有关泛函分析的论文怎么写好一点
回答 您好，通常论文都由标题、摘要、正文、参考文献等四部分构成 标题要求直接、具体、醒目、简明扼要。标题应是整个论文总体内容的体现，要用词恰当，力求简短，能反映出论文的内容。 摘要要说明研究的目的、方法、成果和结论，要突出论文的新见解，语言精炼。提要应具有独立性和自含性，即不阅读论文的全文，就能获得必要的信息。要便于检索。中文摘要200字左右。 正文是毕业论文的核心内容，包括绪论、本论、结论三大部分。正文不要车轱辘话来回说，一句话表达准确即可，尤其不要多次出现主观感受性话语，类似于感受性的需要不可以作为论文的论据。绪论要明确、具体地提出所论述课题，本论主要阐述自己的观点及其论据，结论要写论证的结果，做到首尾一贯，同时要写对课题研究的展望，提及进一步探讨的问题或可能解决的途径等。 参考文献即撰写论文过程中研读的一些文章或资料，要选择主要的列在文后。 做好准备工作 准备工作重新审视文献/更新文献。决定你的受众： 1）这是什么类型的文章：研究论文，回顾类论文，教程。 2）想要投稿什么类的期刊。 3）读者是谁：本科生，专业研究者，还有总是要面对的审稿人。 更多8条
负指数Sobolev空间中的自适应多尺度图像去噪模型及算法研究 张祥卫 基于分数阶变分PDE的图像建模与去噪算法研究 张军基于Sobolev空间序列特征值问题的自然图像小尺度模式分析 何鹏 陶建华 可以在百度HI上问我索取哦
你就交一篇关于拓扑学的文章吧！ 以下是资料，自己挑挑拣拣点有用的吧！我就不帮你了， （飘走~~~~） 拓扑学 拓扑定义 是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 编辑本段拓扑性质 拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。 编辑本段拓扑发展 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。 编辑本段发展简史 拓扑学起初叫形势分析学，这是GW莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;CF高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是JB利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。 1851年起，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念， 组合拓扑学的奠基人是H庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中， 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。 一般拓扑学 最早研究抽象空间的是M-R弗雷歇，在1906年引进了度量空间的概念。F豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以RH宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 代数拓扑学 LEJ布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数υ-e+ƒ>则是）。成为引人瞩目的学科。紧接着，JW亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性）， 随着抽象代数学的兴起，1925年左右AE诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S艾伦伯格与NE斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。 同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:B→A都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显， 前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年JP塞尔利用J勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。 从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。 从微分拓扑学到几何拓扑学 微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J-L拉格朗日、B黎曼、H庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。 1953年R托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年JW米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年S斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。