对液滴振动的研究，有助于喷墨印刷、燃油喷射等领域的产品研发[1-3]，也能运用于液体性质的测定[4]. 1879年Rayleigh发现了失重时无黏性液滴的振动模态[5]，1932年Lamb导出了失重时忽略黏滞性的情况下一种液滴浸在另一种液体中做小幅振动的固有频率表达式[6]，1983年Strani和Sabetta还研究了当液滴附着在固体平台上时振动的情况[7].

目前对液滴振动的研究是以对失重状态下的液滴的理论研究和对滴在固体平面上的液滴的实验研究为主. 本文利用有限元法进行数值模拟，研究了悬垂在针尖上的液滴在二阶模态下的振动情况，将悬垂液滴的固有振动频率与失重时自由液滴的固有振动频率进行了对比；还研究了在外界声场激励下悬垂液滴的受迫振动，分析其频率响应曲线的特征以及阻尼系数的影响因素，最后以水为例将模拟结果与实验数据做了对比.

1 理论介绍

在失重状态下，悬浮在空中的液滴会呈现标准的球型，若给液滴一个小的扰动，该液滴便会振动起来. 这时液滴的振动是一种本征振动，其频率f0与液滴的密度ρl、半径R及表面张力系数σl等因素有关[6]：

(1)

式中n是振动模态的阶数，n≥2.

二阶模态是振动频率最低的状态，也是在实验中最容易达到的振动状态，下面主要研究液滴悬挂在竖直针尖上时在二阶模态下的振动情况，如图1所示. 此时式(1)可以写为

1）关系曲线符号检验、适线检验和偏离值检验。依据《水文资料整编规范》（GB50179-2015）3.4.1规定。

(2)

(a) 静止时 (b) 二阶模态下振动时 图1 液滴悬挂于针尖上

式(2)是在失重状态下导出的，而液滴悬挂于针尖上是非失重的情况，此时的共振频率就不能用式(2)来表示. 但是如果要从理论上推导悬挂在针尖上的液滴的振动情况十分复杂，因此本文利用COMSOL Multiphysics 5.1软件进行数值模拟研究悬垂液滴的振动与失重状态下液滴的振动有怎样的关系，以及在外界声场激励的情况下悬垂液滴的受迫振动情况，最后通过实验检验数值模拟的可靠性.

建筑的结构设计往往在很大程度上体现了一座城市的经济发展状况，并且可以反映一个城市或一个国家的文化特征和民族特征。建筑结构设计代表着一座建筑的灵魂，要使建筑行业得到更广阔的发展前景，需要对建筑结构设计的优化方法进行研究。

2 数值模拟

2.1 建模

为了不引起混淆，这里把本文中所用到的主要物理量一并列出，如表1所示，表中下标n表示针、l表示液体、a表示空气.

表1 物理量和符号列表

符号名称Dn/m针的外直径Dl/m液滴直径ρl/kg·m-3液滴密度σl/N·m-1表面张力系数μl/Pa·s液滴动力粘度ξ/m3·s-2σl/ρlρa/kg·m-3空气密度μa/Pa·s空气动力粘度Al/m液滴最低点的振幅Aa/m声场中空气分子的振幅vs/m·s-1空气中的声速f0/Hz自由液滴的固有频率f′0/Hz悬垂液滴的固有频率f/Hz驱动频率F/N液滴在声场中的受力p/Pa液滴表面在声场中的压强

断路器出头的分离、闭合和弹跳时间表征限流器的快速性，采用快速大容量断路器可提高速动性，同时采用快速涡流驱动机构，会减少磨损但也会提高装置的成本。

为了简便起见，这里假定液滴的初始形状是标准的球形，这样的假定并不影响模拟结果，因为经过足够长时间(约100 ms)后，液滴的形状会在重力的作用下变成稳定的水滴形. 在建模时还把针当作“壁”来处理，这是因为针这一物体本身对液滴的振动没有影响，影响液滴的是针与液滴接触的边界. 几何模型如图2所示.

