小球与均质自由杆碰撞中的瞬心
瞬心是刚体运动学中的一个基本概念,教材上介绍了多种已知条件下确定刚体瞬心的方法,如图1示,已知平面刚体上某点O的速度v0和刚体角速度ω时,瞬心S点位于与v0垂直的方向上且与O点相距为的地方[1].
图1 瞬心概念图解
当小球与均质自由杆的端点发生垂直碰撞后,一般情况下自由杆将同时发生两种运动,既在其质心C以速度vC运动的同时,整个细杆绕过其质心的轴以角速度ω旋转,故此自由杆也存在运动的瞬心.本文将研究小球与均质自由杆发生不同类型的碰撞时,杆上瞬心位置分布的规律,并从力学上对此规律给出合理的解释.
实行了多年的城乡二元体制,使得河北省城乡居民在享受社会保障待遇上存在较大的差别,在养老、医疗、社会救助等方面都存在保障不均衡的现状。面对新形势,河北省政府在2016年全面完成城镇居民基本医疗保险和新型农村合作医疗整合工作,2017年起执行统一的城乡居民基本医疗保险政策,但在具体享受医疗报销的比例上还是有差别的。2016年河北省87.3%的村设立卫生室,但村级医疗诊所人员构成比较简单。
导师(通讯作者):赵毅强(1964-),男,教授,博士,主要研究方向为光电探测.Email:yq_zhao@tju.edu.cn
1 碰撞后自由杆的瞬心
例:如图2示,一长为2L,质量为m1的均质细杆,可在光滑水平面上自由运动,开始时细杆静止,另有一质量为m2的小球在水平面上以速度v0垂直于杆运动,与细杆的一端点P发生碰撞.
图2 小球与自由杆的碰撞
当小球与均质自由杆端点垂直碰撞时,可能存在如下4种不同的类型:a)完全弹性碰撞;b)一般非弹性碰撞;c)完全非弹性碰撞之一——碰撞后球与细杆各自独立运动;d)完全非弹性碰撞之二——碰撞后球与细杆“粘在一起共同运动”.综合前文所述及文献[2]可见,不论发生的是何种碰撞,碰撞后细杆的运动都是质心的平动与绕过质心轴的定轴转动的叠加,故碰撞后自由杆应存在运动的瞬心.
(1)
式中,u是碰撞后小球的运动速率, vC是碰撞后杆的质心运动速率, ω是细杆绕过其质心的轴的转动角速度,k是球杆碰撞的弹性度.
文献[2]讨论了球、杆的完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞.参照文献[3-5]的做法,不难求得球、杆的一般非弹性碰撞结果如下:
考虑杆上距质心x处的S点如图5示,该点一方面将以速率vC随杆一起平动,另一方面由于杆绕质心的旋转,该点将具有线速率ωx,且运动方向与vC相反,易知当:
(4)现场试验显示,在聚合物驱后,注水井注水压力上升,吸水剖面改善;井组产量稳中有升;含水上升速度、含水上升率要低于同区块的对比井组。
ωL=3vC
(2)
根据前述瞬心的定义可得,碰撞后杆上瞬心S点的位置为(如图3)
(3)
故
(4)
图3 S点位置
而对于情况d),碰撞后小球与细杆粘在一起共同运动,球杆系统的质心D点以速率vD运动的同时,整个细杆绕其质心D点以角速度ω旋转,根据文献[2]提供的计算结果,由图4可见,球杆系统的瞬心S点的位置为
(5)
图4
结合式(4)、式(5)可见,当小球与均质自由杆的端点发生垂直碰撞时,无论该碰撞是完全弹性的、完全非弹性的还是一般非弹性的,无论碰撞后小球与杆各自独立运动,还是小球与杆“粘在一起”共同运动,在碰后的一瞬间,杆上瞬心的位置均处于距离碰撞点4L/3处的S点(杆的长度为2L).