JW米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法——剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。 近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。 拓扑学与其他学科的关系 连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。 拓扑学与微分几何学有着血缘关系， target="_blank">向量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，HM莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给É嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场论（见杨－米尔斯理论）提供了现成的数学框架， 维数问题 ">维数问题 什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学对于A爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。 拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J勒雷和JP绍德尔把LEJ布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题 ">纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。MF阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。 拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用（见%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%Ehtml target=_blank>闭曲面的分类)托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见代数数论）。 范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别， 在经济学方面，这说明，J冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。 托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用"欧拉的多面体公式与曲面的分类 ">欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现， 除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。 拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。
有关泛函分析的论文怎么写好一点啊
分析类的设计，我懂可以了解好的
写论文的基本框架你是不能少的，其次就是多看下参考的资料，像汉斯出版社的网站上的，OA期刊，你也可以看看，毕竟查文献才是整个环节的重中之重
论文撰写的主要内容与写作技巧 (一)题目 医学论文担负着传播医学信息、进行学术交流、指导临床实践的重任，论文的题目是信息的集中点，更要求论文命题能准确反映文章内容，提供有价值的信息，因此，论文题目要求具体、简洁、鲜明、确切而有特异性和可检索性。 1、论文题目要有具体性。 题目不具体是初学者撰写医学论文时常见的缺点，例如“矽肺的预防”，“乙型肝炎的流行病学调查”等等。 2、论文题目要有简洁性。 题目应简短、精练，言简意赅地表达文章的中心思想。要删除一切可用可不用的字词，以突出主题。一般中文文题字数以20个汉字以内为宜，最多亦不超过30个字，英文以10个实词以内为宜，文题中间不用标点，题末不用句号；尽量少用“的研究”、“的探讨”、“的观察”等非特定词。题目太长就不鲜明简洁和引人注目。例如，《无偿献血者肝炎指标检测结果及不同性别与血型差异分析》，应改为：《无偿献血者肝炎检测结果及相关因素的分析》。非长不可时考虑用加副标题的办法来解决。副标题常常是将主要研究方案列出附在主标题之后，但必须用圆括号或破折号与主题分开，位于正标题之下，以区分于正标题。较大的题目则应分成若干分题。每个分题单独写一篇文章，且尽可能不设副标题。 3、论文题目要确切而有特异性。 指的是要求突出论文中特别有独创性、有特色的内容。文题应准确地表达论文的特定内容，实事求是地反映研究的范围和深度，防止小题大作，名不符实 例1，《剖宫产资料统计分析》，该文仅涉及剖宫产时间的统计分析，其他资料如产妇的年龄、职业、新生儿性别等均未涉及，故应改为：《剖宫产时间统计分析》。 例2，《鼻挫伤、烧伤等38例远期疗效分析》，文中述及的内容还有裂伤、撕脱伤、离断伤、挫伤、烧伤等，单列2种伤不全面，应改为：《鼻创伤38例远期疗效分析》。 例3，《天津市区胃癌危险因素的配对病例对照研究》 (中华流行病学杂志，2001，22(5)：362)这个题目既有特点，也很具体;题目应突出论文的特异性、新颖性，不要套用“××病××例临床分析”，或千篇一律地冠以“研究”“探讨”、“体会”之类的陈词俗套。