图2 几何模型边界

接下来需要定义物理场. 重力在软件中作为“体积力”来定义，即单位体积上受到的力，这里把体积力定义为

利用这样的方法，研究悬垂液滴的固有频率和失重状态下液滴的固有频率f0之间的关系及其影响因素. 当液体密度、表面张力系数、黏度、针直径取定值时，用软件的“参数化扫描”方法模拟液滴直径D1取一系列不同值时对应的固有频率，发现与f0之间呈线性关系，如图4所示，则与f0的关系可以表示为

FV=-ρlgk

(3)

液体的固有振动频率是比较高的，一般在50～200 Hz之间，这样的频率用肉眼观察或者用普通摄像机拍摄都是不可能的. 因此对于判断液滴是否处于共振状态，可以用高速摄像机拍摄液滴的振动，然后慢速播放，并且能读出发生共振时一个周期的时间. 高速摄像机的帧率可达每秒几千帧，足以拍摄微小液滴的振动[12]，但是高速相机比较昂贵，价格一般在十万元人民币左右.

闽北古民居建筑因为地处山区为省土石方数，常用垂直等高线办法布局，建筑依山就势，进进升高，山墙和屋面层层叠落。一栋房屋有时高差3-5米。不论建筑开间，进深如何变化，最后一进总是两层楼房，五夫镇的朱熹老宅就是典型的闽北民居布局，楼下会客，楼上可以读书，休息，分区明确，空间利用合理。厨房，饭厅设在宅居的最后头，有条件的家庭通常在此设内庭院作为活动空间，闽北的家庭大多数是三口之家或五口之家的成员结构，在长期的宗制社会里，家庭生活一般具有强烈的排他性，所以房屋自然倾向于独家式。

COMSOL Multiphysics 5.1是一款基于有限元的多物理场耦合仿真软件，这里利用该软件对悬垂液滴的振动进行模拟. 悬垂液滴的振动是一个轴对称的问题，因此选择“二维轴对称”的空间维度可以大大减少计算量，需要注意的是，此时的坐标系为柱坐标系. 该问题研究的是液滴的形状随时间的变化情况，并且由于液滴的尺度很小，液体的雷诺数很小，属于层流的情况，所以物理场选择“层流两相流，移动网格”，研究方法选择“瞬态”.

利用有限元方法进行数值模拟需要进行网格剖分，这里选择“自由剖分三角形网格”，尺寸选择“流体动力学”下的“细化”.

除三个“三分之一”的升级路径外，杨三可还补充概括道，在从传统制造业向中高端制造和生产服务业的升级过程中，瓮福还将实现三个“二”的转型。即实现“产业+资本”的双轮驱动；实现供给端和市场端的两端协同发力；实现“化工+肥料”的双产业驱动。

为了提高求解的精度，还需要对求解器的默认参数进行一些调整. 把“步骤1：瞬态”的时间相对容差改为0.001，把“求解器配置”中“瞬态求解器1”的绝对容差改为0.000 5、时间最大步长改为0.2 ms.

2.2 固有振动频率

通过前面的研究可知，液滴的固有振动频率一般在50～200 Hz之间，在这样的频率下，声波的波长大约在几米的量级，远远大于液滴的尺度. 而声波属于纵波，本质上是空气在声音传播方向上的前后振动，所以液滴在声场中的受力可以看成是液滴在空气的周期性流场中的受力.

刚才在建模时把液滴当作标准的球体，即初始时刻液滴呈球形，随着时间的推进，液滴的形状在重力的作用下逐渐变成水滴形，这一过程恰好可以看成液滴受到微小扰动之后的阻尼振动. 至于对液滴振动强弱的定量表示，是通过读取液滴最低点的z坐标实现的，这里姑且把液滴最低点的振幅当作液滴的振幅，记为Al.取Dn=0.4 mm、Dl=1.2 mm、ρl=1 000 kg/m3、σl=70 mN/m、μl=10 mPa·s，由COMSOL Multiphysics软件模拟, 作出液滴最低点的z坐标随时间变化的图像, 如图3所示. 将绘图数据导入至Origin软件拟合成标准的阻尼正弦函数，可以比较准确地得到曲线的频率，相关系数R2一般能达到0.995.

