有关泛函分析的论文选题怎么选啊初中

学术论文是对新的科学研究成果或者创新的见解和知识的科学记录，是对一个学术课题的实验性、理论性或预测性的、或者是对引用到实际取得新进展的已知原理的科学总结。如何撰写一篇好的学术论文？一、在撰写之前的准备工作：1、了解你需要撰写的论文，一篇论文需要分成哪些步骤。2、根据自己的兴趣和专业方向确定选题和方向。3、搜索相关文献资料，并且阅读大量相关书籍。4、确定题目，制定研究的具体步骤。学术研究是无止境的。很多观点在当时是对的，但是随着时间的变化该研究问题的答案也随着变化。所以在选题上要敢于质疑，但是质疑的前提必须是有理有据，并不是随便怀疑。学术论文的语言精炼、简洁。核心概念不宜过多，最多只能有两个核心概念。核心概念超过两个，论文的研究内容就非常难把握了。核心概念一旦太多，学术论文的全篇可能就是在解释概念，研究的实质性内容就会被覆盖。选择文献也需要根据几点要求进行选择：1、选择有代表性的文献，2、选择有代表性的作者论文，3、选择以研究视角来梳理文献，4、不需要千篇一律的在引言中进行文献梳理。学术论文体现了作者对专业知识的掌握程度，专业基础扎实的，逻辑思维能力就会很强。就一定可以撰写出一片具有代表性的学术论文。学术论文写作方法与技巧1、论文的理论框架论文的论点在阐述的时候一定要有一个理论框架，特别是硕士论文，不可以只是一、二、三、四的罗列。论文的理论水平往往就从这里彰显了，理论和观点的差别就是系统性。理论框架如同纲，纲举目张，论文就成一体了，否则会有拍脑袋的嫌疑，别人也会质疑结论的覆盖面和价值。2、请重视摘要写作在审阅几届学生的学术论文的时候，往往发现学生不会写摘要，也许是不重视摘要写作所致?摘要对于论文非常重要:决定了编辑、评审人员是否会采用你的论文，读者是否会阅读你的论文。从另外一个方面来说，摘要也反映了你的学术能力简单概括地向别人介绍你的思想

学术论文选题的常见“九大”方法科学研究的实践证明，一篇学术论文的价值关键并不只在写作的技巧，也在于作者选择了什么课题，并在这个特定主题下选择了什么典型材料来表述研究成果，通常只有选择了有意义的课题，才有可能收到较好的研究成果，写出较有价值的学术论文。可以说，在学术论文撰写中，选题是头等重要的问题。以下是达晋编译总结学术论文选题的常见“九大”方法：一、从读书和讨论中发现问题。也就是在广泛阅读文献信息的基础之上，分析已有研究成果，了解相关信息，进而发现问题，思考选题。二、突破学科空白处、空缺处、交叉口。可对旧主题独辟蹊径，选择新角度阐述问题；或纠正研究方法的错误或缺陷选择选题；或在学科综合比较中发现新问题。三、综合比较与社会调查。综合，是指归纳、总结学术界对某一问题的全部研究成果，或在此基础上加以评论；比较，是比较同一事物在不同时间内的具体变化，或不同事物在同一标准下的比较；社会调查，是指从社会实践中搜集一手资料，去伪存真，确立选题，也就是选题源于实践。四、拟想验证法。也就是根据自己的观察学习，初步产生选题拟想，而后通过阅读资料并验证来确定选题。五、回溯法。也就是从事物结果或现状着手，进行逆向思维，寻找矛盾的根源，确定选题。六、怀疑法。也就是对已有结论、常规、习惯、行为方式等合理性作非绝对肯定，或者否定判断。七、换位思考法。也就是摆脱原有思维定势，从不同角度和层次认识研究对象。八、时间法。可以对研究对象的不同类型在某一个时点所构成的全貌的研究，也可以在不同时点或较长时间内对某一科学发展现象的研究，这也就是横剖研究和纵贯研究。九、移植法。也就是发现不同学科研究对象与思维方法之间的联系，借鉴其他学科的方法研究本学科的问题。