题目可有多种类型，有以目的命题、以研究对象命题、以研究方法命题、以研究结论命题等。“研究”、“探讨”、“观察”、“分析”等词不是不能用，而是应在必要时用。例如，《低密度脂蛋白受体基因多态性与高脂血症关系的研究》，宜改为：《低密度脂蛋白受体基因多态性与高脂血症的关系》。 4、论文题目要有可检索性。 题目应适应学术交流和信息传递的需要，用词严谨规范，凡病名、解剖生理名词、治疗方法、检查方法等，不得用俗称、习惯用语或社时的旧名词，必须使用全国自然科学名词审定委员会公布的名词。 5、撰写论文题目应注意以下几点(1)文题应避免使用非公用的缩略词语、符号、代号、公式等。外国人名、常见缩略语和符号(如CT、ATP、DNA、HBsAg等)可以使用，但不宜将其原形词同时列出，亦不必再写出中文全名。以外国人命名的综合征或体征，不必译成中文，不加“氏”字。(2)文题中的数字均用阿拉伯数字。但不包括作为名词或形容词的数字，如“十二指肠”不能写成“12指肠”，“三叉神经”不能写成“3叉神经”。(3)下列情况，应在文题的右上角加角注，并在首页下列出角号及加注内容。论文系某科研基金会资助的课题总结，加注“本文系某科研基金会资助”；论文曾在国际学术会议上作过报告，加注“本文曾在某年某国际学术会议上报告”；论文系在进修或学习时的工作总结，加注“本文系在某院进修期完成”。 (二)作者及其单位 作者姓名在文题下按序排列，作者单位名称及邮政编码脚注于首页左下方。作者应是：①参与选题与设计，或参与资料的分析和解释者；②撰写或修改论文中关键性理论或其他主要内容者；③能对编辑部的修改意见进行核修，在学术界进行答辩，并最终同意该文发表者。仅参与获得资金或收集资料，及对科研小组进行一般管理的人员不宜列为作者，对这些人员的贡献应列人致谢部分 作者署名主要按作者(或单位名称)在研究中的作用、贡献以及所能承担的责任依次写明姓名和所在单位，而不是论资排队。例如，学位论文署名有时研究生名字在前，导师名字在后，实际上整个科研设计导师起了很大作用，而研究生做了大量实际工作，因此列为第一作者。对上述3条作者条件的规定，凡署名的作者均必须具备对文章中各主要结论，至少有一位作者负责，集体署名文章必须注明对该文负责的关键人物。来自不同单位的较多研究可只写研究者(作者)姓名，并于各姓名右上角标一小符号，在第一页脚注上注明符号所代表的作者单位名称。所有参加署名的人，都应对论文的内容负责，需要时能对读者的疑问作出恰当的解释和说明 另外，还要注意以下几点 1、一篇论文的署名不宜过多。 一般不超过10人，其余作者可采用注释形式列于本篇文章首页下方，指导者、协作者、审阅者可列入致谢中，应征得被致谢者同意。参加研究者或作者已死亡，应在姓名外加黑线框 2、单名作者则姓与名之间空一格。 如作者系论文的整理、执笔、文摘摘稿人、简讯作者、综合者，其姓名一般置于文末，参考文献之前，并加括号 3、译文文摘的署名应写在全文末右下方，用圆括号括起，译者与校对者之间空一格。 4、署名应署真名、全名，不应署笔名。国内作者的中文署名写全名，其外文署名按1978年国务院规定一律用汉语拼音，也是姓前名后，姓和名的首字符大写，其间留空一格，双名或双姓的拼音字符连写，不加连字号。如郝加虎为“Haojia-hu”，欧阳明为“Ouyong Ming”。若两字拼音连写处出现元音字符相接而其音节可能发生混拼时，则在两元音字符间的上方加隔音号(，)以示区分。如刘长安为“LiuChang’an 5、学位论文的署名应按“实事求是、论功署名”的原则，不计资历深浅、不论学衔高低，而应根据在研究工作中所负的责任和所起的作用来决定 6、多学科综合研究课题的署名应按课题组组长的姓名一般排列在前，组员按贡献大小依次排列在后的情况处理。若在总的研究课题中又有分课题的情况下，分课题单独发表时，分课题的组长可以名列在前，组员按在研究成果中所起的作用大小排列 三)摘要(abstract)与关键词key words 摘要是论文中主要内容的高度浓缩并能提供文中的关键信息。论文摘要应简明扼要地描述课题的性质、研究目的与意义、材料与方法、结果、讨论和结论中的重要内容。一般论文摘要不要超过200字。 在论文正文的前面，需要撰写论文摘要。我国国家级医学期刊，通常都要求中、英文摘要，而且采用了国际医学期刊要求的格式化摘要(structured abstract)。格式化摘要国外期刊大多采用Haynes RB等提出的格式(More informative abstracts Ann Intern Med，1990，113：69-)，包括目的objective)、设计(design)、研究场所(setting)、病人或其他研究对象(patients or other participants)、干预措施(in-terventions)、主要结果的测量方法(main outcome measures)、结果(results)及结论conclusions)共8项；我国医学期刊将其简化：目的、方法、结果和结论四部分，各部分冠以相应的标题，并采用第三人称撰写，不用“本文”等主语，文字要极其精练，不一定要用完整句子，字数限于200～250字左右。 论著稿应在摘要下面标出关键词(key words)。关键词为论文正确编目，标出关键词的目的主要为了便于作主题索引，便于电子计算机检索使用，因此要求尽可能准、全。关键词要求简洁、明确，将论文中可供检索点列出。关键词是专业术语，而不是其他词汇，一般要求列25个。要求标出文章所研究和讨论的重点内容，仅在研究方法中提及的手段不予标出。