图3 液滴最低点随时间变化曲线

随着我国经济的快速发展，城市化和工业化程度显著提高，县域经济蓬勃发展，人口密度不断增加，人均生活水平飞速提高，城镇污水厂用水量和排水量都在大量增加 [1]。据有关资料统计：在全国22000多个县乡、城镇中，直接污水排放量约占全国总排污量的50%以上，这一现象的主要原因是该地区用于污水处理的基础设施相当不健全[2]。近年来相关地区对原有污水处理厂进行改扩建或者新建污水厂，这些污水厂工业污水都占有一定占比，污水可生化性较低，氮、磷比较高，在污水厂全面达标GB 18918－2002一级A排放标准存在一定压力[3，4]。

《基础教育课程改革纲要(试行)》中明确指出：教师应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都能得到充分的发展。小学数学阶段是对学生的数学教育进行基础巩固的阶段，是培养学生数学综合能力的关键时期，分层异步教学作为小学数学的重要教学方式，能够逐渐平衡学生之间的差异，提升整体学生的综合能力，提高教师的教学质量，对不同程度的学生进行针对性地指导，依照学生的实际情况，尊重学生的个体差异，能够照顾到不同学习水平的学生，对小学数学教师的教学效果具有很大的提高作用。

(4)

拟合成直线的相关系数R2可达0.999.

图4还展示了液体黏度、表面张力系数、密度、针直径等4个因素对式(4)中系数a和b的影响. 图4(a)表明黏度的改变对系数a和b没有影响. 图4(b)和图4(c)表明，系数a和b与表面张力系数和密度同时相关，若把表面张力系数和密度之比记为ξ：

图与f0的线性关系

(5)

可见当ξ保持不变时，无论σ1和ρ1如何变化，都不影响系数a和b. 图4(d)表明，针直径的改变会显著影响系数a和b. 由于图4中横坐标都取为f0，而f0与液滴直径D1是一一对应的，所以以上结论中各因素对a和b的影响实际上就是各因素对不同直径液滴的固有频率的影响.

2.3 在外界声场激励下的频率响应

幅频特性是受迫振动的一个重要性质. 悬垂液滴在周期性外力的驱动下，其振动的强弱随驱动频率的不同而不同. 由于液滴很小，使其振动起来的驱动力也必然很小，这里采用从液滴正下方播放声音的方式来驱动液滴振动，取得了比较好的效果.

对于固有频率的测量，一般可以给物体一个微小的扰动，当扰动撤去后，物体会发生阻尼振动，振幅逐渐减小，其频率就是该物体的固有频率.

悬垂液滴的振动是一个轴对称的情况，所以驱动其振动的声音应该从下而上或者从上而下传播. 这里把扬声器放在液滴的正下方播放正弦形式的声音. 在实际情况中，由信号发生器输出的正弦交流信号送入扬声器使其发出声音，通过信号发生器可以任意地调节声音的频率和响度. 但在调节频率时往往保持电信号的振幅不变，即在调节扬声器纸盆的振动频率时保持振幅不变，反映在声音上，即改变空气分子在宏观统计上的振动频率时其振幅不变. 为了模拟液滴在声场中的受迫振动，就需要推导液滴的受力与声音的频率和空气分子的振幅之间的关系.

