.要实现这样的教学目标，在线性代数与解析几何课程的教学中，我们要做到：强化代数知识与几何知识之间的交叉，夯实学生的几何基础；改变单一理论陈述的教学模式，避免学生学完本门课程后只是简单地记住了一些标题性的概念和掌握了一些常规性的基本运算，而没有真正掌握线性代数理论的科学内涵以及“矩阵运算”的“妙用”之处；教学内容设计要吸收现代数学方法，将线性代数的几何背景以及矩阵理论在现代科学技术中的应用实例写入教材，改变学生认为线性代数就是枯燥地、形式地进行简单“行变换”的一门课程的表面认识.只有这样，才能使学生真正掌握矩阵理论和矩阵方法，激发其进行科学研究、科学探索、科学创新的意识和兴趣.

[参 考 文 献]

[1] 魏战线，李继成，线性代数与解析几何 [M].2版.北京：高等教育出版社，2010.