令冲击力F作用时间为0~t,由动量定理和动量矩定理有:
2 瞬心的力学解释
对于碰撞后小球与杆“粘在一起共同运动”的情形,也可作类似分析,在此不赘述.
图5
换言之,在上述球杆问题中,不论发生哪种类型的碰撞,杆上瞬心的位置都始终在杆上同一点处,而不是4个不同的点,既 “瞬心的位置与碰撞的类型无关”.同时可知,该瞬心的位置与小球的质量、初速度无关,与杆的质量无关.
Fdt=m1vC
(6)
FLdt=Iω
(7)
合并式(6)、(7)可得
m1vCL=Iω
(8)
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vC=ωx
(9)
时,S点的瞬时速率恰好为0,解式(8)、式(9)可得:
(10)
可见,当小球与均质自由杆的端点发生垂直碰撞时,杆的端点将受到与杆垂直的冲击力作用,在该冲击力作用下,细杆刚开始运动的瞬间,杆上4L/3处的S点瞬时速率必为0,整个杆以S点为瞬时中心而转动,故S点为杆的瞬心.这与式(4)、式(5)的结果完全一致,且瞬心位置与冲击力F的大小等其他因素无关(对应于球杆碰撞问题中,S点的位置与小球的质量、初速度等无关).
综合对比上述a)、b)、c)这3种碰撞的结果可见[2],其共同的特点是,碰撞后自由杆与小球各自独立运动,其中杆的质心以速率vC运动的同时,整个细杆绕其质心以角速度ω旋转.且在上述3种情形的碰撞结果中,均存在关系:
下面从力的角度来对上述球杆碰撞问题中的瞬心进行分析.当小球与自由杆端点P点垂直碰撞时,不论发生的是何种碰撞,其共同特征是,在杆的端点将受到一个冲击力F,此后杆的运动将由该冲击力F的性质完全决定(在此暂不考虑球与杆粘在一起共同运动的情况),如图5示,该力一方面对自由杆产生一冲量,使杆的动量发生变化,使杆的质心获得速率vC,另一方面,因该力作用在杆的端点上,将对杆产生一个冲量矩,在该冲量矩作用下,杆将绕其质心以角速度ω旋转,也既受冲击力F作用后,自由杆(质心)将在以速率vC运动的同时,整个杆以角速度ω绕其质心旋转,经过时间dt后,杆将运动到图中虚线位置.
3 结论与推论
前文讨论了小球与均质自由杆的碰撞问题,通过对4种不同类型的碰撞结果对比后发现,在碰撞后的瞬间,杆的瞬心S点都在杆上同一个位置处,并利用力学原理对此进行了解释.在此基础上,可形成如下结论和推论.
结论:当运动的小球与静止的均质自由杆(长为2L)端点发生垂直碰撞时,杆的瞬心S点必处于杆上距碰撞端点4L/3处,而与碰撞的类型无关.
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推论:当静止的均质自由杆(长为2L)一端点受到与杆垂直的冲力作用后,在杆刚开始运动的瞬间,杆的瞬心S点必处于杆上距该端点4L/3处.
最后值得说明的是,本文仅讨论杆的端点被撞击的情况,当小球(或冲击力)在杆上的作用位置发生改变时,瞬心位置也会发生相应变化,这不难通过计算得出,在此不再赘述.
参考文献:
[1] 赵凯华,罗蔚茵.力学[M].北京:高等教育出版社,1995.192-198.
[2] 任才贵.小球与均质自由杆的碰撞[J]. 大学物理,2006,25(5):16-18.
[3] 任才贵.小球与均质定轴杆的碰撞[J]. 大学物理,2011,30(3):22-23.
[4] 任才贵.对心碰撞过程的分析及一种新的解法[J]. 华东交通大学学报,2009,26(5):93-96.
[5] 任才贵.小球与均质定轴杆的碰撞(续)[J]. 大学物理,2012,31(7):19-20.
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