在声场中，从宏观上看，空气分子的振幅Aa可以表示为[9]

(6)

其中p0是声压、 f是声音的频率、 ρa是空气密度、vs是声速. 从而播放正弦形式的声音时，空气分子相对于平衡位置的位移为

(7)

空气分子相对于平衡位置的速率为

(8)

由式(6)和式(8)消去p0得

va=2πfAacos(2πft+φ)

(9)

在声音不是非常大的情况下，声压p0不超过0.1 Pa，由式(8)估算空气的最大速率在mm/s的量级，空气的雷诺数不超过0.03，此时液滴在流场中的受力可以由斯托克斯黏滞公式表示[9]：

F=3πμavaD1

(10)

式中μa是空气的黏度. 把式(9)代入式(10)可得液滴在声场中的受力：

F=6π2μaAaD1fcos(2πft+φ)

(11)

式(11)中驱动力的幅值与频率有关，这并不符合通常情况下推导的受迫振动所受驱动力幅值恒定的条件. 但是当液滴发生小幅振动时，可以把液滴的振动近似成简谐振动来处理[10]，如果把式(11)代入位移共振的振幅表达式中[11]，即

(12)

(式中λ是一个常量)，可知上式与速度共振的振幅表达式在形式上恰好一致[11]，这就反映出实验测到的液滴共振曲线会与速度共振曲线十分相似，这是因为液滴的受力实际上反映的是空气的速度大小. 式(12)所表示的共振曲线的一个特点是当驱动频率趋于零时，振幅为零，这一现象可以这样理解：当驱动频率趋于零时，扬声器纸盆的振动周期趋于无穷大，这时纸盆实际上是静止的，无法产生声音，从而液滴也就不振动了.

接下来需要在COMSOL Multiphysics软件中给液滴定义所受的驱动力，但是该软件无法直接给液滴定义外部作用力，而只能定义外部压强，并且压强的方向是沿边界的法向的. 这里假设液滴的上下两个半球面受到的压强都是均匀的，且两个半球面受到的压力在z方向上的大小都是F/2. 设液滴的下半球面(边界4)受到的压强为p，上半球面(边界5)受到的压强为-p，忽略针与液滴的接触面积，则p的大小可以利用曲面积分很方便地求出：

(13)

在边界4和5的“外部流体界面”边界条件中，“外部压强”分别输入24πfμaAasin(2πft)/D1和-24πfμaAasin(2πft)/D1，这里初相位φ选取为-π/2. 需要说明的是，虽然这里认为作用在液滴表面的外部压强在两个半球上是处处相等的，与实际情况不符，但是由于液滴振动的阻尼很小，只需要很小的压强(约0.2 Pa)就能使它振动起来，所以这样的近似对最后的结果几乎没有影响.

实验中将水滴悬挂在0.4 mm直径的钢针上，测量其在不同直径下的固有振动频率绘制出失重状态下的固有频率f0和悬垂时的固有频率的图像，并与软件模拟的结果进行对比，如图8所示. 图中实验数据的f0误差是由于液滴直径的测量误差引起的. 实验时的室温为15.5 ℃，此时水的表面张力系数为σ1=73.4 mN/m[13]，密度为ρ1=998.87 kg/m3[14]，黏度为μ1=1.13 mPa·s[14]. 可见实验数据与软件模拟的结果基本吻合.

图5 各种因素对频响曲线的影响

图5展示了改变液体黏度μ1、表面张力系数σ1、密度ρ1、液滴直径D1、针直径Dn等因素对频响曲线的影响，图中β是阻尼系数. 图5(a)是在上的频率响应曲线，从中可以看出当频率趋近于零时，振幅也趋近于零，并且峰的左侧比右侧更陡，这符合速度共振的特点；图5(b)表明，当其他因素不变时，μ1越大，共振峰越低，阻尼系数越大；图5(c)表明，当其他因素不变时，σ1越大，共振峰越低，阻尼系数越大；图5(d)表明，当其他因素不变时，ρ1越大，共振峰越高，阻尼系数越小；图5(e)表明，当液体的表面张力系数与密度之比ξ不变时，ρ1和σ1越大，共振峰越低，阻尼系数反而越小；图5(f)表明，当其他因素不变时，Dn越大，共振峰越低，阻尼系数越大.