01为什么说“题好文一半”　　选题是论文写作的第一步，选题包括选择一个合适的论题和提出有价值的论点。学术论文不同于命题论文，写什么题目需要作者去思考、去发现、去选择。“题好文一半”是很多作者写作经验的总结，因为确立一个好的题目，就可能写出一篇好论文;相反，即使语言通畅、结构清楚，而论点不新或论题没有价值就不能写出好的论文。由于护理论文选题是指在护理研究项目完成之后，以整个研究项目或某一部分作为写作内容，故论文选题与科研选题密切相关。在科研选题立项时，要充分查新、论证，有的文章因科研起点不高，设计不严密，可比性差，论点难以成立，强作文章，必然劳而无功。在编辑初审稿件时，首先就是看选题，即是否为可论文题，有没有作者的观点和经验。这是评判一篇论文可否采用的最基本的标准。作者务必要在选题上下功夫。关于如何选题立意，附录于本章后的“护理论文要意在笔先”一文中作了详尽论述，可供参考。02论题与论点有区别吗?　　对于护理学术论文，论题与论点是有区别的，它们不同的概念，不同的内涵，但它们又有联系。在一篇文章里，只有论题，没有论点，不成论文;也不可能只有论点，没有论题，两者相互依存。弄清其中的关系，有助于提高选题的水平。论题，是作者提出的问题，是论文中要涉及的内容和范围。论点，是作者对论题发表的观点、看法、主张。前者是确立论文的“疆界”，后者是树什么“旗帜”。论点是对论题的答复。论题是对论点的限定。如有的论题为高龄病人的护理，但文中没有高龄人的特点，对任何年龄段都适用，没有作者的观点，这个“旗帜”就没有树起来;也有的论文，研究疾病的治疗方法，如手术怎么做，用什么药，也许论点没错，但涉及的问题出了护理的“疆界”。谈及论题和论点的区别与联系，是要说明同一论题，可以有不同的论点，学术研究活跃问题更是如此。倡导百家争鸣，有利于护理学科的进步。同一论题，也可以从不同角度、不同侧面选择不同的论述题目。如《山西护理杂志》1997年第5、6期开设“专题笔谈：系统化整体护理”，作者各持不同论点，或从管理、教学，或从临床不同角度发表观点，各抒己见，学术气氛很浓，这是护理学界应大力提倡的。03怎样才能选好论题?　　好题是可论之题加有价之说，即是读者感兴趣的、能在一篇文章中论述清楚的论题，加上正确、新颖、有理有据的观点。这是选题的目标。选题活动的动因在于发现问题，因为发现问题才能找到研究目标;发现问题，才能就题而论。问题是论题的源头。有很多人困惑于无题可选，其实是缺少观察、缺少发现的缘故。鲁迅说过：“不要看了就写，观察了又观察，研究了又研究，精益求精，哪怕是最平凡的事物，也能创造出它的生命力来”。这对选择论题是很有启发的。论题应是可论之题，可论，就是论题涉及的范围要适中，论题过大，很难用一篇论文论述清楚，很难写透。由于题大，涉及面广，道理难免说得抽象，可能论述没错，但读者会感到离得很远。例“骨折病人的康复护理”一文，文中分三个层次论述：骨折康复必须是整体康复;临床康复首先是基础护理;康复必须在指导下进行训练。要分别论述清这3个问题，并非易事。因为选题过大，作者难以把握切入角度。论题也不宜过小，显而易见的问题，道理非常浅显，难以展开论述，强作论文，有小题大作之嫌。可论之题还应考虑论题的导向因素，即论题不应超出学科研究的范畴。如在护理专业期刊上，刊出并非护理学科研究的问题，就会给读者产生误导，这不利于学科的健康发展。如有的作者将研究某一药物的制作、药理、治疗效果的文章投寄护理学期刊，由于护理专业更重于药物的观察和保证疗效，故这类文章不适合于护理学期刊刊用。“可论”的原则是提出护理学科要解决问题，要以护理学科的宗旨确定论题，超出学科研究范围之作的内容，论述再好，也很难引起同行共鸣。

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毕业论文可以从专业性原则、价值性原则、热门性话题、可实现原则、创新性原则去参考选题，再结合自身兴趣，从自己的强势科目入手，选择自己感兴趣的课题能在研究的过程中提供动力，也可以减少很多阻碍。一、专业性原则选定论文题目时一定要选择与本专业相关的题目进行研究，避免跨专业进行选题。比如你是学计算机的，如果选题的时候选择“中医外治法治疗慢性前列腺炎临床研究进展”，这明显就不太合适。二、价值性原则无论是做理论研究还是实践应用，选定论文题目时一定要确保自己的研究是有价值的，要能解决实际问题。例如：“XX公司食品冷链物流配送路径优化研究”，这个研究可以解决公司配送路径优化问题，能够提高公司配送效率，具有实际应用价值。三、热门话题热门话题的优势：一是信息容易收集，一段时间内各媒体会有更多的相关信息。第二，在现实的经济生活中，你对这些问题有一种个人的感觉。第三，一旦你写得好，你就有机会被相关报刊杂志所采用。缺点是选择题目的学生很多，他们收集的数据来源相似，写的文章拼凑，从内容到结构几乎一样，很难有新的思路。四、可实现原则本科毕业论文通常是有时间限制的（半年左右），所以在选择论文题目的时候一定要保证所有题目是在有限时间内能够完成的题目，否则将会影响正常毕业。五、创新性原则创新性是学术研究的基础以及灵魂，社会的进步也都源于创新。所以，在选题的时候一定要确保创新性，要做别人没有做过的工作，不能照搬照抄他人研究。