尽量使用美国国立医学图书馆编辑的最新版《Index Medicus))中医学主题词表(MeSH)内所列的词。如最新版MeSH中尚无相应的词，可选用直接相关的几个主题词组配，如无法组配则可选用最直接的上位主题词，必要时可用适当的习用自由词。 (四)前言(introduction) 是写在论文正文前面的一段短文，起提纲挚领作用。论文开始一段是前言，一般文章均不将前言列为标题，只是有一段文字将正文引出，字数不宜过多，一般300字左右。但国外期刊有关研究背景知识介绍的篇幅较长。前言是为了给读者一点预备的知识，并借以引起读者阅读下去的兴趣，因此要特别注意精练、开门见山而有吸引力，对研究历史回顾应避免繁琐。在研究论文的前言中扼要介绍与本文密切有关的史料。 前言部分主要讲清楚所研究问题的来源及本文的目的性。课题来源可以从文献中来，也可从临床实际工作中提出，需要在前言部分简明扼要地写清楚，所要研究的是什么问题，问题的提出是从何而来的?本文准备解决哪些问题。有时一项科研工作已持续多年，该论文是以前某一阶段工作的总结，则要说明该项科研工作总的目的，以前发表的论文已解决了其中的某个问题，本篇论文是准备解决其中哪个问题。总之要将论文的目的写清楚，使读者看了一目了然，知道本文所研究问题的来源、重要性以及研究目的是什么。前言的内容无需在文中重复，初写者常将前言部分内容和讨论部分重复，这是不允许的。 总之，前言就是用简单的文字描述该项研究的背景与动向、研究目的(包括思路)、范围、历史、意义、方法及重要研究结果和结论，前言要切题，起到给读者一些预备知识的作用，并能引人人胜。 五)材料与方法(materials and method 应体现科研构思和实验设计的各项要求。这部分是论文的重要组成部分，其篇幅较大，一般分析性和实验性研究大约需要1500字左右才能写清楚。需要详细撰写的理由是：使读者看了后能重复，以及便于审稿者复核。“材料”主要交待作者用什么具体实验对象或什么具体的资料来进行研究，“方法”指用什么具体实验方法或搜集资料的方法来收集资料。因此“材料与方法”在有些研究的论文中也称为“对象与方法”或“资料来源与方法”。“材料和方法”不能和“结果”部分合并撰写。撰写的内容包括 1、对象 ①研究对象人选的方法：即如何从目标人群选人样本人群，撰写时应使用下列名词：随机样本(random sample)、选自人群的样本(population-based sample)、转诊样本(referred sample)、连续样本(consecutive sample)、志愿者样本(volunteer sam-ple)及随便抽取的样本(convenience sample)，将研究对象的来源介绍清楚，其主要目的除了估计抽样误差外，尚能帮助读者了解论文结论的适用范围。②诊断标准和纳入/排除标准：尽量使用“金标准”，并标明诊断标准的出处，切不可笼统地冠以“全部研究对象符合全国统一诊断标准”。③入选研究对象的样本数：如有拒绝人选者应注明人数，并说明原因。④研究对象的一般特征：包括年龄、性别、民族及其他重要特征。⑤研究对象的分组方法：是否随机分配，采用何种随机分配方法：简单随机化，区组随机化或分层随机化，切不可简单地写“随机分组”一句话。 2、研究方法 ①基本设计方案：基本设计方案应写明，下列名词可供撰写用：如治疗性研究应使用“随机对照试验”、“非随机对照试验”、“交叉对照试验”、“前后对照试验”、“双盲”、“安慰剂对照”等名词；诊断研究应使用“金标准对照”、“盲法”等名词；预后研究应使用“前瞻性队列研究”、“回顾性队列研究”、“起始队列(inception cohort)”广等名词；病因研究应使用“随机对照试验”、“队列研究”、“病例对照研究”、“横断面研究”等名词；描述性研究应写明是“病例分析”、“普查”、“抽样调查”等；临床经济学分析应写明“成本 效果分析”、“成本 效用分析”、“成本 效益分析”等。②研究场所：要写清楚在“人群或社区”、“医学中心”、“基层医院”、“门诊”、“住院”等。③干预措施：试验的措施及执行方法应详细交待；投于患者的药物应写明化学名、商品名、生产厂名，中药还应注明产地，并详细说明每日剂量、次数、用药途径和疗程；试剂应写明生产厂家名，试验方法如是作者新建立的要详细介绍，老的方法应注明出处，所采用的仪器须注明型号及生产厂名。④盲法：盲法的具体实施情况应交待，包括安慰剂的制作，保证盲法成功的措施等。⑤测量指标及判断结果的标准：如暴露及疗效标准等的确定都有公认的标准，撰写时都应注明。⑥质量控制：控制偏倚发生所采用的措施。 3、统计分析方法：包括资料收集方法的介绍，采用何种统计方法，如采用计算机分析，计算机的型号及何种计算机软件都必须一一交待。如在《银屑病危险因素研究》[中华流行病学杂志，200l，22(3)]一文中，作者撰写的材料与方法如下。 一、研究对象 1、病例组 220例有家族史银屑病患者，年龄分布在6-72岁之间，平均年龄为34-35岁，其中男125例，女95例；547例无家族史银屑病患者，年龄分布在3-76岁之间，平均年龄10岁，均来自我院皮肤科门诊1997年12月1日至1999年8月31日确诊的病人，病例间无亲缘关系。 2、对照组 同时选择我院外科住院病人的健康家属(无任何皮肤病)647名作为对照，男378名，女269名，年龄分布在3-73岁之间，平均年龄为70岁；对照间亦无亲缘关系；病例组与对照组在性别、年龄方面经统计学处理差异无显著性 二、家庭史的确认 除先证者外，其一级或二级亲属中至少还有一位银屑病患者。 