3 实验

3.1 实验方法

边界1和2定义为“轴对称”，并且在r方向上的位移为0，在z方向上的位移不受限制. 边界3是与针接触的边界，被定义为无滑移的“壁”，并且在r方向和z方向上的位移都为0. 边界4和5是标准的圆弧，定义为“外部流体界面”，并且在r方向和z方向上的位移都不受限制.

为了判断液滴是否处于共振状态，这里设计了一个更加简便且廉价的方法. 如图6所示，将一束激光射过液滴，该液滴相当于一个球形的凸透镜，将激光束汇聚. 在液滴的另一侧放置一个光传感器，用于接收通过液滴的激光. 当扬声器播放声音的频率与液滴的固有频率接近时，液滴发生共振，其形状周期性地变化，相当于该液滴凸透镜的焦距周期变化，光传感器接收到的光信号强度就会周期性变化. 光信号经放大后送入示波器，可以看到清晰的波形. 图7展示了液滴处于非共振和共振两种状态下，光信号的波形. 至于对液滴半径的测量，是在相机上安装一个微距镜头，拍摄液滴的照片，通过在照片上数出针的直径和液滴的直径各占多少个像素点，由于针的直径是可以用螺旋测微器精确测量的，便可以按比例计算出液滴的半径.

图6 测量原理示意图

(a) 未共振时 (b) 共振时 图7 光传感器接收到的光信号的波形

3.2 测量结果

实际模拟中发现空气分子的振幅Aa取1 mm时液滴的振动强度适中，这与实验观察到扬声器的纸盆上下振动的幅度约为1 mm的现象相吻合. 在给定针直径和液滴的直径、黏度、表面张力系数、密度之后，用“参数化扫描”方法对一系列不同驱动频率f进行求解. 在后处理时绘制出振幅与直径比η = A1/D1与f的图像，便是对应液滴的频率响应曲线.

光滑、红润、富有弹性的皮肤，有赖于皮肤真皮下组织微血管的充足营养供应。睡眠不足会引起皮肤毛细血管瘀滞，循环受阻，使得皮肤的细胞得不到充足的营养，因而影响皮肤的新陈代谢，加速皮肤的老化，使皮肤颜色显得晦暗而苍白。

图模拟曲线与实验数据的比较

实验还测量了悬挂在0.4 mm直径钢针上的水滴在声音激励下的频率响应曲线. 此时的液滴直径是1.88 mm，温度为31.8 ℃，σ1 = 70.9 mN/m[13]，ρ1=994.92 kg/m3[14]，μ1= 0.770 mPa·s[14]. 由图9可以看出模拟结果和实验数据符合得很好.

图9 频率响应模拟曲线与实验数据的比较

4 总结

利用数值模拟研究了悬挂在针尖上的液滴的固有振动频率和在声音激励下的共振，得出了以下结论.

1) 悬挂在针尖上的液滴的固有振动频率与失重下自由液滴的固有振动频率存在线性关系.

根据财政部与德国复兴银行签署的中德财政合作“京北风沙危害区植被恢复和水源保护林可持续经营（Watershed Managementon Forest Land Beijing）”项目贷款和财政协议要求，2009年北京市水务局与北京市园林绿化局合作开展了中德财政合作“小型水体生态修复示范工程”。

2) 上述线性关系与液体的黏度无关，并且当液体的“表面张力系数密度比”恒定时，无论怎样改变表面张力系数和密度都不会影响该线性关系.

3) 悬挂在针尖上的液滴在声场的激励下会发生共振，其位移共振曲线与受迫振动的标准速度共振曲线在形状上一致.

4) 上述共振峰的高度与密度呈正相关，而与黏度、表面张力系数、表面张力系数与密度之比、针直径呈负相关.

5) 共振的阻尼系数与黏度、表面张力系数、针直径呈正相关，而与密度、表面张力系数与密度之比呈负相关.

雷染君被方泽的指责震住，不敢置信地瞪大了眼，下意识去看姜祈的反应。方泽怎么会这么说？不，他不会相信方泽的话吧？

经过数值模拟结果与实验数据之间的比较，发现两者符合得很好.

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