论文的论题选定，一定要根据论文主题的范围，采用有的放矢的抓住某一个点进行论文选定，这样才可以让论述的时候，范围不会过分的广泛，而达到精准，清晰，主题突出的论证效果，这样才会更好一些。

论文题目是研究生生活的一个主要内容，这样一个主要的内容，自己是不可以选择的。你应该要求你的导师帮你确定研究的方向，这样才能够避免误入歧途。

选题依据=选题意义+选题背景。论文选题的依据通常情况是由以下几个因素确定：1、你自己的兴趣爱好，知识背景；2、(您所熟知领域)当前领域的研究热点问题;3、当前国内外的研究现状和已取得的成果；3、本领域还有没有解决的问题，或者是否存在其他领域先进的方法可引入等；4、请教身边的同学朋友。

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要确定论文的选题，就要看自己整个论文的思路框架，再确定论文的选题，确定你的研究方向，然后这个领域可以深入探索的

如何确定论文选题？学术志以学术为志业，矢志不渝！一、论文类型的选择关于论文类型的划分，大致如下：基于研究目的可划分应用性研究和学理性研究。应用性研究具有具体性、实践性、应用性三大特点，学理性研究具有学术性、抽象性、理论性三大特征。根据研究对象的不同层面，可分为现象性研究和规律性研究。根据研究时间轴可分为三类：历史研究、现状研究、趋势研究。通过研读大量论文，我总结出一种划分论文类型的方法：从时间轴看，分为过去—现在—未来；从研究对象看（图1），包括人、物、事、理、关系、模式、政策；从研究方法看，包括思辨性研究和实证性研究（实证研究又包括量化和质化两种范式）。详述研究对象（人、物、事、理、关系、模式和政策），我们来验证论文是否包括这些元素？图1 研究对象图首先是人，关于人的研究，以《斜杠青年》为例，该文以斜杠青年这个特殊群体为研究对象。当然，做群体研究的论文甚多，如近些年许多学者做边缘群体研究，（像农民工，留守儿童，同性恋，拉拉等等）。第二是物，物包含两种范畴，一类是实际存在的物，如《3D陶瓷打印的工艺特点和艺术特征》这篇论文中“物”指具体的物陶瓷。一类“物”指代新事物（如新技术、新模式、人工智能等等），就像前两年“慕课、直播、微信”也属新事物。第三是事，事分两类：大事和小事。比如说北京奥运会，刚刚过去的世界杯就是大事。我发现截止当前，有关世界杯的文章还未刊登发表。小事指我们社会生活当中的“琐事”，譬如彩礼问题、就业问题等。对我们而言，聚焦于小事更易发文，比如《从农家走进精英大学的年轻人：“懂事”及其命运》、《大学生“约炮”行为的延续与断裂：以自我合理化为理论视角》

毕业论文该怎样选题及其技巧参考如下文　　毕业论文写作，选题是关键，在学习撰写毕业论文时首先就应该学会如何选题。在进行毕业论文的选题时，应着重注意选题要恰当。　　题目大小适中，对实际工作有一定指导意义;应结合当前科技和经济发展，尽可能选择与社会发展及实际工作相结合的题目。一个题目太小了则不利于展开理论上的探讨。比如，"储蓄柜台客户填表制度的废除"就是一个十分具体的小题目。如果做一篇2-3千字的小型论文就可以将这种制度上的变革目的和效果阐释清楚，但是拿它来做一篇1万字左右的毕业论文就显得小题大做了。这种具体业务做法上的些许改变其意义一般也不是太大的。　　反过来，一个题目太大则不利于抓住重点展开论述。比如，"入世后，中资银行如何迎接外资银行挑战"，这个题目要做好大概可以写一本厚厚的专著。类似的题目诸如“中国保险业发展初探”、“国有商业银行如何发展中间业务”、“也论金融风险的产生与防范”等等，它们的共同特点是可以在同一个题目下探讨多方面的问题。这样，撰写论文时就无法落笔，往往是什么都涉及到一点儿，但什么都不深入、谈不透。