三、资料的收集与分析 在门诊对每位先证者进行详细询问，记录其一般情况、家庭史、发病情况等，以了解先证者一、二级亲属的患病情况(二级以上亲属未统计)，对患病亲属进行随访，以确诊是否患病。一级亲属包括先证者的父母、子女及同胞，二级亲属包括先证者祖父母、外祖父母、伯叔、姑舅、侄子女、外甥子女、孙子女、外孙子女。所有病例、对照均用EPI info 0软件包进行统计学分析 针对不同类型论文还应提供一些资料 1)临床研究：1)病例来源及选择标准：病例是住院还是门诊病人，或是普查普治；病例选择标准(引用者要注明出处，自订者要说明根据)，诊断及分型标准，分型分组标准(应考虑随机分配和双盲观察)。2)一般资料：病人例数、性别、年龄、职业、病程、病因、病情、病型，主要症状和体征，实验室及其他检查结果，临床或病理诊断依据，观察方法与指标等，对病例摘要可不写姓名和住院号，内容包括：·主诉、现病史、重要的有意义的家族史和既往史，体格检查、实验室检查及其他特殊检查结果，住院经过，治疗方法和疗效等。3)治疗方法：如药物名称、剂量、剂型、使用方法及疗程、生产厂及出厂日期(批号)等。如为手术治疗则需写出手术名称、术式、麻醉方法等。4)疗效观察项目及疗效标准：如症状体征、实验室检查及现代医学器械检查、病理检查、观察方法与指标、疗效标准(痊愈、显效、好转、无效、死亡 2)实验研究：1)实验条件：动物名称、种系、品系、数量、来源、性别、年龄、身长、体重、健康状况、分组标准和方法、手术和标本制备过程，实验、观察、记录的手段、方法及注意事项。2)实验方法与质量：感染接种方法，仪器种类及其精密度、测定结果，描记图像，试剂种类、规格、来源、成分、纯度、浓度、配制、操作方法及过程，生产单位、出厂日期及批号等。3)其他：季节、室温、湿度以及其他条件等 3)现场调查研究：要阐明何时、何地进行本次调查，设计类型是队列研究、病例对照研究或现况调查，随机抽样的方法，样本量大小的估计。调查对象是普通人群或高危人群，甚至病人。如果调查对象为病例，则必须有一个正确的诊断标准，还需注明病例来自医院还是从普查中获得。由于资料来源能反映调查结论的可信性，所以应实事求是的详尽叙述，使读者可以从中判定该文是否有进一步阅读价值及结论的可靠性。方法包括实验室检测及其统计方法。实验室检测应介绍使用的方法、步骤、试剂来源、批号及诊断标准，如果应用新的方法则应介绍具体操作过程。统计方法如果是众所周知，则毋须详述，如果采用新的统计方法，应介绍计算公式，引自文献等，使读者了解应用是否确切 (六)结果 要求如实具体交待经审查核对后用统计学处理的实验观察数据资料，而不要求把原始数据全部写出。主要介绍全部的发现及数据，是论证的重要依据。结果的中心内容是经过科学地统计学处理得来的数据，而不是原始数据，更不是原始记录。结果应当客观完整和可靠，所有的结果项目，均要围绕研究主题，有逻辑、有层次地层开，与主题无关的部分，不宜全部列出，但在材料与方法中列出的项目与标准，在结果中必须反映出来，并且要吻合一致。 结果是论文的核心，它反映了论文水平的高低及其价值，是结论的依据，是形成观点与主题的基础和支柱，约用全文的1/31/4篇幅书写这部分内容。由结果引发讨论，导出推理。结果的内容包括真实可靠的观察和研究结果，测定的数据，导出的公式，典型病例、取得的图像、效果的差异(有效与无效)、科学研究的理论结论等。对不符合主观设想的数据和结果，应作客观的分析报道。有的医学论文可将实验方法与结果连写。临床医学论文中也可将疗效标准、治疗结果和并发症写在结果内 结果部分应根据不同情况分段叙述，可以设小标题，小标题之下亦可再设分标题。结果表达时应注意：①数据表达要完整：报告结果的例数与人选研究对象的例数应吻合，剔除例数与剔除理由应交待，失访例数及因其他原因死亡例数也应写清楚，如有数据不全应作解释。如进行两组比较，应列出两组除研究因素以外的其他临床基线情况(base line)，并进行均衡性检验，两组是否可比。②科研设计时确定的科研假设主要测量指标，如在结果部分作丁更改应作解释。③统计处理注意事项：当相对数的分母太小时，应报道绝对数，如10/20例，而不能只报告50%病例；应用的率和比应正确，选择的各种统计分析方法要正确，复杂的统计分析要作解释；应同时报道95%可信区间(95%CI)④诊断试验的研究应报告灵敏度、特异度、预测值、似然比及受试者工作特征(ROC)曲线。 统计学处理主要使原始数据从难理解变成易于理解，并从原始数据的偶然性中揭示出隐藏在其中的某些必然规律。用统计学处理原始数据时，首先要通过分组将原始数据重新排列，制作频数表，然后算出均数或百分率，并用显著性检验所得的P值来判定其组间差异的意义，以获得包含在原始数据中的信息，其次是用文字或统计图表将它们表示出来。结果的表达形式有表、图、文字3种。统计图比统计表更便于理解与比较，但统计图中不能获得确切数字，所以不能完全代替统计表。图的标题应置于图的下端，图有纵轴和横轴，两轴应有标目，标目应注明单位，横轴尺度自左至右，纵轴尺度自下而上，尺度必须等距，数值一律由小到大，一般纵轴尺度必须从0点起始(对数图及点图等除外)，图中用不同线条应注明，图的长、宽比例一般以7：5为宜。常用的统计图有直条图、圆形图、百分直条图、线图、直方图、散点图等。直条图利用直条的长短来表达按性质分类资料各类别的数值，如疾病分类、性别、治疗效果等，表示它们之间的对比关系。圆形图和百分直条图适用于百分构成的资料，表示事物各组成部分的构成情况。线图和直方图用于按数量分组的资料如时间、年龄、身高、体重及血压等有连续性的指标。