有关泛函分析的论文选题方向怎么选啊

注重选题的实用价值，选择具有现实意义的题目理论联系实际，运用自己所学的理论知识对实践活动进行研究，提出自己的见解，探讨解决问题的方法，不仅能使自己所学的书本知识得到一次实际的运用，而且能提高自己分析问题和解决问题的能力。有现实意义的题目大致有两个来源：(1)现实社会中急需回答的重大或热点问题。文科题目大多来源于此;(2)在本地区、本部门、本行业工作实践中遇到的理论或现实问题。注重选题的创新价值，选择具有新意的题目毕业论文成功与否、质量高低、价值大小，很大程度上取决于论文是否有新意。所谓新意，即论文中表现自己的新看法、新见解、新观点或在某一方面、某一点上能给人以新的启迪。论文有新意，就有了灵魂，有了存在的价值。新意可从以下四个方面来考虑：(1)观点、选题、材料直至论证方法都是新的。这类论文写好了，价值高，影响力大，但难度大。选择这类题目，须对某些问题有相当深入的研究，且有扎实的理论功底和写作经验。对于毕业论文来讲，限于学院的条件，要十分慎重，不提倡选择此类题目。(2)用新的材料论证旧的课题，从而提出新的或部分新的观点或看法。(3)以新的角度或新的研究方法重做已有的课题，从而得出全部或部分新观点。(4)对已有的观点、材料、研究方法提出质疑，虽然没有提出自己新的看法，但能够启发人们重新思考问题。以上四个方面只要能做到其中一点，就可以认为文章的选题有了新意。以上就是关于论文选题方向的相关分享，总之，在选题的方向确定以后，还要经过一定的调查和研究，来进一步确定选题的范围，以至最后选定具体题目。

1 自己擅长的，符合本专业要求的2 自己喜欢没用，所以要确定了几个之后和老师商量以免老师不喜欢重写3 让老师审核之前多问自己几个为什么选这个，老师问相关问题会问自己什么。

应结合当前科技和经济发展，尽可能选择与社会发展及实际工作相结合的题目。题目大小适中，对实际工作有一定指导意义，应结合当前科技和经济发展，尽可能选择与社会发展及实际工作相结合的题目。一个题目太小了则不利于展开理论上的探讨。毕业论文写作，选题是关键，在学习撰写毕业论文时首先就应该学会如何选题。在进行毕业论文的选题时，应着重注意选题要恰当。

有关泛函分析的论文怎么写啊初中

可以按照自己的实际生活去写的。要是不会写的话也是可以去请教一下老师的，毕竟老师比较懂一些的，还有就是个可以去请教品优刊。看你自己那个方面就去问那个。

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初中学生怎么写好作文？#云南校校君

你就交一篇关于拓扑学的文章吧！　　以下是资料，自己挑挑拣拣点有用的吧！我就不帮你了，　　（飘走~~~~）　　拓扑学　　拓扑定义　　是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。　　举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。　　简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。　　编辑本段拓扑性质　　拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。　　在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。　　在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。　　应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。　　直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。　　我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。　　拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。　　编辑本段拓扑发展　　拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。　　二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。　　因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。　　拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。　　拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。　　编辑本段发展简史　　拓扑学起初叫形势分析学，这是GW莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;CF高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是JB利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。　　1851年起，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念，　　组合拓扑学的奠基人是H庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，　　拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。　　一般拓扑学最早研究抽象空间的是M-R弗雷歇，在1906年引进了度量空间的概念。F豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。　　欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以RH宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。　　代数拓扑学 LEJ布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法，许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数υ-e+ƒ>则是）。成为引人瞩目的学科。紧接着，JW亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性），　　随着抽象代数学的兴起，1925年左右AE诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S艾伦伯格与NE斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。　　同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:B→A都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显，前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年JP塞尔利用J勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。　　从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。　　从微分拓扑学到几何拓扑学微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J-L拉格朗日、B黎曼、H庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步，以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。　　1953年R托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年JW米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年S斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。JW米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法——剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。　　近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。　　拓扑学与其他学科的关系连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。　　拓扑学与微分几何学有着血缘关系， target="_blank">向量场问题考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，HM莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给É嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场论（见杨－米尔斯理论）提供了现成的数学框架，维数问题 ">维数问题什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学对于A爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。　　拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J勒雷和JP绍德尔把LEJ布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题 ">纽结问题空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。MF阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。　　拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。四色问题在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用（见%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%Ehtml target=_blank>闭曲面的分类)托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见代数数论）。　　范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，　　在经济学方面，这说明，J冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。　　托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用"欧拉的多面体公式与曲面的分类 ">欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现，　　除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。　　拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。