散点图用以表示两种事物的相关性和趋势，一般横线代表白变量，纵轴代表因变量。临床医学研究的论文结果中往往还会运用插图和照片如心电图、脑电图、X线片、CT片等来表示研究中的发现，插图的画面要重点突出，照片要注意拍摄的环境及技术条件的一致性。文字表达和图表表达不要重复，文字是表达结果重要的、不可缺少的手段，要简明扼要，力求用最少的文字、最简洁的语言把结果表达清楚，一般不宜引用参考文献。文字表达应当是要点式叙述，可分几项撰写，每一项报告一组数据，使读者看了一目了然。图表的表达应符合统计学的规定。 总之，结果是论文中的主体，是作者的主要劳动成果，结果必须完整、清晰、准确无误，不允许有丝毫的含混和差错。 七)讨论 主要是对实验观察结果或调查结果做出理论性分析。这是全篇文章的精华所在。讨论是为了寻找事物之间的内在联系，可把本文取得的结果与文献或过去的工作进行对比，寻找其间的关系，讨论所需引用的文献材料应尽量抽象概括，而不是抄袭别人的文献资料。讨论部分是从理论上对实验和观察结果进行分析和综合，为文章的结论提供理论依据。讨论部分是以结果部分为基础和线索进行分析和推理，表达作者在结果部分所不能表达的推理性内容。讨论的内容应当从实验和观察结果出发，实事求是，切不可主观推测，超越数据所能达到的范围。很大程度上取决于作者文献掌握的多少，作者的分析能力如何，切忌将讨论部分写成他人文献的综述。归纳起来，讨论部分应表达下列内容 1、应紧密结合本文研究所获得的重要发现，以及从中引出的结论进行讨论，而不是重复结果部分的内容。特别是要对新的发现、文献尚未报道的内容进行深入讨论，包括可能的机制、临床应用范围以及从研究结果对总体的推论。必须强调应紧密结合本文发现进行讨论，且所作的推论必须恰当。 2、应讨论本文发现和文献报道同类研究的结论有何不同，哪些文献支持本文发现，哪些文献报道与本文结论不同，切忌冗长的文献综述式的阐述。 3、应对本文研究不足之处进行讨论； 可能存在的偏倚，以及偏倚的来源；对本文研究的内部真实性和外部真实性进行讨论；要肯定本文的结论尚需进行哪些项目的研究等等。 4、提出进一步的研究方向、展望、建议和设想。 以上内容并非每篇论文的讨论都必须涉及，面面俱到。应从论文的研究内容出发，突出重点，紧扣题目，围绕一个至几个“小核心”进行。对于新的临床病例报告，还应讲清楚诊断标准和鉴别诊断。如果是有关新药疗效，还要说明如何肯定疗效，疗效的指标是否合理，今后治疗方法上还需如何改进等。要集中围绕几个观点讲深述透，不必面面俱到。每个讨论最好有一个小标题，提示讨论的中心内容，按结果栏目中的顺序并结合文献分段撰写，或标出序号。其次序应从时间、因果、重要性、复杂性，相似与相反的对比等方面来考虑，使内容有条理，有联系，重点突出。讨论部分不使用图和表，篇幅亦不宜过长，一般占全文的1/31/2即可。文献一般不整段引用，而是摘其观点或结论，用角码标出参考文献。 讨论中要注意以下几点：(1)不要过高的解释结果：讨论中不要盲目夸大实验或调查的理论意义、应用范围和应用价值。例如，一篇题为《大葱预防口腔癌变过程中上皮细胞内微量元素分析》的论文中，得出“大葱可达到治疗和预防口腔癌变的目的”的结论。而该研究的实验仅仅获得初步结果，这一结论明显夸大了该文的理论意义和应用价值。(2)不要对结果解释不全：从事科研工作时间不长，对科技论文写作不熟悉的作者常范此类错误。一方面，可能是查阅资料不多，对与课题有关的信息掌握不全面；或可能由于作者文字表达能力差，不知道如何解释结果。例如在《脊髓小脑变性患者脑脊髓中单胺类神经递质的浓度测定》一文的讨论中，作者仅介绍了2篇相关报道，并仅重复部分实验结果部分，而对该文许多需要解释的地方，作者只字未提。比如讨论中提到，脊髓小脑变性(SCD)患者3-甲基-4羟基苯乙二醇(MH-PG)、5-羟吲哚乙酸(5-HIAA)、3-甲基-4羟基苯乙酸(HVA)浓度较对照组降低，与文献报道基本一致；但所引用的文献中5-HIAA水平升高，与作者的报道略有不同，且作者还检测到SCD组中5-羟色胺(5-HT)与对照组相比差异无显著性(这一结果是该文特有的，尚未文献报道)，作者并未就上述问题进行讨论。因此，笔者建议作者就上述问题进行有针对性的讨论，以确保该文的学术质量。(3)不要对结果进行无关的解释：无关或多余的解释是指引用与课题研究不太相关或完全无关的文献，而不去围绕该文的资料结果展开讨论，此类错误常忽视了本应讨论的问题。例如，在一篇题为《巴特综合征5例报告》的病例报告，作者用大量篇幅转述巴特综合征的发病机制，而看不出所述机制与全文内容有任何逻辑关系。该文属于病例报告，应该把讨论的重点放在临床资料的展示和归纳上，并对资料作简明扼要的分析即可。(4)不要对结果进行错误的解释：错误解释是指解释不当，或有意歪曲实验事实，以使其符合作者当初立题时的设想。此类错误可能是作者理论水平有限而未能发现设计上的漏洞或表述上的漏洞，也可能是因为实验结果与当初设想相背离，课题结束时间已到或硕士、博士毕业时间临近而有意为之 总之，讨论中要紧密地围绕研究的主题，不宜离题发挥或重复他人之见，切忌大量旁征博引，而对自己研究所得的第一手资料轻描淡写。因此，研究者应将已获得的材料系统化、理论化，形成自己的见解，以便进一步阐述研究的结论。 八)结论 结论是论文最后的总体结语，主要反映论文的目的、解决的问题及最后得出的结论。通过实验观察的结果，从中对事先提出的假设作出判断，即结论。在流行病学调查中，所揭示的规律，即结论。任何研究论文都要尽可能地提出明确的结论，回答科研构思或科学假说所提出的问题，因此结论也是科研构思或科学假说的答案。结论应写得简明扼要，精练完整，逻辑
有关泛函分析的论文格式怎么写的
一定要第三版哦，第二版的我自己会说是第三版其实是第二版、、、浪费老子时间、
学术堂整理了一份心理学论文格式，供大家参考: 1、论文发表题目:要求准确、简练、醒目、新颖 2、目录:目录是论文中主要段落的简表(短篇论文不必列目录) 3、提要:是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整字数少可几十字，多不超过三百字为宜 4、关键词或主题词:关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在"提要"的左下方 主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语 5、论文正文: (1)引言:引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义， 并指出论文发表写作的范围引言要短小精悍、紧扣主题 (2)论文正文:正文是论文发表的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论主体部分包括以下内容: 提出-论点; 分析问题-论据和论证; 解决问题-论证与步骤; 结论 6、一篇论文的参考文献是将论文发表在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献着录规则》进行 中文:标题--作者--出版物信息(版地、版者、版期):作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是: (1)所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证 (2)所列举的参考文献要标明序号、着作或文章的标题、作者、出版物信息 论文发表有一些注意事项: 论文发表格式的论文题目:要求准确、简练、醒目、新颖 论文发表格式的目录目录是论文中主要段落的简表(短篇论文不必列目录) 论文发表格式的内容提要:是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整字数少可几十字，多不超过三百字为宜
(论文标题)重师毕业论文理科版样式（小2号黑体）摘 要：“摘要：”二字请用5号黑体加粗。内容部分请用5号宋体。从第二行开始文字不缩进。正文部分，请用小4号宋体排版，另外，你还是不确定的话可以参考（心理学进展）里面的论文，看下别人的排版
要写心理学哪方面比:社会心理学青少年心理学广告心理学先确定方向选择其知识点再找资料《心理学报》上有多还有得确定做实证研究还理论研究理论研究比较容易价值大
有关泛函分析的论文题目有哪些好写
实变 相对难学 ，泛函还好， 复变函数 ， 可以单独学 影响不大
教育专业毕业论文题目只是需要题目吗？论文呢？
要深入理解概念，因为概念不理解就很难将知识串联起来，这样就会觉得学得很困难，很累！
负指数Sobolev空间中的自适应多尺度图像去噪模型及算法研究 张祥卫 基于分数阶变分PDE的图像建模与去噪算法研究 张军基于Sobolev空间序列特征值问题的自然图像小尺度模式分析 何鹏 陶建华 可以在百度HI上问我索取哦
有关泛函分析的论文怎么写啊初中
可以按照自己的实际生活去写的。要是不会写的话也是可以去请教一下老师的，毕竟老师比较懂一些的，还有就是个可以去请教品优刊。看你自己那个方面就去问那个。
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初中学生怎么写好作文？#云南校校君
你就交一篇关于拓扑学的文章吧！ 以下是资料，自己挑挑拣拣点有用的吧！我就不帮你了， （飘走~~~~） 拓扑学 拓扑定义 是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 编辑本段拓扑性质 拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。 编辑本段拓扑发展 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。 编辑本段发展简史 拓扑学起初叫形势分析学，这是GW莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;CF高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是JB利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。 1851年起，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念， 组合拓扑学的奠基人是H庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中， 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。 一般拓扑学 最早研究抽象空间的是M-R弗雷歇，在1906年引进了度量空间的概念。F豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以RH宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。 代数拓扑学 LEJ布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数υ-e+ƒ>则是）。成为引人瞩目的学科。紧接着，JW亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性）， 随着抽象代数学的兴起，1925年左右AE诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S艾伦伯格与NE斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。 同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:B→A都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显， 前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年JP塞尔利用J勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。 从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。 从微分拓扑学到几何拓扑学 微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J-L拉格朗日、B黎曼、H庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。 1953年R托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年JW米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年S斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。JW米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法——剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。 近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。 拓扑学与其他学科的关系 连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。 拓扑学与微分几何学有着血缘关系， target="_blank">向量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，HM莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给É嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场论（见杨－米尔斯理论）提供了现成的数学框架， 维数问题 ">维数问题 什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学对于A爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。 拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J勒雷和JP绍德尔把LEJ布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题 ">纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。MF阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。 拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用（见%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%Ehtml target=_blank>闭曲面的分类)托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见代数数论）。 范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别， 在经济学方面，这说明，J冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。 托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用"欧拉的多面体公式与曲面的分类 ">欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现， 除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。 拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。